《2019版高考数学一轮复习第5章数列5.4数列求和学案理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第5章数列5.4数列求和学案理（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15 54 4 数列求和数列求和知识梳理1基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：Snna1d.na1an2nn12(2)等比数列求和公式：SnError!2非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法常见的裂项公式：；1nnk1 k(1 n1 nk)；12n12n11 2(1 2n11 2n1)；1nn1n21 21nn11n1n2 ()1nnk1 knkn3常用求和公式2(1)1234n；nn12(2)1357(2n1)n2；(3)122232n2；nn12n16(4)132333n32.nn12诊断自测1概念辨析(1)已
2、知等差数列an的公差为d，则有.( )1 anan11 d(1 an1 an1)(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.( )(3)求Sna2a23a3nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得( )(4)若数列a1，a2a1，anan1是(n1，nN N*)首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是an.( )3n1 2答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(必修 A5 P47T4)数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为( )1nn12017 201
3、8A2014 B2015 C2016 D2017答案 D解析 an ，Sn1，又前n项和为，所以n2017.故选 D.1 n1 n11 n1n n12017 2018(2)(必修 A5 P38T8)一个球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，经过的路程是( )A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案 A解析 第 10 次着地时，经过的路程为 1002(502510029)1002100(212229)100200100200(129)故选 A.211291213小题热身(1)数列an的通项
4、公式为anncos，其前n项和为Sn，则S2018等于( )n 2A1010 B2018 3C505 D1010答案 A解析 易知a1cos0，a22cos2，a30，a44，. 2所以数列an的所有奇数项为 0，前 2016 项中所有偶数项(共 1008 项)依次为2,4，6,8，2014,2016.故S20160(24)(68)(20142016)1008.a20170，a20182018cos2018，S2018S2016a2018100820182018 21010.故选 A.(2)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案 1 n解析 an1Sn1Sn，S
5、n1SnSn1Sn，又由a11，知Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1 Sn1 Sn11 Sn1，1(n1)(1)n，Sn .1 S11 a11 Sn1 n题型 1 错位相减法求和已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.典例(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.an1n1bn2n利用anSnSn1(n2)、方程思想、错位相减法解 (1)由题意知，当n2 时，anSnSn16n5.当n1 时，a1S111，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由Error!即Error!可解得b14，d3，所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(
6、n1)2n1.6n6n13n3n又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n233n2n2，所以Tn3n2n2.4412n12n1 2n24方法技巧利用错位相减法的一般类型及思路1适用的数列类型：anbn，其中数列an是公差为d的等差数列，bn是公比为q1 的等比数列2思路：设Sna1b1a2b2anbn，(*)则qSna1b2a2b3an1bnanbn1，(*)(*)(*)得：(1q)Sna1b1d(b2b3bn)anbn1，就转化为根据公式可求的和如典例提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点
7、错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n1 项和当作n项和冲关针对训练已知首项都是 1 的两个数列an，bn(bn0，nN N*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；an bn(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.解 (1)因为anbn1an1bn2bn1bn0(bn0，nN N*)，所以2，即an1 bn1an bncn1cn2.所以数列cn是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是数列an的前n项和Sn1303315
8、32(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.题型 2 裂项相消法求和Sn为数列an的前n项和，已知an0，a2an4Sn3.典例2n(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和1 anan1利用递推公式，anSnSn1(n2)求通项，裂项相消求和解 (1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.2n2n1可得aa2(an1an)4an1，2n12n即 2(an1an)aa(an1an)(an1an)2n12n5由于an0，所以an1an2.又由a2a14a1
9、3，解得a11(舍去)或a13.2 1所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1 可知bn.1 anan112n12n31 2(1 2n11 2n3)设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bnError!1 2Error!.n32n3条件探究 将典例中的条件变为：已知等差数列an的公差为 2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和1 anan1解 (1)因为S1a1，S22a122a12，2 1 2S44a124a112，4 3 2由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11
10、，所以an2n1.(2)由an2n1 可知bn.1 anan112n12n11 2(1 2n11 2n1)设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn.1 2(11 3)(1 31 5)(1 51 7)(1 2n11 2n1)n 2n1结论探究 条件探究中的条件不变，求解(2)变为：令bn(1)n1，求数4n anan1列bn的前n项和Tn.解 bn(1)n1(1)n1(1)n1.4n anan14n2n12n1(1 2n11 2n1)当n为偶数时，Tn1.(11 3) (1 31 5)(1 2n31 2n1) (1 2n11 2n1)1 2n12n 2n1当n为奇数时，Tn1.(11 3)
11、 (1 31 5)(1 2n31 2n1) (1 2n11 2n1)1 2n12n2 2n1所以TnError!.(或Tn2n11n12n1)6方法技巧几种常见的裂项相消及解题策略1常见的裂项方法(其中n为正整数)数列裂项方法(k为非零常数)1nnk1nnk1 k(1 n1 nk)1 4n211 4n211 2(1 2n11 2n1)1nnk ()1nnk1 knkn(a0，a1)loga(11 n)logaloga(n1)logan(11 n)an为等差数列，公差为d(d0)，1 anan11 anan11 d(1 an1 an1)2.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最
12、后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等冲关针对训练已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足Snan1n1(nN N*)1 2(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlog3(an1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn100 且该数列的前N项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是( )A440 B330 C220 D110答案 A解析 设 1(12)(122n1)(122t)2m(其中m，n，tN,N,0tn)，则有Nt1，因为N100，所以n13.nn12由等比数列的前n项和公式可得 2n1n22t112m.因为n13，所
13、以 2nn2，所以 2n12nn2，即 2n1n22n，因为 2t110，所以 2m2n1n22n，故mn1，因为 2t112n11，所以 2m2n2n3，故mn1.所以mn1，从而有n2t13，因为n13，所以t3.当t3 时，N95，不合题意；10当t4 时，N440，满足题意，故所求N的最小值为 440.故选 A.2(2017湖北月考)已知等差数列an的公差和首项都不等于 0，且a2，a4，a8成等比数列，则( )a1a5a9 a2a3A2 B3 C5 D7答案 B解析 等差数列an中，a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，(a13d)2(a1d)(a17d)，2 4d2a1d，d0，da1，3.故选 B.a1a5a9 a2a315a1 5a13(2017东城区期末)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则_.n
