2009c获奖论文

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1、1卫星和飞船的跟踪测控模型摘要本文通过对卫星或飞船的运行轨道的情形进行讨论研究，建立了根据不同卫星或 飞船的运行轨道来确定地面测控站的分布的数学模型。 对问题 1，在所有测控站与卫星或飞船运行轨道共面的条件下，利用平面几何的知 识，按卫星或飞船轨道有圆形与椭圆形之分，得出圆形轨道的卫星或飞船所需测控站的最少数量与卫星的高度有关，其关系为.而椭 )6232. 1sinarcsin(5184. 1111HRRn圆形轨道下所需测控站的最少数量由其轨道上近地点离地面的高度所决定，其函数关 系与上面情形相似。对任意卫星或飞船最少需要 3 个测控站，做多需要 12 个测控站， 并给出了不同高度范围所需的测

2、控站数量。 对于问题 2，卫星或飞船的运行轨道与地球赤道有固定的夹角，利用空间几何分 析卫星或飞船在运行中在地面上投影点全部位于北纬度与南纬度之间的带状区域。然后利用紧密排列的方式给出要覆盖整个区域所需测控站的最少数量QQ)tan22arctan(180)tan22arctan(o纵横NNN对于问题 3，以神舟七号为研究对象，选其中 8 个测控站分别计算其在区域内的Q测控范围，包括测控半径，范围边界的经纬度，并对结果进行比较分析。 本文所有数学方法较为简单，显于推广，但在精度问题上有待进一步讨论。关键词：关键词：测控站 跟踪测控 运行轨迹 星下点轨迹 测控范围1 问题重述2人类进入 21 世纪

3、以来，航空航天技术发展十分迅速并且充分运用了现代的各项先 进科学技术，使得航空航天集合了各种高科技，成为一个国家综合科技实力的表现。 卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行 测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船） 进行全程跟踪测控。 测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角 3 度的范围内 测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 度以上的空域。 在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务。 请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，解决以下问题： （1） 在所

4、有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少 个测控站才能对其进行全程跟踪测控？ （2）如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面 高度为 H 的球面 S 上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的 经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域 全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？ （3） 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析 这些测控站点对该卫星所能测控的范围。2 问题分析题目要求我们设置测控站对卫星或飞船的运行情况进行全程跟踪监控，根据实际 情况分析并计算所需测控站的最少数量。

5、2.1 对问题 1 的分析 考虑到卫星或飞船的运行轨道与所有测控站共面的情况，这时只需在一个平面内 考虑，属于平面几何的应用。实际的卫星或飞船在正常运行时分近圆形轨道与椭圆形 轨道，因此我们分别建模求解，对于近圆形轨道就按圆行轨道来计算，通过计算其运 行轨道的周长和一个观测站所能观测到的最大弧长来确定所需观测站的数量。针对椭 圆形轨道在其基础上稍加改进即可。 2.2 对问题 2 的分析 让卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有个固定的夹角（角度） ，且其轨道为 圆形轨道，一般情况下卫星运行的周期要远远低于地球自转的周期，此时该卫星或飞 船在运行过程中相继两圈的纬度相同经度会有一些差异。此时该卫星

6、运行中在地面上 的投影可能出现的区域是位于南北纬度之间的带状区域，然后再根据卫星运行周期 的不同情况来确定观测站的分布数量。 2.3 对问题 3 的分析 我们以神州七号飞船为研究对象，从题目所给的 16 个观测站中选取八个站，分别 计算其测控范围，并对结果进行分析与研究。3 模型假设1假设地球为圆球形； 2假设正方形 ABCD 区域为卫星的有效区域；33假设卫星或飞船的运行轨道不会出现偏差； 4假设神舟七号飞船的运行轨道为圆形； 5假设卫星测控站对卫星的测控正常不受影响。4 符号说明：地球半径；1R：卫星或飞船以正圆周运行时距离地面的飞行高度；1H：距离地面的轨道 A 的周长；ALH：一个测控

7、站所能测控的轨道 A 的弧长；aL：弧长所对应的圆心角；2aL：当卫星以圆形轨道运转时对卫星测控至少建立观测站的个数；1n：距离地面的轨道 B 的周长；BLH：一个测控站所能测控的轨道 B 的弧长；bL：弧长所对应的圆心角；2bL：当卫星以椭圆行轨道运转时对卫星测控至少建立观测站的个数；2n：椭圆轨道近地点与地面的距离；低H：正方形 ABCD 的两条对边所跨过的经纬度； ：轨道倾角；：卫星运行在地面的投影区域内横向需要建立的观测站的个数；横N：卫星运行在地面的投影区域内纵向需要建立的观测站个数；纵N：对于卫星或飞船飞行区域进行全程测控至少所需要建立观测站的个数。N5 模型的建立与求解5.1 问

8、题 1 的模型建立与求解 卫星或飞船在围绕地球运行的轨道分为圆形和椭圆形（如下图 5.1.1 和图 5.2.2） ， 我们就两种不同形状的运行轨道分别进行讨论建立模型，求出在所有测控站都与卫星 或飞船的运行轨道共面的情况下，至少建立多少测控站才可对卫星或飞船进行全程跟4踪或测控。5.1.1 卫星或飞船的运行轨道为圆形轨道 当卫星或飞船的运行轨迹为圆形时，有一种特殊的情况，即其中当卫星为地球同 步卫星时，由于卫星相对于地面保持静止，所以此种情况下只需要一个卫星测控站即 可对卫星进行测控。 即当卫星为地球同步卫星时：11n对于其它圆形运行轨道可以把卫星或飞船的运行轨道看作是在距离地面高为的H一个圆

