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1、2009 年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷 一一. 填空题（本大题满分填空题（本大题满分 60 分）本大题共有分）本大题共有 11 题，题，1函数的定义域是 .) 1(log2xy解： 显现的知识与方法需求（对数函数的定01x义）准备知识需求（不等式性质）1x定义域 显现的知识与方法需求（区间的表示）), 1 ( 2计算： （ 为虚数单位）.2) i1(i解： 显现的知识与方法需求（复数的乘方）2221)1 (iii= 显现的知识与方法需求（121 i) 12i= 显现的知识与方法需求（复数的加减）i 23函数的最小正周期 .2cosxy T解： 显现的知识与方法需求（余弦函数的
2、最4212T小正周期)112 T4若集合，集合，则 .1|xxA20xxBBAI解：A= 准备知识需求（求绝对值不等式的解集）), 1 () 1,(UB=（0，2）AB=（1，2） 显现知识与方法需求（集合的交集）5抛物线的准线方程是 .xy22解：xpxy 22 潜在的知识与方法需求（抛物线标准方程）21p抛物线准线方程 显现的知识与方法需求（抛物线标准方程）41 2px6已知. 若，则与夹角的大小为 .2, 3barr3barrarbr解：设夹角为与ba显现的知识与方法需求（向量的夹角及向21 233cos baba量夹角的范围）准备知识需求（特殊角的三角比）3232的夹角为与ba7过点和
3、双曲线右焦点的直线方程为 .)1, 4(A116922 yx解：双曲线116922 yx4, 3ba 潜在的知识与方法需求（双曲线中5,25222cbac得)222bac双曲线的右焦点为)0 , 5(1FA（4，-1）显现的知识与方法需求（直线的斜率）1540) 1(1AFK3 显现的知识与方法需求（直线的点斜式方程）)5(1:xyAF05 yx8在中，若，则等于 .ABCoo60,75, 3ACBABCABBC解：ABC 中A=180-75-60=45 准备知识需求（三角形内角和为 180）显现的知识与方法需求（正弦定理）CAB ABC sinsin60sin3 45sinBCBC= 能力需
4、求（计算能力）69已知对于任意实数，函数满足. 若方程有 2009 个实数解，x)(xf)()(xfxf0)(xf则这 2009 个实数解之和为 .解：设方程的实数解为0)(xf200921,xxxL不妨设200921xxxL又)()(xfxf如存在0)(00xfx 使则 潜在的知识与方法需求（偶函数定义）0)(0xf020091 xx020082 xx4M010061004 xx能力需求（观察能力）01005x 准备知识需求（等式的性质）0200921xxxL10一只猴子随机敲击只有 26 个小写英文字母的练习键盘. 若每敲 1 次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击 10 次，屏幕上的 10
5、个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为 （结果用数值表示）.解：61 5 1041 5 262626CCP潜在的知识与方法需求（等可能事件的概率）626511以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间对应的线段，对折后（坐标 11, 0所对应的点与原点重合）再均匀地拉成 1 个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成 1，等43 41、21 21等）.那么原闭区间上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1, 01 重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间上（除两个端点外）的点，1, 0在第次操作完
6、成后（） ，恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标为 n1n.解：结论：，为的所有奇数。nnnj 2,23,21Lj2 , 1 n21015第一次操作：是被拉到与 1 重合的点21n=1 时，命题成立 能力需求（观察能力）第二次操作：是被拉到与 1 重合的点 能力需求（观察能力）2223,21第三次操作：0 81 41 83 21 85 43 871) 1 , 0()43,41()21() 1 , 0()43,41()21()21, 1 , 0()87,85,83,81()43,41()21, 1 , 0()87,85,83,81()43,41(1 1 3(0,1, )2 4 4)87,85,
7、83,81(6是被拉到与 1 重合的点 能力需求（观察能力）333327,25,23,21假设时命题成立；nk第 k 次操作：是被拉到与 1 重合的点 kkkk212,23,21L则时，1nk第(+1)次操作：k)87,85,83,81(1 1 3(0,1, )2 4 41315(,)16 1616L1 1 3(0,1,)2 4 4L1321(,)222kkkkL11111321(,)222kkkkL1 1 3(0,1,)2 4 4L1321(,)222kkkkL11111321(,)222kkkkL1 1 3(0,1,)2 4 4L11111321(,)222kkkkL1 1 3(0,1,)
8、2 4 4L11111321(,)222kkkkL7是被拉倒与 1 重合的点 能力需求（观察能力）1111212,23,21kkkkL所以时，命题也成立。1nk所以，为的所有奇数是被拉到与 1 重合的点 nnnj 2,23,21Lj2 , 1 n显现的知识与方法需求（数学归纳法）二选择题（本大题满分二选择题（本大题满分 16 分）分）12在空间中， “两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 答 ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.解：当两条直线异面时，这两条直线没有公共点但此时得不到这两条直线平行 潜在的知识与方法需求（直线的位
9、置关系）当两条直线平行时，这两条直线没有公共点 准备知识需求（两直线平行的特征）两条直线没有公共点是这两条直线平行的必要非充分条件显现的知识与方法需求（充分条件、必要条件）选 B13过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直)1, 0(P03222xyx线方程是 答 ( )（A）. （B）. （C）. （D）.0x1y01 yx01 yx解：84) 1(22yx圆心 A（1，0） ，P（0，1） 潜在的知识与方法需求（圆的标准方程） 潜在的知识与方法需求（求直线方程）01: yxAP选 C14已知函数若，则的取值范围是 答 ( ) . 0,log, 0,3)(21xxxxfx30xf0x
10、（A）. （B）或. （C）. （D）或80x00x80x800 x00x.800 x解：（1） 或（2） 能力需求（函数的表示方法） 330100xx3 2020 2log3log0xx或 显现的知识与方法需求（解指 11000 xx 8000 xx数不等式、解对数不等式）或 准备知识需求（不等式性质） 0000 xx80x舍去80xPxyAP9选 A15函数的反函数图像是 答 ( )01(112xxy解： 211xy)01(x反函数 潜在的知识与方法需求（求反函数的解析式）)21 () 1(12xxy准备知识需求（方程两边平方去根号）1) 1(012122 yxyx时选 C三解答题（本大题
11、满分三解答题（本大题满分 74 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，题， 16. ( (本题满分本题满分 12 分分) ) 如图，在斜三棱柱中，111CBAABC ACA1，侧棱与底面所成的2ACB61CAA1BB角为，. 求斜三棱柱3341AA4BCABC111CBA的体积.V解： 在中，RtCAA1CAAAAAC11tanABC1A1B1Cxy11O（A）xy11 O（D）xy11O（C）x1yO1（B）10. 准备知识要求（解直角三角形）43334作平面，垂足为，则，HB1ABCH31BHB显现的知识与方法需求（直线与平面所成角）在中，RtBHB1BHBBBHB111sin. 准备知识
12、要求（解直角三角形）623343sin1AA. 显现的知识与方法需求（求棱柱的体积）4864421 1HBSVABC17. ( (本题满分本题满分 14 分分) ) 本题共有本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题满分满分 6 分分，第第 2 小题满分小题满分 8 分分. .已知数列的前项和为，且（为正整数）. nannS11a3231nnSan（1）求数列的通项公式； na（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最LLnaaaS21nnSkS k大值.解： （1）， Q3231nnSa当时，. 潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系）2n3231nnSaCBABH111AC11由 - ，得. 数学模式识别能力（02331nnnaaa)21nnnSSan时. 准备知识需求（等式的性质）311n
