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1、20/ 20学年第学期概率论与数理统计同步练概率论与数理统计同步练概率论与数理统计同步练概率论与数理统计同步练习习习习姓名姓名班级班级学号学号任课教师任课教师1第五章第五章大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理习题一习题一大数定律大数定律一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题1. 1)(min;min; 1)|(|min, 0;0)|(|min, 0( ).,21aXP(D)aX(C)aXP(B)aXP(A)aXaXXXnnnnnnnnnn是指于依概率收敛则为常数为随机变量序列设2.)(D);)(1(C);(1(B);(A)( ).1| )(|,)(22aXDaXDXDXDaXEXPa
2、XDX则为正常数的方差设随机变量3.54;43;32;21186,9)(,12)(XPXDXEX:用切比雪夫不等式估计的一随机变量(A)(B)(C)(D)( ).1.设随机变量的E与D存在,对任意给定的,则有概率P | E | .( )( )( )02三、解答题三、解答题2.设,21n是独立同分布的随机变量序列,且2)(,)(iiDE均存在,令niin11则对任意的,有Pnlim.,3.设每次射击击中目标的概率为 0.001, 如果射击 5000 次,中的次数为, 试用切比晓夫不等式确定概率P 0 10 .其中击4._.12080,10)(,100)(XPXDXEX夫不等式方差的数学期望随机变
3、量则由切比雪5._3|,2XPDEX有夫不等式则由切比雪方差的数学期望设随机变量X( )X( )1设随机变量的概率密度函数为( )()0101122xxxx试用切比雪夫不等式估计事件31E的概率至少是多少?其它( ),32.某发电机给 10000 盏电灯供电, 设每晚各盏电灯的开, 关是相互独立的, 每盏灯开着的概率都是0.8, 试用车贝谢夫不等式估计每晚同时开灯的电灯数介于在7800 与8200 之间概率.3.04. 0)|10(|, 4)(,10)(cXPcXDXEX使得用切雪夫不等式求常数的数学期望和方差分别为设随机变量利4习题二习题二中心极限定理中心极限定理一、选择题一、选择题二、填空
4、题二、填空题三、解答题三、解答题1.设随机变量n,服从二项分布B ( n,p )其中0 p 1,n 1, 2 ,那么,对于任一实数x有xnpPnnlim等于.xtdte221; 0;dtet221; xtdte22.(C)(A)(B)(D)( )()pnp122,1.设n,21是相互独立的随机变量,且都服从正态分布),(2N, (则niin11服从的分布是_ .,2.设每次射击击中目标的概率为0.001,如果射击5000次,中心极限定理击中次数不大于2的概率等于.已知:1 . 0F(1.34) 0.9099; 1 . 0F(1.35) 0.9115.试根据1.设随机变量10021,相互独立,且
5、均服从指数分布()000021)(21xxexfx设用中心极限定理求出概率2401nkiP.已知1 . 0F (2) 0.9772.,52.在一次空战中,出现了50架轰炸机和100架歼击机,每架轰炸机受到二架歼击机的攻击,这样,空战分为50个由一架轰炸机和二架歼击机的小型空战,设在每个小型空战里,率为0.4,求空战里有不少于35 %的轰炸机被打下的概率.已知:1 . 0F(0.86) 0.8051;1 . 0F(0.87) 0.8078;1 . 0F(0.88) 0.8133.轰炸机被打下的概3.某批产品的次品率是0.005,试求作意抽取10000件产品中次品数不多于70件的概率.已知1 .
