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1、1【作者信息】姓 名：肖凌戆工作单位：广州市黄埔区教育局教研室姓 名：曾辛金工作单位：广州市教育局教学研究室姓 名：陈镇民工作单位：广州市教育局教学研究室姓 名：严运华工作单位：广州市番禺区教育局教研室2009 年普通高等学校招生全国统一考试（年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷广东卷）理科数学理科数学本试卷共本试卷共 21 小题，满分小题，满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟试卷类型试卷类型: 参考公式：参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高1 3VshSh一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项
2、是符合题目要求的已知全集，集合和的关U R212Mxx 21,1,2,Nx xkkL系的韦恩（enn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）.个 个个 无穷个设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位 i，（ z( ) z1nz n(i)）. 若函数是函数且的反函数，其图象经过点，则( )yf x(0,xyaa1)a (, )a a（ ）.( )f x 2 2log x1 2log x1 2x2x巳知等比数列满足，且，则当时，na0,1,2,nanL2 5252 (3)n naan1n （ ）.2123221logloglognaaaL (21)nn2(1)n2n2(1)n5
3、给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（ ）.和 和 和 和6 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知123,F F F成 60角，且的大小分别为和，则的大小为（ ）.12,F F12,F F3F 2 52 772010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和
4、小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）.36 种 12 种 18 种 48 种8已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为（如图 2 所示） 那么对于图中给定的，下列判断中一定vv乙甲和01tt和正确的是（ ）.A在时刻，甲车在乙车前面1tB时刻后，甲车在乙车后面1tC在时刻，两车的位置相同0t3D时刻后，乙车在甲车前面0t二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分（一）必做题（912 题）9随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图 3 所示的程序框图输出n12,na
5、 aaL，表示的样本的数字特征是 s （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“” “：=” ）10若平面向量满足平行于轴，则 , a b| 1,ababx(2, 1)ba11巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两Gx3 2GG个焦点的距离之和为 12，则椭圆的方程为_G12已知离散型随机变量的分布列如右表若，则 ，X0EX 1DX a b （二）选做题（13 15 题，考生只能从中选做两题）13 （坐标系与参数方程选做题）若直线与直线11 2 ,:()2.xtltykt 为参数（为参数）垂直，则 2,:1 2 .xslys sk 414 （不等式选讲选做题）不等式的实数
6、解为 112xx15(几何证明选讲选做题）如图 4，点是圆上的点， , ,A B CO且，则圆的面积等于 4,45ABACBO三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16(本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中(sin , 2)a(1,cos )b0,2（1）求的值；sincos和（2）若，求的值10sin(),0102cos17 （本小题满分12分）根据空气质量指数 API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:对某城市一年（365365天）的空气质量进行监测，获得APIAPI数据按照区间进行分组，得到频率分布直0,50,(50,100,(1
7、00,150,(150,200,(200,250,(250,300方图如图5（1）求直方图中的值； x（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（3）求该城市某一周至少有2 2天的空气质量为良或轻微污染的概率.5(结果用分数表示已知,1282 ,78125577, ）9125123 91258 18253 18257 3652 1825357336518 （本小题满分 14 分）如图，已知正方体的棱长为 2，点是正方形的中心，1111ABCDABC DE11BCC B点,分别是棱的中点设点分别是点FG111,C D AA11,E G在平面内的正投影,E G11DCC D（1）求以为顶点
