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1、 万学教育公共课事业部北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来- 1 -2003 年考研数学（二）真题年考研数学（二）真题 一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若时， 与是等价无穷小，则 a= .0x1)1 (41 2 axxxsin（2） 设函数 y=f(x)由方程所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .4ln2yxxy（3） 的麦克劳林公式中项的系数是_.xy2nx（4） 设
2、曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从 0 变到的一段弧与极轴所)0(aea2围成的图形的面积为_.（5） 设为 3 维列向量，是的转置. 若，则T 111111111T= .T（6） 设三阶方阵 A,B 满足，其中 E 为三阶单位矩阵，若，则EBABA2 102020101 A_.B 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,则必有,nnncba0lim nna1lim nnb nnclim(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.nnba
3、 nncb (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. nnnca limnnncb lim（2）设, 则极限等于dxxxannn n n1231 01 nnna lim(A) . (B) .1)1 (23 e1)1 (23 1e(C) . (D) . 1)1 (23 1e1)1 (23 e（3）已知是微分方程的解，则的表达式为xxyln)(yx xyy)(yx万学教育公共课事业部北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来- 2 -（A） (B) .22xy.22
4、xy(C) (D) .22yx.22yx（4）设函数 f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. yO x（5）设, 则4 01tan dxxxIdxxxI4 02tan(A) (B) . 121 II.121II (C) (D) . 112 II.112II （6）设向量组 I：可由向量组 II：线性表示，则r,21Ls,21L(A) 当时，向量组 II 必线性相关. (B) 当时，向量组 II 必线性相关.sr sr (C)
5、 当时，向量组 I 必线性相关. (D) 当时，向量组 I 必线性相关.sr sr 三三 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设函数 , 0, 0, 0,4sin1, 6,arcsin)1ln()( 23 xxxxxaxxexxaxxf ax问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续；a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？ 四四 、 （本题满分（本题满分 9 分）分）万学教育公共课事业部北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来- 3 -设函数 y
6、=y(x)由参数方程所确定，求) 1(,21ln2112 tduueytxtu. 922xdxyd五五 、 （本题满分（本题满分 9 分）分）计算不定积分 . )1 (232arctan dx xxex 六六 、 （本题满分（本题满分 12 分）分）设函数 y=y(x)在内具有二阶导数，且是 y=y(x)的反函数.),()(, 0yxxy(1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程变换为 y=y(x)满足的微分方程；0)(sin(3 22 dydxxydyxd(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.23)0(, 0)0(yy七七 、 （本题满分（本题满分 12 分）分）讨论曲线与的交点个数.
7、kxyln4xxy4ln4 八八 、 （本题满分（本题满分 12 分）分）设位于第一象限的曲线 y=f(x)过点，其上任一点 P(x,y)处的法线与 y 轴的交点为 Q，且线)21,22(段 PQ 被 x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线 y=sinx 在上的弧长为 ，试用 表示曲线 y=f(x)的弧长 s., 0ll九九 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图） ，容器的底面)0)(yyx圆的半径为 2 m.根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/33m的速率均匀扩大（假
8、设注入液体前，容器内无液体）.min/2m(1) 根据 t 时刻液面的面积，写出 t 与之间的关系式；)(y(2) 求曲线的方程.)(yx(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.) 十十 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限存在，. 0)( xfaxaxfax)2(lim证明：万学教育公共课事业部北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来- 4 -(1)在(a,b)内 f(x)
9、0;(2)在(a,b)内存在点，使；)(2)(22 fdxxfabba (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2)(22 十十 一、一、 （本题满分（本题满分 10 分）分）若矩阵相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 60028022 aA.1APP十二十二 、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为，:1l032cbyax，:2l032acybx.:3l032baycx试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0cba万学教育公共课事业部北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层 100
10、080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来- 5 -2003 年考研数学（二）真题评注年考研数学（二）真题评注 一、填空题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若时， 与是等价无穷小，则 a= -4 .0x1)1 (41 2 axxxsin【分析分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求 a. 注意在计算过程1sin)1 (lim41 20xxaxx中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解详解】 当时，.0x241 2 411)1 (axax2sinxx
11、x于是，根据题设有 ，故 a=-4.14141limsin)1 (lim22041 20 axaxxxaxxx（2） 设函数 y=f(x)由方程所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-4ln2yxxyy=0 . 【分析分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解详解】 等式两边直接对 x 求导，得4ln2yxxy，yyxyxy342将 x=1,y=1 代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为. 1) 1 ( y，即 ) 1(11xy. 0 yx【评注评注】 本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点.（3） 的麦克劳林公
12、式中项的系数是 .xy2nx!)2(ln nn【分析分析】 本题相当于先求 y=f(x)在点 x=0 处的 n 阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数)0()(nfnx是.!)0()(nfn【详解详解】 因为 ，于是有2ln2xy 2)2(ln2xy nxxy)2(ln2,)(L，故麦克劳林公式中项的系数是nny)2(ln)0()(nx.!)2(ln !)0()(nnynn 【评注评注】 本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从 0 变到的一段弧与极轴所)0(aea2万学教育公共课事业部北京市海淀区北四环西路 66 号第三极创意天地 A17 层
13、100080 全国公共课客服电话：01062682299 关注您的未来关注您的未来 关注中国的未来关注中国的未来- 6 -围成的图形的面积为 .) 1(414aea【分析分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可.dS)(212【详解详解】 所求面积为dedSa202202 21)(21=.202 41aea) 1(414aea【评注评注】 本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.（5） 设为 3 维列向量，是的转置. 若，则T 111111111T= 3 .T【分析分析】 本题的关键是矩阵的秩为 1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一T行（或任一非零行） ，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解详解】 由=，知，于是 111111111T111 111