6、0F(2) 0.9772;1 . 0F(2.84) 0.9977;1 . 0F( x ) 1,x4.4.,设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立,布且服从相同的分,0.5其数学期望为kg,0.1均方差为kg?25105000的概率是多少只零件的总重量超过问kg只零件的总重6复复 习习 题题一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题1.设10021,服从同一分布,它们的数学期望和方差均2,那么nPnii401.21; nn212; n21; n1.(C)(A)(B)(D)( )是2.设随机变量满足等式P | E | 2 1/16,则必有41D;41D;41D;16152EP.(C)(A)(B)(
7、D)( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3.设随机变量的数学期望E,方差D2,试利用切比雪夫不等式估计P | .98; 1615; 109; 101.(C)(A)(B)(D)( )( ) ( ) 1. 4)(,10)(XDXE由切比雪夫不等式, 若0.04|10|cXP则.c2.掷一均匀硬币10000次,表示出现正面的次数,试用切比雪夫不等式估计P 4900 5100 .3.某批产品的次品率为0.1,连续抽取10000件,表示其中的次品数,试用中心极限定理计算P 9701030 .已知1 . 0F (1) 0.8413,1 . 0F (2) 0.9772.7三、解答题三、解答题4.
8、设独立随机变量10021,均服从参数为的泊松分布,试用中心极限定理确定概率4201001iiP.已知1 . 0F (0.5) 0.6915,1 . 0F (1) 0.8413,1 . 0F (2) 0.9772.41.设随机变量n,21相互独立 , 且服从同一分布又知期望mEk, 方差0)(2kD均存在, 记nkkn11, 为使%,951 . 0mP问n的最小值应为多少 ?)(2.设投一个均匀的骰子出现的点数是随机变量, 对于 2:(1) 精确计算P | ;(2) 用切贝谢夫不等式估计PE | 之值.( )( )83.已知正常男性成人血液中, 每毫升(ml) 白细胞数平均是 7300, 准差是
9、 700. 利用切比雪夫不等式估计每毫升男性成人血液中含5200 至 9400 之间的概率p.标白细胞数在4.某批产品的次品率是0.005,试求作意抽取10000件产品中次品数不多于70件的概率.已知1 . 0F(2) 0.9772;1 . 0F(2.84) 0.9977;1 . 0F( x ) 1,x4.5.某灯泡厂生产的一批灯泡,次品率为1%,现随机地抽样500个,试用泊松逼近和正态逼近二种方法计算次品不超过5多少?已知标准正态分布函数0F,1( x)的值.8438. 0)01. 1 (1 , 5 . 0)0(1 ,9878. 0)25. 2(1 ,000FFF泊松分布xrker!表x45
10、60.50.01750.01700.0001 50.73490.55150.3840个的概率是.9四、证明题四、证明题1.设,21nXXX是独立随机变量序列,iX的分布列为, 2, 1i证明:. 01lim1niinXnP2111210222iiipiaiaXi2.用中心极限定理证明,在贝努里试验中,若p,则不论k如,总有0limknpPnn何.10自自 测测 题题一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题1.( )., 0,有定的则对于任意给是独立同分布的随机变量序列设nnX. 11lim(D);01lim(C);01lim(B);01lim(A)1111niinniinniinniinXnP
11、nXnPXnPnXnPXE( ) 2.设随机变量 的数学期望和方差均是6,那么120P( ).(A)61; (B) 65; (C) 31; (D) 21.3.设随机变量的数学期望和方差均是m (m为自然数),那么()140mP( ).(A) 11m; (B) 1mm; (C) 0; (D) m1.11.( )设随机变量的数学期望52E, 方差251D, 试用切比雪夫不等式估计3152P.( )2.每次试验事件A发生的概率为43,表示在10000次重复独立试验中,事件A出现的次数,试用切比雪夫不等式估计得76. 01000074. 0P.11三、解答题三、解答题3.某批产品的次品率为0.1,连续
12、抽取10000件,表示其中的次品数,试用中心极限定理计算P970 .已知1 . 0F(1) 0.8413,1 . 0F (2) 0.9772,1 . 0F (33.333) 1.4._),2, 1(,121limxnnXPiXXXniini的泊松分布从参数为为相互独立的随机变量序列设且,则,服1.一药厂试制成功一种新药,卫生部门为了检验此药的效果,在100名患者中进行了试验,决定若有75名或更多患者显示有效时,批准该厂投入生产,如果该新药的治愈率确实为80% ,通过这地检验的概率是多少?已知标准正态分布函数0F,1(x)的值.5517. 0)13. 0(1 ,8944. 0)25. 1 (1
13、,6217. 0)313. 0(1 ,000FFF即求该药能2.利用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀硬币时,需掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4 0.6之间的概率不小90 %.123.为了使问题简化,假定计算机进行数的加法运算时,把每个加数取为最接近于它的整数(其后一位四舍五入)来计算,整误差是相互独立的,且它们都在 0.5, 0.5上服从均匀分布,有1500个数相加，15知标准正态分布函数0F, 1( x)的值.5517. 0)134. 0(1 ,9099. 0)342. 1 (1 ,5478. 0)12. 0(1 ,000FFF设所有的取若的概率是多少？问误差总和的绝对值超过已:4.
