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1、1递推数列特征方程的发现一、问题的提出一、问题的提出 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内 在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。 在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的 递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求 它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列)，求通项公式。, 3 , 2(, 11121naaaaannnna参考书上的解法是这样的：解 此数列对应特征方程为即，解得，12 xx012 xx251x设此数列的通项公
2、式为，nn ncca)251()251(21由初始条件可知，121 aa，解之得， 1)251()251(1251 2512 22 121cccc 515121cc所以。 nn na)251(251(55）这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论， 用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂” 。换句话说，这种解法 的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行 教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递 推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是 难以接受的，也
3、是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、 勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶 然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。 二、研究与探索二、研究与探索 问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：若数列满足其通项公式的求法一般采用如下的 na),1(,11cdcaabann2参数法，将递推数列转化为等比数列：设 ，tccaatactannnn) 1(),(11则令，即，当时可得dtc ) 1(1cdt1c，)1(11cdaccdann知数列是以为公比的等比数列， 1cdanc1 1)1(1 n nccda
4、cda将代入并整理，得.ba 1 11cdcbdbcannn将上述参数法类比到二阶线性递推数列能得到什么结论？,11nnnqapaa仿上，我们来探求数列的特征：nntaa1不妨设，)(11nnnntaastaa则, 令 11)(nnnstaatsa qstpts（1）若方程组有两组不同的实数解,),(),(2211tsts则,)(11111nnnnatasata,)(12221nnnnatasata即、分别是公比为、的等比数列，nnata11nnata211s2s由等比数列性质可得,1 111211)( n nnsataata,1 212221)( 1 n nnsataata由上两式消去可得,
5、21tt 1na3. nn nsttsatasttsataa2 212122 1 211112.（2）若方程组有两组相等的解，易证此时，则 2121 ttss11st，)(2112 111111nnnnnnatasatasata)(1121 1atasn,即是等差数列，2 111211 11 sasasasann nnnn sa1由等差数列性质可知，2 1112111.1sasansasann所以n nsnsasa sasa saa12 1112 2 111211. （限于学生知识水平，若方程组有一对共轭虚根的情况略） 这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递
6、推数列的通项，若将方程组消去 即得，显然、就是方程t02qpss1s2s的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列的特征方qpxx2 11nnnqapaa程，于是我们就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为其特征方程为，,11nnnqapaa022qpxxqpxx即1、 若方程有两相异根、，则；1s2snn nscsca22112、 若方程有两等根，则.21ss n nsncca121)(其中、可由初始条件确定。1c2c这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令，就可求得斐波那契数1 qp列的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”！将上述方法继续类比到分式线性递推数列
7、（） ，dacbaaann n10,cRdcba看看又会有什么发现？ 仿照前面方法，等式两边同加参数 ，t4则 dacctadtba ctatdacbaatannnn n )(1令，即 ctadtbt0)(2btdact记此方程的两根为，21,tt（1）若，将分别代入式可得21tt 21,ttdactactatann n1 111)(dactactatann n2 221)(以上两式相除得，21212111 tata ctacta tatannnn 于是得到为等比数列，其公比为， 21 tatann21 ctacta 数列的通项可由求得； nana121211121)( nnn ctacta
8、tata tata（2）若，将代入式可得,21tt 1tt dactactatann n1 111)(考虑到上式结构特点，两边取倒数得111111)(11 tactdtac ctatannn由于时方程的两根满足，21tt cdat1211ctdcta于是式可变形为111111 tactac tann5为等差数列，其公差为， 11 tan1ctac 数列的通项可由求得 nana1111) 1(11 ctacntatan这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列（）dacbaaann n10,cRdcba的特征方程为，即，此
9、特征方程的两根恰好是方程两dcxbaxx0)(2bxadcx根的相反数，于是我们又有如下结论：分式线性递推数列（） ，其特征方程为dacbaaann n10,cRdcba，即，dcxbaxx0)(2bxadcx1、若方程有两相异根、，则成等比数列，其公比为；1s2s 21 sasann21 csacsa 2、若方程有两等根，则成等差数列，其公差为.21ss 11 san1csac 值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等 比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的 参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，有兴趣的读
10、者不妨一试。 三、应用举例三、应用举例例 1、 已知数列且，求通项公式。, 5, 121aa)2(4411naaannnna解 设，)(11nnnntaastaa11)(nnnstaatsa令 可得 44stts 22 ts于是，)2(2)2(22212 11nnnnnnaaaaaa1 12123)2(2nnaa6，即是以为首项、为公差的等差数列，43 2211 nn nnaanna 221 211a 43，从而.43) 1(21 2nann22) 13(n nna例 2、设数列满足. nan nn naaaaa求,7245, 211解： 对等式两端同加参数 得t,72524752724752
11、 72451 nnnnnn natta tatattaata令，解之得，代入上式5247 ttt1t2得,72292,7213111 nn n nn naaaaaa两式相除得,21 31 2111 nnnn aa aa即的等比数列，31,41 21 2111公比为是首项为 aa aann134234,341 2111 1 nnnnnnaaa从而四、收获与反思四、收获与反思随着普通高中课程改革的逐步深入，要求广大教师在新课标理念指导下，大胆实 施课堂教学改革。如何创造性地处理教学内容，无疑是一项十分现实的课题。由于数 学知识呈现方式的多样性、解决问题策略的多选择性和数学思维的开放性，教师既要 加强学习，不断充实自己的知识结构，做到高屋建瓴而游刃有余，还要不断提高驾驭 教材的能力， “用好教材” 、 “超越教材”而不拘泥于教材，根据学生的实际情况，因 材施教，使学生知其然，更知其所以然，帮助学生寻找适合自己的学习方式， “授人 以鱼不如授之以渔” ，在培养学生学习兴趣的同时激发学生的思维，时时体味“蓦然 回首，那人却在灯火阑珊处”的美妙意境。
