《广东高考理数大二轮 专项训练【专题2】平面向量(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东高考理数大二轮 专项训练【专题2】平面向量(含答案)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 广东高考理数大二轮广东高考理数大二轮 专项训练专项训练第第 3 讲讲 平面向量平面向量考情解读 (1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力1平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0.(2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为.a|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)(4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a(1，k)是直线 l 的一个方向向量(5
2、)向量的投影：|b|cosa，b叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影2平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 ，使 ba.(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1，2，使 a1e12e2，其中 e1，e2是一组基底3平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|.aax2y2(2)若 A(x1，y1)，B(
3、x2，y2)，则|.ABx2x12y2y12(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)， 为 a 与 b 的夹角，则 cos .ab|a|b|x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2热点一 平面向量的概念及线性运算例 1 (1)(2014福建)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是( )Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)(2)如图所示，A，B，C 是圆 O 上的三点，线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D，若mn，则 mn 的取值范围是( )OCO
4、AOBA(0,1) B(1，)C(，1) D(1,0)思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与mn对应OCOAOB答案 (1)B (2)D解析 (1)由题意知，A 选项中 e10，C、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a(3,2)2e1e2)(2)依题意，由点 D 是圆 O 外一点，可设(1)，则(1).BDBAODOBBAOAOB又 C，O，D 三点共线，令(1)，ODOC则(1，1)，OCOA1OB所以 m ，n.1故 mn (1,0)故选 D.11思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算
5、法则的共性与不同，两者不能混淆如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时，要抓住两条主线：一是基于“形” ，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数” ，借助坐标运算来实现(1)(2014陕西)设 00，2得 2sin cos ，tan .12(2)如图，设 FB 的中点为 M，连接 MD.因为 D 为 BC 的中点，M 为 FB 的中点，所以 MDCF.因为 AF AB，所以 F 为 AM 的中点，E 为 AD 的中点13方法一 因为a，b，D 为 BC 的中点，ABAC所以 (ab)AD12所以 (ab)AE12AD14所以b (ab)CECAA
6、EACAE14 a b.1434所以 x ，y ，所以 xy .143412方法二 易得 EF MD，MD CF，1212所以 EF CF，所以 CE CF.1434因为b a，CFCAAFACAF13所以 (b a) a b.CE34131434所以 x ，y ，则 xy .143412热点二 平面向量的数量积例 2 (1)如图，BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，2，则等于( )BFFOFDFEA B3489C D1449(2)(2013重庆)在平面上，|1，.若| ，则|的AB1AB2OB1OB2APAB1AB2OP12OA取值范围是( )A. B. C. D.(0，52(5
7、2，72(52， 2(72， 2思维启迪 (1)图 O 的半径为 1，可对题中向量进行转化，；(2)利FDFOODFEFOOE用| ，寻找，的关系OP12OPOA答案 (1)B (2)D解析 (1)2，圆 O 的半径为 1，| ，BFFOFO13()()2()( )201 .FDFEFOODFOOEFOFOOEODODOE1389(2)，AB1AB2()()AB1AB2OB1OAOB2OA20，OB1OB2OB1OAOAOB2OA2.OB1OB2OB1OAOAOB2OA.APAB1AB2，OPOAOB1OAOB2OA.OPOB1OB2OA|1，OB1OB221122()OPOAOB1OB2OB
8、1OAOB2OA222(2)22，OAOAOA| ，0|2 ，022 ，OP12OP14OA14 22，即|.74OAOA(72， 2思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算(1)(2014江苏) 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_CPPDAPBPABAD(2)已知点 G 是ABC 的重心，若A120，2，则|的最小值是_ABACAG答案 (1)22 (2)23解析 (1)由3，得，CPPDDP14DC14ABAPADDPAD14A
9、BBPAPABAD.因为2，所以()()2，即214ABABAD34ABAPBPAD14ABAD34ABAD12ADAB31622.又因为225，264，所以22.ABADABABAD(2)在ABC 中，延长 AG 交 BC 于 D，点 G 是ABC 的重心，AD 是 BC 边上的中线，且 AG AD，|cos 1202，|4，223ABACABACABACAG23ADAD， ()，ABACAG13ABAC2 ()2 222 2|2(2) ，2 ，|AG13ABAC19ABABACAC19ABAC49AG49| ，|的最小值是 .AG23AG23热点三 平面向量与三角函数的综合例 3 已知向量
10、 a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中 0x.(1)若 ，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x 的值；4(2)若 a 与 b 的夹角为 ，且 ac，求 tan 2 的值3思维启迪 (1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的 x 值(2)由夹角公式及 ac 可得关于角 的三角函数式，通过三角恒等变换可得结果解 (1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )， ，4f(x)bccos xsin x2
11、cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)2令 tsin xcos x，(4 x )则 2sin xcos xt21，且1t.2则 yt2t12 ，1t，2(t22)322t时，ymin ，此时 sin xcos x，223222即sin，2(x4)22 x， x ，42454x ，x.4761112函数 f(x)的最小值为 ，相应 x 的值为.321112(2)a 与 b 的夹角为 ，3cos cos cos xsin sin xcos(x)3ab|a|b|0x，0x，x .3ac，cos (sin x2sin )sin (cos
12、 x2cos )0，sin(x)2sin 20，即 sin2sin 20.(23) sin 2cos 20，tan 2.523235思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题已知向量 a，b(cos x，1)(sin x，34)(1)当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值；(2)设函数 f
13、(x)2(ab)b，已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b2，sin B，求 f(x)4cos(2A )(x0， )的取值范围36363解 (1)ab， cos xsin x0，tan x .3434cos2xsin 2x .cos2x2sin xcos xsin2xcos2x12tan x1tan2x85(2)f(x)2(ab)bsin ，2(2x4)32由正弦定理，可得 sin A，A .asin Absin B224f(x)4cossin ，(2A6)2(2x4)12x0， ，2x ，34411121f(x)4cos(2A ) .326212故所求范围为1， 322121当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易出错，向量 (其中ABOBOAO 为任意一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量2根据平行四边形法则，对于非零向量 a，b，当|ab|ab