14、某工厂有400台同类机器,已知各台机器发生故障的概率都是 0.02,假定各台机器工作是相互独立的,试用中心极限定理计算机器出故障的台数不小于2的概率,已知标准正态分布函数0F,1 (x)的值.,9979. 0)857. 2(1 ,9838. 0)143. 2(1 ,8461. 0)02. 1 (1 ,000FFF.7794. 0)675. 0(1 ,0F13四、证明题四、证明题5.有一大批混合种子,其中良种占61,今在其中任选6000粒,这些种子中,良种所占的比例与61之差小于1%的概率是多少?已知标准正态分布函数0F, 1( x)的值:0F,1 (2.078) 0.9812,0F,1 (0.
15、072) 0.5279,0F, 1 (0.72) 0.7642.试问在1.证明如果随机变量序列,21n)(iD存在,i 1,2,满足,01lim12niinDn则对任意给定的 0,恒有111lim11niiniinEnnP.)(,且14考研训练题考研训练题一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题1.设随机变量X的概率密度为其它, 010,2)(xxxf则( ).)(2| )(|XDXEXP(A)9289;9246;9246;9289.(B)(C)(D)2.11191(D);91|9|(C);11|9|(B);11| 1|(A)( )., 0,),9,2,1(1, 1,222291921XPXP
16、XPXPXXiXXXiiii由切比雪夫不等式直接可得则对任意给定的令而且有相互独立且同分布设随机变量XE( ) )(XD1.掷一均匀硬币10000次,表示出现正面的次数,试用切比雪夫不等式估计P 4900 5100 .2._.4|_,2, 1,8)(,)(,121XPnXXniXDXEnXXXniiiin并估计写出所满足的切比雪夫不等式对于其中个相互独立同分布的随机变量是设,15三、解答题三、解答题3.某保险公司每月收到保险费是随机变量i,iE10 (万元),iD 1,试用中心极限定理确定100个月收到保险费超过101010101001iiP.1 . 0F(1) 0.8413,1 . 0F(1
17、.5) 0.9332,1 . 0F(2) 0.9772.()()万元的概率4.设随机变量10021,相互独立,且服从同一分布,具有,52iE100, 1,251iDi试用中心极限定理确定概率421001iiP.已知1 . 0F(1) 0.8413,1 . 0F(1.5) 0.9332,1 . 0F(2) 0.9772.()()1.,22YX和的数学期望分别为和设随机变量,41和方差分别为,5 . 0而相关系数为根据切比雪夫不等式估计.6|YXP2.随机地掷六颗骰子,试利用切贝雪夫不等式估计:六颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率.163.设随机变量n,21相互独立, 且均服从指数
18、分布()0000)(xxexfx为使10095/101111nkknP, 问n的最小值应如何?,4.21)(,.)1, 1(,22表示用的概率的绝对值小于与其值的差分别用切比雪夫不等式和中心极限定理估计果作为测量结次测量的算术平均若把内的均匀分布每次测量产生的随机误差都服从独立地多次测量一个物理量dtexXXnxt17四、证明题四、证明题5.某系统有,10021DDD100个电子元件,系统使用元件的方式是:先使用kD而jD( jk )备用,若mD损坏则1mD立即使用( m 1, 2, 99 ),设kD的寿命k服从参数为 0.1/小时的指数分布,且,10021相互独立,求100个元件用的总时间超
19、过1000小时的概率.1.,21是相互独立的随机变量序列设nXXX且,2,1,1/2lnnnnXP验证.服从大数定律nX1参考答案或提示参考答案或提示习习 题题 一一一、1.A2.D3.C二、1.答答答答( )21D.2.答答答答0.3.答答答答 0.8002 .4.975. 02010120|100|120802XPXP答答答答由切比雪夫不等式.5.91)3(3|.|,0,)(,)(:,.9122222XPXPXDXEX因此有则对于任意给定的满足如果随机变量切比雪夫不等式指出答答答答三、1.解解解解()521121022dxxxE( )()( )251511122210232EEDdxxxE