9、形轨道 A 上，计算出圆形轨道的周长,由于测控站在测控与地平面夹角的ALo3范围内测控的效果不好，故每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角以上的区域,o3则一个地面测控站所能在 A 上测控的弧形 a 的区域弧长，所以即为对卫星或飞aLaA LL船进行全程测控下所建的最少测控站，设弧长 a 所对应的圆心角为（单位） ,地1n2rad球半径为。1R运行轨道 A 的圆周周长为：AL）（HRLA12那么测控站所能够在卫星或飞船运行的圆形轨道 A 上的测控范围弧度长为：aL)(21HRLa其中为在圆形轨道 A 上的弧长 a 所对应的圆心角（单位） ，则：2radrad6232. 193 o图 5.1.1

10、图 5.1.25)6232. 1sinarcsin()sinarcsin(1111 HRR HRR )6232. 1sinarcsin(5184. 111 HRR 当卫星或飞船的运行轨道为圆形并且所有测控站共面时，要对其进行全程跟踪测控应该至少建立的测控站的数量为（向上取整） ，1n )6232. 1sinarcsin(5184. 1)(221111 1HRRHRHR LLnaA）（ 现实中，卫星或飞船从发射开始到进入稳定轨道运行要进行从椭圆形轨道到圆形 轨道的变轨过程，第一宇宙速度为 7.9km/s，只有卫星运行时的速度达到第一宇宙速度 时才可围绕地球运动，而此时其轨道高度为 343Km,其

11、中椭圆形轨道与圆形轨道的交变 轨道点离地面的高度为 343，所以圆形轨道测控站的个数会随卫星距地面的高度产km 生如下图 5.1.3 的变化（地球同步卫星除外）：图 5.1.3 所需测控站数量与卫星距地面高度的关系图其中具体卫星高度（距离地面）范围所对应的测控站的数量见表 1.1n测控站的数量卫星距离地面的距离 H（km）637644.0743137.62,7644.07) 51815.93,3137.62) 61215.30,1815.93) 7883.49,1215.30) 8678.05,883.49) 9540.81,678.05) 10443.99,540.81) 11372.81,

12、443.99) 12318.749,372.81) 表 1 测控站数量与卫星高度（距地面高度）的关系5.1.2 卫星或飞船的运行轨道为椭圆形轨道 针对椭圆形的轨道的情形，地球的球心为椭圆形轨道的一个焦点，卫星或飞船轨 道有近地点和远地点之分，以地球的球心为圆心，椭圆轨道的短半轴为半径作圆，从 而得到行星运行轨道的一个内切圆，切点即为卫星或飞船运行轨道的近地点，转化如 同 5.1.2 中的问题。地面观测站只能测控与地平面夹角在 3 度以上的空域,则一个地面测控站在 B 上所能测控的弧形 b 的弧长，即为在对卫星进行全程测控下所建的最bLbB LL少测控站，设弧长 b 所对应的圆心角为 。2n2设

13、椭圆轨道上的近地点距地面高度为。低H则圆周 B 的周长为：BL）（近HRLB12弧形 b 的长度为：)(21 近HRLb其中为轨道 B 上圆弧 b 所对应的圆心角，则：2rad6232. 193o)6232. 1sinarcsin()sinarcsin(1111近近HRR HRR )6232. 1sinarcsin(5184. 111近HRR 当卫星或飞船的运行轨道为椭圆时，要对卫星或飞船进行全程跟踪测控所要建立的最少测控站的个数为（向上取整）：2n7 )6232. 1sinarcsin(5184. 1)(2)(211 11 2低近近HRRHRHR LLnbB 这时所需测控站的数量只与其轨道上

14、近地点离地面的高度有关，具体关系和 5.1.1 中结果相同。 5.2 问题 2 模型的建立与求解 当一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定夹角（角度） ，且在离地面高度为 H 的球面上运行，由于地球和卫星或飞船分别在以、为周期进行运转，考dTWT虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，则卫星或飞船的运行轨迹在地球表面上的投影是卫星星下点轨（如图） 。】【迹4】【31 . 2 . 5如图 5.2.2 和图 5.2.3，将地面测控站在卫星或飞船运行球面 S 上的测控范围投影到地球表面形成相对于星下点轨迹的测控范围，是地球的一个球冠，球冠SStStS的底面圆,将地球上的

15、每一个点投影到平面上会出现如图 5.2.1，卫星星下点轨迹平O铺到水平面上，从而将问题转化为怎样使用最少的圆形来完全覆盖区域 Q。O为使测控达到对卫星或飞船运行轨迹的全程覆盖，则要求出圆的内接正方形 ABCD31 . 2 . 5图图 5.2.2图 5.2.3sS8的两个对边所跨越的经度和纬度,（如图 5.2.4 和图 5.2.5）即圆心角。其中面 OCD 和面 OAB 为圆内接正方形 ABCD 两对边 DC 和 AB 过地球球心的面，两边 OE 和 OF 为 三角形 ODC 和三角形 OAB 的高，那么即为圆心角。EOF圆的半径=，则正方形 ABCD 的边长 BC=，地心OCOsin1Rsin221RCO距圆所在平面的高度=，所以OOOOcos1Rtan225 . 0 2tan OOBC OOFO正方形 ABCD 的两个对边所跨经度和纬度数(弧度)为：)tan22arctan(2横向经度跨越度即为定值，则横向所要建立的观测站个数为：360rad2横N )tan22arctan()tan22arctan(222 横N纵向跨越度，则纵向所要建立的观测