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1、等差数列、等比数列的性质运用等差数列、等比数列的性质运用 高考复习高考复习本文由 jakingzou 贡献doc 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT，或下载源文件到本机查看。难点 12 等差数列、等比数列的性质运用 等差数列、 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申.应用 等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解 决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点 考查这部分内容. 难点磁场 ()等差数列an的前 n 项的和为 30， 2m 项的和为 100， 前 求它
2、的前 3m 项的和 为. 案例探究 例 1已知函数 f(x)=1 x ?42(x0)(2) 1 a n +1= 4+1 an2,1 a n +121 an2= 4，1 an2是公差为 4 的等差数列，1 an2a1=1,=1 a12+4(n1)=4n3,an0,an=1 4n ? 3.(3)bn=Sn+1Sn=an+12= 设 g(n)=1 ,由 bn 25 , 4n + 1 25 4n + 1 25 25 * ,g(n)=在 nN 上是减函数， 4n + 1 4n + 1 25g(n)的最大值是 g(1)=5,m5,存在最小正整数 m=6,使对任意 nN*有 bn0,S13 0 ? 2 ?
3、13 12 ? ? S13 = 13a1 + 2 d a2a3a12a13,因此，在 S1，S2，S12 中 Sk 为最大值的 条件为：ak0 且 ak+10,即 ? a3=12, ?7a3 + (k ? 3)d 0 ?a3 + (k ? 2)d a2a12a13，因此，若在 1k12 中有自然数 k,使得 ak0,且 ak+10,则 Sk 是 S1，S2，S12 中的最大值.由等差数列性质得，当 m、n、p、qN*,且 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq.所以有：2a7=a1+a13= a6a70,故在 S1，S2，S12 中 S6 最大. 解法三：依题意得： S n = na1 +
4、 n (n ? 1) d = n(12 ? 2d ) + d (n 2 ? n)2 2 d 1 24 2 d 24 2 1 24 2 = n ? (5 ? ) ? (5 ? ) ,Q d 0, 13 6 24 d3,6 1 (5 24 )6.5.从而，在正整数中，当 n=6 时， n 1 (5 24 )2 最7 2 d 2 d小，所以 S6 最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难 度较高，为求Sn中的最大值 Sk,1k12,思路之一是知道 Sk 为最大值的充要条件是 ak 0 且 ak+10，思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数，借助
5、配方法可求解.它考查了等价转化 的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而 思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭” ，从而得 解. 6.解：(1)由题意知 a52=a1a17，即(a1+4d)2=a1(a1+16d) ? a1d=2d2, d0,a1=2d,数列 ab 的公比 q= a5na1=a1 + 4d a1=3, ab =a13n1n又 ab =a1+(bn1)d=n由得bn + 1 a1 2 b +1 a13n1= n a1.a1=2d0,bn=23n11. 2(2)Tn=C 1n b1+C 2 b2+C n bn=
6、C 1n (2301)+C 2 (2311)+C n (23n1 n n n n 1)= 2 (C 1n +C 2 32+C n 3n)(C 1n +C 2 +C n )= 2(1+3)n1(2n1)= n n n n3 3 2 4n2n+ 1 , 3 32 n 1 2 1 n 1 1 n ? 4 ? 2n + ?( ) + ( ) Tn 2 3= 3 2 3 4 lim n = lim 3n = . lim n ?1 n 4 + bn n 4 + 2 ? 3 ? 1 n 1 + 1 ? ( 3 ) n?1 ? ( 1 ) n 3 2 4 47.解：an为等差数列，bn为等比数列，a2+a4=
7、2a3,b2b4=b32, 已知 a2+a4=b3,b2b4=a3,b3=2a3,a3=b32,2 4 1 由 a1=1,a3= ，知an的公差 d= 3 , 4 8 10 9 55 S10=10a1+ d= . 2 8得 b3=2b32,b30,b3= 1 ,a3= 1 .由 b1=1,b3= 1 ,知bn的公比 q=2当 q =2 2或 q=2 2,b (1 ? q10 ) 31 2 时, T10 = 1 = (2 + 2 ); 2 1? q 32 b (1 ? q10 ) 31 2 时, T10 = 1 = ( 2 ? 2 ). 2 1? q 32当 q = ?8.证明：(1）an是等差数列，2ak+1=ak+ak+2,故方程 akx2+2ak+1x+ak+2=0 可变为 (akx+ak+2)(x+1)=0, 当 k 取不同自然数时，原方程有一个公共根1. (2）原方程不同的根为 xk= ? ak +2ak =? ak + 2d 2d = ?1 ? ak ak Qa 1 =? k , xk + 1 2d 1 xk +1 + 1 ? a a a ? ak +1 ? d 1 1 = ? k +1 ? (? k ) = k = = ? (常数) xk + 1 2d 2d 2d 2d 21 1 是以 ? 为公差的等差数列. xk + 1 21