20、315231PEP由切比雪夫不等式取31知:上式()231/251/12516.( )()( )( ),2习习 题题 二二2.解解解解 B(10000, 0.8)E = 8000D 0.8 0.2 =.P 7800 8200 = 8000 | 17 np 50 0.4 20 ,npq 20 0.6 12.根据中心极限定理p17 502050202017p67. 846. 320867. 0p()()867. 067. 81 , 01 , 0FF()()867. 0111 , 0F()806. 0867. 01 , 0F.121212,3复复 习习 题题3.解解解解设 表示抽出的次品数,它服从二
21、项分布B (10000, 0.005)按中心极限定理05. 7995. 050,50005. 010000npqnp05. 7507005. 75005. 7500700PP84. 209. 7222184. 205. 75009. 7dtePt1 , 0F(2.84)1 , 0F(7.09) 0.9977.4.解解解解设各零件的重量为),5000,2, 1(iXi已知)(XEi,0.5kg)(XDi,0.1kg总重量,50001XZii故所求概率为50000.15 . 05000251050000.15 . 050002510ZPZP50000.1101)1.414(10.92141.0.0
22、787一、1.B2.D3.B二、1.解解解解填 10.0.044)(|10|22ccXDcXP故.10c2.答答答答 0.75.3.答答答答 0.6826.4.答 0.8413.4三、1.解解解解( )(),112121nDnnDDnkknkk又( ),mE由切比雪夫不等式,可得1 . 011 . 0mPmP()nn10011 . 01122若要100951001n即取n 2000,故n的最小值为2000.,2.解解解解的分布列为(),6,3,2, 161kkP123527DE(1)31227P;(2)APD2273148352.,( )( )( ),3.解解解解设每毫升正常男性成人血液中含白
23、细胞数为X, 由题设知.700)(,7300)(2XDXE由切比雪夫不等式.98210070012100|7300|2100730021009400520022XPXPXP4.解解解解设 表示抽出的次品数, 它服从二项分布B (10000, 0.005)按中心极限定理05. 7995. 050,50005. 010000npqnp05. 7507005. 75005. 7500700PP84. 209. 7222184. 205. 75009. 7dtePt1 , 0F(2.84)1 , 0F(7.09) 0.9977.5证证证证knpPnnpqknpqnpnpqkPndtedtetnpqkn
24、pqkt22222121于是有0limknpPnn.5.解解解解设500个中次品有个,服从B(500,0.01)由于n 500较,p 0.01较小,可用泊松逼近和正态逼近(1)用泊松逼近,np 500 0.01 565!51515rrerpP6160. 03840. 01(2)用正态逼近,5np5555050pP25. 201 , 01 , 0FF= 0.5 0.0122 = 0.4878.95. 495. 495. 495. 4()1pnp大四、1.证证证证, 02111021)(222iniiiniXEi.2111021)(2222222222aiainiaiXEi故.)()()(222a
25、XEXEXDiii从而.)(11, 0)(11212111naXDnXnDXEnXnEniiniiniinii由切比雪夫不等式., 01122211nnaXnDXnPniinii2.6自自 测测 题题一、1.A2.B3.B二、1.答答答答2516.2.答答答答 0.8125.3.4.答答答答 0.1587.dtexnnXPXDXEtxniinii21221),2, 1(,)(,)(lim代入独立同分布中心极限定理得答答答答.三、1.解解解解设100名参试的患者中,该药显示效果的人数为,假定各患者的情况彼此独立, 则可认为服从B(100,0.8)()41,80, 8 . 0,100pnpnppn
26、应用德莫能通过检验的概率是:48075480175PP()()25. 125. 111 , 01 , 0FF 0.8944.,拉普拉斯中心极限定理知该药,2.解解解解设表示在掷n次试验中,出现正面的次数,则出现正面的频率为n.E 0.5 n,D 0.5 n (10.5) 0.25 n由切比雪夫不等式,得6 . 04 . 0nP5 . 06 . 05 . 05 . 04 . 0nPnEnP1 . 01 . 0nEP1 . 0()90. 02511 . 025. 012nnn从而n 250 .( )( )( )( )73.解解解解设各个数的取整误差为),1500,2, 1(kk15001,独立.)
