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1、- 1 -本科毕业论文（设计）中期报告本科毕业论文（设计）中期报告选 题广义高阶微分中值定理的“中间点”的渐近性院 系数学科学学院专 业数学与应用数学学生姓名学号指导教师研究内容：在张广义的广义微分中值定理的“中间点”的渐近性【1】中，讨论了广义一阶微分中值定理的“中间点”的渐近性质，得到了几个在更弱条件下的渐近估计式，本文将其进行推广，研究广义高阶微分中值定理的“中间点”的渐近性质和渐近估计式。 研究方法、手段及步骤：（1）研究方法、手段：文献研究法，逻辑推理。（2）步骤：查找文献中的高阶微分中值定理的推广形式，作些变换，使表达式更加美观；更改文献【1】结论的条件，猜想结论；推理论证猜想；证
2、明要用到的几个引理；整理论证过程，撰写论文。研究的进展：已获得到了在文献【1】的几个定理更弱的条件下，广义高阶微分中值定理的 “中间点”的渐近性质和渐近估计式。研究的初步成果：证明了 2 个引理和 4 个定理。（1）引理 1：).1,.,2 , 1( , 0)() 1(0 nminCmi nini （2）引理 2：（广义高阶柯西中值定理）设在上连续，在内有)(g)(xxf、ba,ba,阶导数以及阶左、右导数，在上同正或同负，1nn)()()( -)(xgxgnn、ba,，则存在，及非负数、，且，使得0)(xgn axba,pq1qp.)()()()( )()()()()()(nnnnn axn
3、 ax qgpgqfpf xgxf （3）定理 1：若在上连续，在内有阶导数以及阶左、右导数，且)(xfba,ba,1nn，则广义高阶微分中值定理中的“中间点”满足：Aaxxf axxfnaxnax)()(lim)()(lim)()( 其中，为常数，为实数，.) 1).(1)(!lim1 nnn axaaxA, 0A且1. 0（4）定理 2：在定理 1 的条件下，若再设，则广义高, 0BaxAxf axAxfnrnaxnrnax1)(1)()()(lim)()(lim阶- 2 -微分中值定理中的“中间点”满足： .) 1)(2).(1)(!lim1 raxrrnrnrn axa 其中，为常数，
4、为实数，BrB, 0. 0r（5）定理 3：在广义高阶柯西中值定理的条件下，若，Aaxxf axxfnaxnax)()(lim)()(lim)()(,则广义高阶柯西中值定理中的“中间点”满足：Baxxg axxgnaxnax)()(lim)()(lim)()( 其中，为常数，.) 1).(1)() 1).(1)(lim1 nnnn axaaxBA、0A,为实数，且.0B、11（6）定理 4：在定理 3 的条件下，若再设，kaxxgBAxfaxxgBAxfrnnaxrnnax )()()( lim)()()( lim)()()()(则广义高阶微分中值定理中的“中间点”满足：其中，为常数，为实数，.) 1)(2).(1)() 1)(2).(1)(lim1 raxrrnrnrnn axakrk, 0. 1r指导教师意见：签名： 年 月 日
