模态加速度法的实质及其与模态综合的关系_倪振华

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1、第27卷第1期Vol.271993年2月西安交通大学学报JOUR NA LOF X l,A N JIAOT ONG UN IV ER SITYFeb砂l19 9 3模态加速度法的实质及其与模态综合的关系倪振 华(工程力学系)摘要给出 了模态加速度法新的表达方 式,闲明模 态加速度 法比模态位移 法收敛率高的实质.墓于新的表达,本文证明 了模 态综合中自由子结构法和约束子结构 法墓本模态集的组成均源于模 态加速度法.关链词:模态分析;模 态加速度;模态综合 法中国图书资料分类法分类号:03 27;v21 40引言用模态截断法求解结构动力响应时,对低频占主要成分的激励,模态加速度法比模态位移法收敛

2、率要高,计算动应力时尤其突出.以往国内外文献关于收敛率高原因的解释是不够确切的,本文给出模态加速度法新的表达式,阐明其收敛率比模态位移法高的真正原因.新表达式中不牵涉模态加速度及模态速度,求解响应时比传统方式简单.本文还证明,动力子结构法 中两种基本方法的模态集组成均可由模态加速度法导 出.1模态加速度法的实质N自由度系统振动的运动微分方程可表示为M交+c无十众了(约其中M、C、K为系统质量阵、阻尼阵、刚度阵,x、了是位移向量及载荷向量.假定K正定,C是经典阻尼,利用前吕阶模态求解响应的模态加速度法如下 l 二( t)一K - -1(了一M、一c、)、K一了(t)一交人(承十2吞。,),二二姗

3、(2)收到日期:1991一03一06,西安交通大学科学基金资助项目5 8西安交通大学学报第27卷其 中。八奋是第!阶无 阻尼 固有频率及模态阻尼比,币,、刀是第i阶正 则模态及相应的模态坐标.式(2 )中右端第一项是系统对载荷的伪静态响应,第二项是动力过冲.以往文献对模态加速度法比模态位移法 收敛率高的原因解释为“由于动力过冲项与主刚度(或固有频率的平方)成反比” l ,二,或解释为“对应于载荷静态作用的分t 已全部隐含在第一项中,而在模态位移法里它们分散地包含在级数的每一项中”E 3 .上述解释中前者显得 牵强,后者则不够确切.利用式(2 )计算响应时需事先计算模态加速度和模态速度.零初始条

4、件下模态位移响应可用Duh ame l积分表示为,:()一生“了(:)e一.、(卜)sin、.、一:)d:切d,JO(3)利用 积分号下对时间求导,得到污.+2、亏;一 ,犷,(o)e一、。:(eo s叻。t+垫sin叻:t)(口己厂._:,、_、,、.乙。_、, +。巾J吸丫,e一“、一”匕co s叻“一丁十言s,n。“一丫,dT戈4式中叱是第阶阻尼固有频率,j( t )二Jf(t)dt.显 然,利用式(2 ) 和(4 )求解系统响应较为繁、J产、月尹一卜月O了琐卜幻.实际上模态加速度法的实施可以采用 另一种简单途径.设巾是系统模态矩阵,对式(1)引入下 列坐标变换x二巾刀得到第乙阶模态方程

5、为方:+2雪:。刀十。了刀:=杯f(t)从上式解出亏十2今以亏.,并代入式(2),得到、一名咖,.+“汀( t )(7)式中G一K一客会, 冲了 (8)式(7 )是模态加速度法的另一种表达方式.由于柔度阵的模态展开式为从而式(8 )中的G即下列剩余柔 度 阵一客奋,“一真1击,“(9)(10)利用式(7 )的模态加速度法求解系统响应时,其内的剩余柔度阵c是由式(8 )得 到的,不需要截断的高阶模态,并且求解响应时无需模态加速度与速度,过程较简单.尤其重要 的是,式(7 )阐明了模态加速度法的实质,指出模态加速度法是在模态位移法基 础上增添了系统在剩余柔度上的伪静态响应.下面证明,这 部分伪静态

6、响应是对被激发的高阶模态的动态响应的近似.设系统受简谐激励f (t)=foe“,J=、/二万(1 1)假定激励频率。远小于系统第。+1阶固有频率。、;,当乙、时,由式(6 )有第1期倪振华:模态加速度法的实质及其与模态综合的关系。:()一套鲜f(户 1一 (。/仙)2+jZ雪.(。/。:)、矗。(12)于是系统被激发的 高阶模态上 的动态响应近似为艺帕()、习会,:,z, “,一Gf“,(1 3)上式右端即系统在剩余柔度上的伪静态响应,亦即Ha ste en提 出的静态修正项川.根据式(7 )和(13 )可知,模态位移法完全删除了高阶模态动态响应,而模态加速度法却在前者基础 上用静剩余柔度取代

7、动剩余柔度,添补了高阶模态动态响应的近似值,收敛速度自然加快了.显然,当系统无激励时,由式(7 )知 两种方法完全等同;而 当 系统受静载荷九作用时,因亏=亏0,由式(6)知,一共了口子(14)将上式代入式(7 )得()一客矗,冲二召十 (K - -一客奋冲了,f,:一 K 一f时 (15)可见模态加速度法得 到的正是 系统的静位移,而模态位移法得到的是、(。一习成协一(客矗, 冲犷f一“*、 (1 6)即 系统在保留柔度上的静位移(G*是保留柔度 阵),因 而误差较大.式(7 )是基于式(2 )导 出的模态加速度法的新表达式,在计算精度上与式(2 )相 同.由式(7)、(8 )及(10 )还

