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1、不等式不等式选讲选讲（二）（二）一、考点介绍（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： |a+b|a|+|b|(a,bR);|a+b|a-c|+|c-b|(a,bR). （2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式 |ax+b|c |ax+b|c |x-c|+|x-b|a （3）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法（4）能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。 （5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。二、高考真题 （20072007 广东卷理广东卷理 14 14）设函数
2、( )213f xxx，则( 2)f ；若( )5f x ，则x的取值范围是 【解析解析】( 2)f 63)2(1)2(2.由5312xx得xx212，则xxx2122，得11x【答案答案】6；1,122.（20072007 海南、宁夏卷理海南、宁夏卷理 2222）设函数( )214f xxx（I）解不等式( )2f x ；（II）求函数( )yf x的最小值【解析解析】 （）令214yxx，则152 13342 54xxyxxxx ， ， ， ，作出函数214yxx的图象，它与直线2y 的交点为( 7 2) ，和523，所以2142xx的解集为5(7)3xxU，（）由函数214yxx的图像可
3、知，当1 2x 时，214yxx取得最小值9 23 3 （20082008 广东卷理广东卷理 14 14）已知aR，若关于x的方程2104xxaa有实根，则a的取值范围是 【解析】方程即2110, 44aaxx ,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数a的取值范围为10,4 【答案答案】10,4 4 4 （20082008 海南、宁夏卷理海南、宁夏卷理 2222）已知函数( )84f xxx（）作出函数( )yf x的图像；（）解不等式842xx【解析解析】 （）44 ( )21248 48.x f xxx x ， ， ， ，图像如下：（）不等式842xx，即( )2f x ，由
4、2122x得5x 由函数( )f x图像可知，原不等式的解集为(5)，5 5 （20082008 江苏卷理江苏卷理 21 21）设 a，b，c 为正实数，求证：3331112 3abc+abc【解析解析】：因为, ,a b c为正实数，由平均不等式可得33333331111113abcabcg即 3331113 abcabc所以3331113abcabcabcabc，而3322 3abcabcabcabcg所以 3331112 3abc+abc三、名校试题三、名校试题考点一：考点一：含有绝对值的不等式的解法含有绝对值的不等式的解法 1（2008 届宁夏银川一中高三年级第二次模拟考试）设函数 f
5、(x)=|2x-1|+x+3, （1）解不等式 f(x)5,（2）求函数 y=f(x)的最小值。【解析解析】 （1）当 x0,b0,c0,abc=1,试证明：23 )(1 )(1 )(1222baccabcba.【解析解析】由22 (0),(0)44xyxyx yxyyy得，所以)11(411 11)1()()(1223cba cba cbabc cba 同理：)11(411 )(13cabcab， )11(411 )(13bacbac相加得：左)111(21 cba23 233abc考点四：证明不等式的基本方法考点四：证明不等式的基本方法 5.( 2008 年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考
6、试年宁夏银川一中高三年级第三次模拟考试)设 aR 且 a-2,比较 a22与2-a 的大小【解析解析】 22a-(2a)=22aa,3 分当2a 且0a 时, 2 02aa,22a2a 6 分当0a 时, 2 02aa,22a=2a 7 分当2a 时, 2 02aa,22a2a 10 分考点五：数学归纳法考点五：数学归纳法 6.（山东省潍坊市（山东省潍坊市 2008 年年 5 月高三教学质量检测）月高三教学质量检测）已知各项均为正数的等比数列an， 公比q1，且满足a2a4=64，a3+2 是a2，a4的等差中项.（1）求数列an的通项公式；（2）设12 21log, 2nnnnaBaA，试比
7、较An与Bn的大小，并证明你的结论.【解析解析】 （1）, 8, 0. 8,64,64332 342aaaaaanQQ又2 分423,2aaa是Q的等差中项，, 0252,8820,)2(22 423qqqqaaa即即解得q=2 或21q（舍去） ，4 分.22833 3nnn nnqaaa的通项公式为数列5 分（2）由（1）得212 21) 1(2log, 22nBAn nn n，当n=1 时，A1=2，B1=（1+1）2=4，A1B4； 由上可猜想，当 1n3 时，AnBn.8 分 下面用数学归纳法给出证明： 当n=4 时，已验证不等式成立.假设n=k（k4）时，AkBk.成立，即21)
8、1(22kk,1222212 1 1) 1(444422) 1(22)22(222,1 kkk k BkkkkkkAkn时当即当n=k+1 时不等式也成立，由知，当.,)(4* nnBANnn时综上，当31 n时，Anx3 时 ， （4-x）+（x-3） 1 解法二: 设 y=|x-4|+|x-3|， （|x-3|=|3-x|）等价于: )3( 72)43( 1)4( 72xxxxx y其图象为: 由图象知: 当 a1 时,|x-4|+|3-x|a 无解 当 1a 时,|x-4|+|3-x|a 有解 5.(2008 届苏北三市高三年级第一次联合调研届苏北三市高三年级第一次联合调研) 设ABC的三边长分别为cba,，（1）判定 ,bca abc cab 的符号；（2）求证：cbacbac bacb acba222 【解析解析】 （1）因为cba,的三角形的三边，所以0,0,0bcacababc4 分（2）222abc bcacababc 2221abcbcacababcabc bcacababc22221abcbcacababcabcbcacababc 21abcabcabc