27、(, 0kkDE121k1 21500 ,15001kk表示误差总和,( )1251211500, 0DE分布中心极限定理知15115PP( )342. 11125151DPP10,1(1.342)112 0.90991 0.1802.2F( )D)( )相互,由独立同,( )4.解解解解设机器出故障的台数为,服从B ( 400, 0.02)np 400 0.02 8,8.2npnpnpPPP20120128 . 2828 . 288 . 281P8 . 288 . 2611 , 01 , 0FF 10F,1 ( 2.143 ) 0F,1 ( 2.857 ) 1 0.98380.9979 0.
28、9859.()1pnp(1pnp()1pnp()1pnp,5.解解解解设 6000 粒中良种有粒, 则服从61,6000B由德莫佛拉普拉斯定理知60100001. 0616000PP61110006061110001000P5365361 , 01 , 0FF() 1078. 22153621 , 01 , 0FF 2 0.9812 1 0.9624.8考研训练题考研训练题四、1.证证证证令niin11,则()niiniiEnnEE1111niniiDnnDD12111由切比雪夫不等式知,对任意给定的 0,有( )211DEP根据假设条件有( )0121limlimniiDnnDn.故有1li
29、mEPn,即所证等式成立.(),( )( )( )( )一、1.D2.C二、1.答答答答 0.75.2.nXnDnXDnXDnXnDXDnnXEnXEnXnEXEXXXiniiniiniiniiniiniin8)(1)(111)(1)(111)(,21212111121是相互独立同分布的随机变量答答答答nnXDXPnXDXPnXXnii21184114)(14|8)(|22221所满足的切比雪夫不等式于是因,所以,.,3.答答答答 0.1587.4.答答答答0.8413.9三、1.解解解解依题意有)(YXE)(XE)(YE,0),cov(2)(YXYXD)(XD)(YD2D(Y)D(X)XY)
30、(XD)(YD. 3根据切比雪夫不等式,66|2YXP)(YD X即.1216|YXP2.解解解解设表示六颗骰子出现的点数总和I,表示第i颗骰子出现的点数,i 1,2, 6,621,相互独立, 显然61ii()()23521,1235449621612765432161222DEDEii12339Epp131Ep( )9. 03383511691D.()( )( )()( )( ),3.解解解解21,1kkDE()21211111,11nDnnDnEnkknkknkk由切比雪夫不等式,得101111nkknP,1009510111101112211nnEnPnkknkk即100951001nn
31、从而n 2000 ,故n的最小值是2000 .()()(),104. 1)3(233/1|)|(|(2);311311)|(|(1).31)(1)(,)(1)(,3112)11()(,211)()1,1(,221212nnnXPXPnnXPnXDnXDXEnXEXDXEUXiXniiniiiiii于是从而得于是则其真值为次测量值为第设解解解解,5.解解解解由题设知k的密度为( )0001 . 01 . 0ttext于是()100,2,1101 . 001 . 0kdtteEtk()()()12001001 . 001 . 0222dtetEEDtkkk知100211001,kk独立.由独立同分布中心极限定理知P 100010101001000)10100(10110001kP( )010)1000(100111 , 01000FPk= 1 0.5 = 0.5.k1k100100(),四、1.证证证证,0)(iXE)()(2iiXEXD,lni且有)(iiXDXD1ni1ni,lnlnnni1ni所以ln12innXDn1ni0).(n,于是,由马尔可夫定理知服从大数定律随机变量序列nX.11
