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1、教学目标 （一）教学知识点 圆的标准方程. （二）能力训练要求 1.掌握圆的标准方程； 2.能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程； 3.从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径. （三）德育渗透目标 1.渗透数形结合思想； 2.培养学生的思维素质； 3.提高学生的思维能力. 教学重点 已知圆的圆心为（a,b)，半径为r，则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.特别地， a=b=0 时，它表示圆心在原点，半径为r的圆：x2+y2=r2. 教学难点 根据条件，利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r，从而求出圆的标准方程. 教学方法 引导法 引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出
2、圆的标准方程. 教具准备 投影片两张 第一张：7.7.1 A第二张：7.7.1 B 例：如图所示是圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建 造时每隔 4 m 需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的高度.（精确到 0.01 m）.教学过程 .课题导入 我们知道，平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点就是圆心，定长 就是半径.那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？ .讲授新课 （打出投影片7.7.1 A)请同学们试着来求一下圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程. 师 （引导学生分析）：根据圆的定义，不难得出圆C就是到圆心C(a,b)的距离等 于定长r的所
3、有点所组成的集合. 师这个集合是怎样的一个集合呢？是否可用数学语言把它描述出来？ 生圆C就是集合P=MMC=r. 师这样的话，不妨设M（x,y)是圆上任意一点，由两点间的距离公式，点M适合 的条件可表示为生 （回答）：.rbyax22)()(师整理此式，可得到 生(x-a)2+(y-b)2=r2. 师这个方程就是圆心为C(a,b)，半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方 程.如果圆心在坐标原点，这时a=0,b=0,则圆的方程是 生x2+y2=r2. 师看来，只要已知圆心坐标和半径，便可写出圆的标准方程. 下面，我们看一些例子. 例 1求以C（1，3）为圆心，并且和直线 3x-4y-7=0
4、相切的圆的方程. 分析：要想写出圆的方程，需知圆心坐标和半径，圆心为C（1，3） ，而半径需根据已 知条件求得，因为圆C和直线 3x-4y-7=0 相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离， 而后可写出圆C的方程. 解：已知圆心是C（1，3） ， 圆C和直线 3x-4y-7=0 相切， 半径r等于圆心C到这条直线的距离. 由点到直线距离公式，可得r=.516)4(3734132 所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=.25256例 2已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0） 的切线的方程. 分析：欲求过M的直线方程，只要求出此直线斜率即可. 解：设切线的斜率为k，
5、半径OM的斜率为k1， 圆的切线垂直于过切点的半径，k=-.11 kk1=.00 xyk=-.00 yx经过点M的切线方程是：y-y0=-(x-x0),00 yx整理得x0x+y0y=x02+y02. 又点M（x0,y0)在圆上，x02+y02=r2. 所求切线方程是x0x+y0y=r2. 当点M在坐标轴上时，切线方程为： x=x0或y=y0. 可看出上面方程也同样适用. （打出投影片7.7.1 B) 例 3这是一实际应用例子. 分析：首先我们应建立恰当的坐标系，将这一问题转化为数学问题. 解：建立坐标系，圆心在y轴上，设圆心的坐标是(0,b)，圆的半径是r，那么圆的方 程是x2+(y-b)2
6、=r2. P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4） 、 （10，0）都是这个圆的方程的解. .)0(10,)4(0222222rbrb解得：b=-10.5,r2=14.52 圆方程为：x2+(y+10.5)2=14.52. 把点P2的横坐标x=-2 代入这个圆方程， 得（-2）2+（y+10.5)2=14.52, P2的纵坐标y0y+10.5=22)2(5 .14即y=-10.522)2(5 .1414.36-10.5=3.86 (m) 答：支柱A2P2的高度约为 3.86 m. .课堂练习 生课本P77,练习 1，2，3，4. 1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是 3； 解：x
7、2+y2=9.（2）圆心在点C（3，4） ，半径是；5解：（x-3）2+(y-4)=5. (3)经过点P（5，1） ，圆心在点C（8，-3）解：r=PC=5) 31 ()85(22圆方程为：(x-8)2+(y+3)2=252.已知一个圆的圆心在原点，并与直线 4x+3y-70=0 相切，求圆的方程. 解：圆的半径r为原点到直线 4x+3y-70=0 的距离.r=.14 347022 圆方程为：x2+y2=196.3.写出过圆x2+y2=10 上一点M(2,)的切线的方程.6解：利用例 2 结论可得：切线方程为 2x+y=10.64.已知圆的方程是x2+y2=1,求： （1）斜率等于 1 的切线
8、的方程.（2）在y轴上截距是的切线的方程.2解：（1）设切点坐标为M(x0,y0)则kOM=-1=00 xy又x02+y02=1 222222220000yxyx 或切线方程为y=x-22 22或y-=x+22 22即:y=x.2（2）设切点M（x0,y0） ，切线与y轴交点B（0，）2则：kOMkBM=-1即=-100002 xy xyx02+y02-y0=02又x02+y02=1(x-a) 2+(y-b) 2=r2 例 3或 222200xy 222200xy切线方程为y=x+.2.课时小结 通过本节学习，首先要掌握根据圆心坐标和圆的半径可写出圆的标准方程. 其次，根据圆的标准方程可求得圆心坐标和半径. 另外，还要会变通一些条件，从而求得圆的半径或圆心坐标，以便写出圆的标准方程. 还需了解的是过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2. 最后，还要注意结合初中所学的平面几何知识和前面所学的直线方程的有关知识解决 一些综合性问题. .课后作业 （一）课本P81习题 7.7 1,2,3,4. (二）1.预习内容：课本P7779 2.预习提纲： （1）圆的一般方程有何特点？ （2）圆的标准方程和圆的一般方程如何互化？ 板书设计 课 题 一、圆的标准方程例 1 例 2