8、可得知,当投 入的模态越多,即,越大时,剩余柔度阵包含的截断模态就越少,模态位移法的精度就越接近于模态加速度法.在极端情况,即、=J时,剩余柔度阵退化为零阵,这时模态位移法就等同于模态加速度法了.2自由子结构法与约束子结构法 的基本模态集模态综合常采用这两种方法的基本模态集,很容易根据式(7 )的模态加速度法导出.设以自由界面分割的子结构无刚体 自由度,亦无阻尼,其自由振动方程为M分十K浑一f(17)或写为厂拼:tn,交.1厂距, ;互.门x、fo: !(二+日)() 饥7。m, ,J(尤J)掩,.介,:(尤,(f7)(18)其中下标:、夕表示位移x的 内部坐标与界面 坐标部分,了,是来 自邻

9、接子结构的界 面力.记必是自由界面子结构的正则模齐矩阵,将它分块为巾=仁巾。,。(19)其中下标k、h表示低阶(保留)与高阶部分,式(10 )可写为认=巾,A 厂哪(20)式中A*是高阶谱矩阵A*=d iag巨。了+,。影二(21)6 0西安交通大学学报第2 7卷若记单位界 面力矩 阵(2 2)i|l e sJ口n了二!飞尸l.l l jr一一一一则剩余附着模态吹可定义为(23)于是式(7 )的模态加速度法成为匆=叭饥+认了叭刀+认凡f,一叭”*+叭了,将上式看作坐标变换(24)_刀, 尤平”L叭,叭( (爪(2 5)可见保留主模态巾*与剩余附着模态巾组成自由子结构法的基本模态集,并且对应于剩

10、余附着模态 叭 的广 义坐标场正是界面力了,这是自由子结构法在最 后的总体方程中能消除所有界 面自由度的依据,而水 一f,的前提是式(12),即以子结构在剩余柔度上对界面力的伪静态响应近似取代界面力的激励下高阶模态的动态响应.对于具有刚体 自由度的自由子结构,保留模态叭中要包括刚体模态巾,计算G、叭时,式(8 )中的K - -要改为弹性柔度阵,这可利用投影矩阵性质而得到川.约束子结构法的基本模态集也可从模态加速度法导出.将式(18 )视为以固定界面分割的子结构的自由振动方程,由第一行得。. :交.+应.二一尺.(26)其中丑,=一 (t n02交+介,戈,)(27)设么.是固定界面保留主模态(

11、低阶部分),A*是相应于俄。的低阶谱矩阵.由式(7)、(8 )所示的模态加速度法得知尤.=公一”。+GdR.(28)其中G=介 汀,一巾肠滩巾石=叭、了公,巾石(29)式中甄是固定界 面高阶主模态,A。是相应 的高阶谱矩阵.假定系统作频率g的简谐振动,则由式(27)有R,=( 一介,+。2饥.,)戈,(30)上式代入式(28 )得尤.=九协一G“.,x,+。ZGm,I义,(3 1)当系统振动频率。远低于子结构第。+1阶固有频率时,上式右端第三项据式(29 )成为。,。 、A ;呱二。二,一习92二, 丽巾中饥,x,幻“(3 2)于是式(31)成为书.=巾二爪 一伍厂一公。注矛可沃,为=叭*小一

12、丘Jl掩.声一+G诀,x,(3 3)其中G。为子结构的保留柔度阵第1期倪振华:模态加速度法的实质及其与模态综合的关系G、巾,A 厂巾人(34)式(33 )可视为式(18 )的坐标变换(35)爪为l e e|e s曰一掩 厅kJ十G、介,I,J么氏百户|!一一抽构或简写为尤一平刀(3 6)若记矩阵甲及非奇异阵A为,一仇一“八门,A一阵丫“场 匕0,IJ了二LOI*I, ,(3 7)则少可表示为甲一 乎A(3 8)容易证明,方程(18)经式(3 6)的坐标变换后的特征值与经下 列坐标变换的特征值相同戈=平君(3 9)事实上,若记M,、K,为变换式(36 )所得的广义质量及广义刚度 阵,记 M:、风

13、 为变换式(39 )所得的广义质量及广 义刚度阵,则有M,一少M乎二A T 犷M甲A一矛M滋(40 )同理凡一 AT风A(4 1)于是子结构经变换,式(36)后的特征多项式为、工M,一赤,一A 一、!A一A,M。,一备,一!A 一! 、工、一击;A一、IM:一赤,(42)即正是经变换式(39 )的特征多项式,现 在将甲写为甲。、,叭其中(4 3)厂巾.。门 叭二,叭=匕0,J一“护互谧,I, z(4 4)显然巾*即固定界面保留模态,巾。即约束模态,它们组成约束子结构法的基本模态集.3结论利用所推导 的模态加速度法的新表达式,阐明了模态加速度法的实质是在模态位移法的基础上添 补 了系统在剩余柔度上的准静态位移,而后者其实就是对高阶模态动态响应的近似,因而加快了收敛速度.并且,模态综合常用的自由子结构法与约束子结构法,其基本模态集可由模态 加速度法的新表示式简捷地 导出,由于推导 不牵涉模态坐标的 导数,故基本模态集可推广到状态向量描述的非经典阻尼系统的模态综合川.西安交通大学学报第2 7卷参考文献 .,E尸一CraigJrRR.Struetu ral Dynamie s一AnIntro duetio ntoComPute rMetho ds.NeWYork:JohnWiley州侧距-以刃勿a t翻;卿记触励,朋艺爪冠(编样毛祖德)