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1、1黄冈中学高考数学典型例题详解黄冈中学高考数学典型例题详解 运用向量法解题运用向量法解题每临每临大事大事, ,必有必有静气静气; ;静则静则神明神明, ,疑难疑难冰释冰释; ;积极积极准备准备, ,坦然坦然面对面对; ;最佳最佳发挥发挥, ,舍我舍我其谁其谁? ?平面向量平面向量是新教材改革增加的内容之是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题解决一些相关问题.难点磁场难点磁场(
2、)三角形 ABC 中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)CAB 的平分线 AD 的长；(3)cosABC 的值.2案例探究案例探究例例 1如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且C1CB=C1CD=BCD.(1)求证：C1CBD.(2)当的值为多少时，能使 A1C平1CCCD面 C1BD？请给出证明.命题意图：本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.知识依托：解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.错解分析：本题难
3、点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与3向量夹角的区别与联系.技巧与方法：利用 abab=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.(1)证明：设=a, =b,=c,依题意，CDCB1CC|a|=|b|，、中两两所成夹角为CDCB1CC，于是=ab，=c(ab)DBCDBDBDCC 1=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD.(2)解：若使 A1C平面 C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1，由)()(1111CCCDAACADCCA=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|
4、2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时，A1CDC1，同理可证当|a|=|c|时，A1CBD，=1 时，A1C平面 C1BD.1CCCD4例例 2如图，直三棱柱 ABCA1B1C1，底面ABC 中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.(1)求的长；BN(2)求 cos的值；11,CBBA(3)求证：A1BC1M.命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题.属级题目.知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 Oxyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标.错解分析：本题的难点是建系后，考
5、生不能正确找到点的坐标.技巧与方法：可以先找到底面坐标面xOy 内的 A、B、C 点坐标，然后利用向量5的模及方向来找出其他的点的坐标.(1) 解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.依题意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)|=.BN3)01 () 10()01 (222(2) 解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).=(0，1，2)1BA1),2 , 1, 1 (CB=10+(1)1+22=311CBBA |=1BA6)02() 10()01 (2225)02()01 ()00(|222 1CB.1030563|,cos1111 11 CBB
6、CCBBACBBA(3) 证明：依题意得：C1(0，0，2)，M()2 ,21,21)2, 1 , 1(),0 ,21,21(11BAMC, 00)2(21121) 1(1111MCBAMCBAA1BC1M.6锦囊妙计锦囊妙计1.解决关于向量问题时，一要善于运用解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想数与形互相转化和密切结合的思想.2.向量的数量积常用于有关
7、向量相等，向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题问题.3.用空间向量解决立体几何问题一般可用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，
8、所需要的向量是否已知？若未知，7是否可用已知条件转化成的向量直接表示？是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？行运算，才能得到需要的结论？歼灭难点训练歼灭难点训练一、选择题1. () 设 A、B、C、D 四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4
9、，3)，(3，1)，则四边形 ABCD 为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2. () 已知ABC 中，=a，=b，ab0，SABAC8ABC=,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( )415A.30B.150C.150D.30或 150二、填空题3. () 将二次函数 y=x2的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数y=2x5 的图象只有一个公共点(3，1)，则向量 a=_.4.()等腰ABC 和等腰 RtABD 有公共的底边 AB，它们所在的平面成60角，若 AB=16 cm,AC=17 cm,则CD=_.三、解答题5.()如图，在ABC 中，设=a， =b，
10、ABAC=c, =a,(01), =b(01),试APADAE9用向量 a，b 表示 c.6.()正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为a.2(1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角.7.()已知两点 M(1，0)，N(1，0)，且点 P 使成公差NPNMPNPMMNMP,小于零的等差数列.(1)点 P 的轨迹是什么曲线？(2)若点 P 坐标为(x0,y0),Q 为与的PMPN夹角，求 tan.8.()已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 的中点.(1)用向量法证明 E、F、G、
11、H 四点共10面；(2)用向量法证明：BD平面 EFGH；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有.)(41ODOCOBOAOM参考答案参考答案难点磁场解：(1)点 M 的坐标为 xM=)29, 0(,29 227; 0211MyM.2221)291()05(|22 AM5)21() 15(| ,10)71() 15(| )2(2222ACABD 点分的比为 2.BCxD=311 21227,31 21121 Dy.2314)3111()315(|22AD(3)ABC 是与的夹角，而BABC=(6，8） ，=(2，5）.BABC111452629291052)5(2
12、)8(6)5()8(26|cos 2222 BCBABCBAABC歼灭难点训练一、1.解析： =(1，2） ， =(1，2） ，ABDC=，又线段 AB 与线段ABDCABDCDC 无公共点，ABDC 且|AB|=|DC|，ABCD 是平行四边形，又|=AB， =(5，3） ，|=，|,5ACAC34ABACABCD 不是菱形，更不是正方形；又=(4，1） ，BC14+21=60,不垂直于，ABBCABCD 也不是矩形，故选 D.答案：D2.解析：35sin得 sin= ,21 41521则=30或=150.又ab0,=150.答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm12三、5.解：与共线，
13、BPBE=m=m()=m(ba),BPBEAEAB=+=a+m(ba)=(1m)APABBPa+mb又与共线，=n=n()CPCDCPCDADAC=n(ab),=+=b+n(ab)=na+(1n)APACCPb由，得(1m）a+mb=na+(1n)b.a 与 b 不共线， 0101 11 mnmn nmam 即解方程组得：m=代入式 11,11n得 c=(1m)a+mb=(1)11a+(1)b.6.解：(1)以点 A 为坐标原点 O，以 AB所在直线为 Oy 轴，以 AA1所在直线为 Oz13轴，以经过原点且与平面 ABB1A1垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得 A(0，0
14、，0） ，B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(a).2,2,23aa2(2)取 A1B1的中点 M，于是有 M(0，a） ，连 AM，MC1，有=(a,0,0）,2,2a 1MC23且=(AB所以所成的角，即 AC1与侧面AMAC 与1ABB1A1所成的角为 30.7.解：(1)设 P(x,y）,由 M(1，0） ，N(1，0）得， =(1x,y）,PMMP=(1x,y), =(2,0),NPPNMNNMMP=2(1+x), =x2+y21, =2(1x).MNPMPNNPNM 于是，是公差小于零的等NPNMPNPMMNMP,差数列，等价于030)1 (2)1 (2)1 (2)1 (2211222xyxxxxxyx即所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，14为半径的右半圆.3(2)点 P 的坐标为(x0,y0),30 , 1cos21, 3041|cos42)24)(24()1 ()1 (| , 2102 02 0002 02 02 022 02 0 xxPNPMPNPMxxxyxyxPNPMyxPNPMQ|3cossintan,411cos1sin02 02 02yxx8.证明：(1）连结 BG，则EHEFEHBFEBBDBCEBBGEBEG)(21由共面