8、，以四边形在平面内EFGAE11DCC D的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线；11FGFEE 平面（3）求异面直线所成角的正弦值.11E GEA与19 （本小题满分 14 分）已知曲线与直线交于两点和，且2:C yx:20l xy(,)AAA xy(,)BBB xy记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）ABxxCABLAB为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合D( , )P s tLPAB（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；QABPQM（2）若曲线与有公共点，试求的最小值22251:24025G xaxyyaDa20 （本小题满分 14 分）已知
9、二次函数的导函数的图象与直线平行，且在处( )yg x2yx( )yg x1x 取得极小值设1(0)mm( )( )g xf xx（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；( )yf xP(0,2)Q2m（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点()k kR( )yf xkx21 （本小题满分 14 分）已知曲线从点向曲线引斜率为22:20(1,2,)nCxnxynK( 1,0)P nC6的切线，切点为(0)nnk k nl(,)nnnP xy（1）求数列的通项公式；nnxy与（2）证明：1352112sin1nn n nnxxxxxxxyL72009 年普通高等学校招生全国统一考试（年
10、普通高等学校招生全国统一考试（广东卷广东卷）理科数学试题答案及解读理科数学试题答案及解读一、选择题一、选择题1. B. 【解读与点评】本小题是人教 A 版必修 1 习题 1.1A 组第 6 题、北师大版必修 1 复习题一 A 组第 6 题的综合变式题, 主要考查集合语言及数形结合的思想方法考生的主要失误在于不会将符号语言与图形语言进行合理转换本题作为起始题，把表示集合的符号语言和图形语言揉合在一起，考生只有准确识别出图 1 的阴影部分所示的集合的含义（即） ，才能正确地作出解答，既考查了基本知识，也考查了考生的识图能力主要解NM I法如下：因为，所以 ，故选 B. 31|xxM, 5 , 3
11、, 1LN3 , 1NM I2 【解读与点评】本小题是人教 A 版选修 2-2 复习参考题 B 组第 2 题的变式题，主要考查虚数单位 的周期性及阅读理解能力和创新意识主要解法如下：i因，所以满足的最小正整数的值是 4故选12iii314i1ninC考生的主要失误在于不理解含义. ( ) i3. 【解读与点评】本小题是人教 A 版(必修 1)2.1.2 例 6、北师大版(必修 1)5.2 例 3 的变式题，主要考查指数函数与对数函数的关系(互为反函数)，及指数与对数运算主要解法有：解法一：由函数是函数的反函数，可知( )yf x(0,1)xyaaa且，又其图象经过点，即，所以, xxfalog
12、)(, )a aaaalog1 2a ，故选 Bxxf21log)(解法二: 依题意函数的图象经过点,所以,(0,1)xyaaa且, aaaaa所以, ，故选 B1 2a xxf21log)(考生的主要失误在于不理解反函数概念, 指数与对数运算欠熟练4. 【解读与点评】本小题是人教 A 版必修 5 复习参考题 B 组第 1(1)题,北师大8版必修 5 复习题一 A 组第 6(2)题的综合变式题, 主要考查等差数列与等比数列的基本运算.主要解法有：解法一：设等比数列的首项为，公比为，由，得na1aq2 5252 (3)n naan，则，242612 1112nnna q a qa qgn na2
13、12 122 n na12log122nan所以，2123221logloglognaaaL2(121)1 3(21)2nnnn L故选 C.解法二：因为，所以，又2 5252 (3)n naan25225loglog2naan是等差数列，所以 2logna，2 2123221252252(logloglog)2 (loglog)2nnaaanaanL所以，故选 C.2123221logloglognaaaL2n考生的主要失误是运算差错.5. D. 【解读与点评】本小题是课本相关定理的变式题，主要考查线线、线面平行和垂直的判定和性质主要解法如下：显然 和是假命题，故否定 A,B,C, 故选 D
14、.考生的主要失误是立体几何定理掌握不牢，平几定理在空间类比产生了负迁移6. D 【解读与点评】本小题是人教 A 版必修 4 习题 A 组第 4 题的变式题，主要考查平面向量的数量积及向量在物理学中的应用主要解法如下：依题意，可知，所以，0321FFF)(213FFFoFFFFFFFFF60cos2)(2122212 2122123=28.214224222所以，力的大小为，故选 D3F72283F考生的主要失误是物理背景欠熟悉，不会将实际问题转化为向量运算问题此题不仅要求考生要掌握力学中的有关原理，更要求考生要善于把物理问题转化为数学问题，利用平行四边形（或三角形）法则，把力的合成转化为平面向量的加法运算，画出图形后再进行求解，很好区分了考生将文字语言和符号语言转化为图形语言水平的高低7A 【解读与点评】本小题以 2010 年广州亚运
