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1、20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学理科数学( (必修必修+ +选修选修 II)II)本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第卷 3至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷卷注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3第
2、 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。参考公式：参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式()( )( )P ABP AP B 24SR如果事件A、B相互独立，那么 其中 R 表示球的半径()( )( )P A BP A P Bgg 球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么 33 4VRn次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中 R 表示球的半径( )(1)(0,1,2,)kkn k nnP kC ppkn一选择题一选择题(1)复数32 23i i (A)i (B)i (C)12-13i (
3、D) 12+13i 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32 )(23 )6946 23(23 )(23 )13iiiiiiiii.(2)记cos( 80 )k ,那么tan100 A.21k kB. -21k kC. 21kkD. - 21kk【答案】B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析】222sin801 cos 801 cos ( 80 )1 kooo,所以tan100tan80 o2sin801.cos80k k oo(3)若变量, x y满足约
4、束条件1, 0, 20,y xy xy 则2zxy的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1（4）已知各项均为正数的等比数列na，123a a a=5，789a a a=10，则456a a a=(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知 识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知3 1231322()5a a aa aaag，3 7897988()a a aa aaag10,所以1 3 2850a a ,所以1 3336 456465528()()(50 )5 2a
5、 a aa aaaa ag(5)353(12) (1)xx的展开式中 x 的系数是ABCDA1B1C1D1O(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种(7)正方体 ABCD-1111ABC D中，B1B与平面 AC1D所成角的余弦值为A 2 3B3 3C2 3D6 3【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 A
6、C1D的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.（8）设 a=3log2,b=In2,c=1 25,则A abc Bbca C cab D cba【答案】C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大 小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】 a=3log2=21 log 3, b=In2=21 log e,而22log 3log1e,所以 ab,c=1 25=1 5,而2252log 4log 3,所以 ca,综上 cab.(9)已知1F、2F为双曲线 C:221xy的左、右焦点，点 p 在 C 上，1Fp2F=060，则P 到
7、x 轴的距离为(A) 3 2(B)6 2(C) 3 (D) 6【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学 思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点 P00(,)xy在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000|()12aPFe xaexxc ，22000|)21aPFe xexaxc.由余弦定理得cos1FP2F=222 121212| 2|PFPFFF PFPF,即 cos060222 0000(12)( 21)(2 2)2(12)( 21)xxxx,解得2 05 2x ,所以22 00312yx ，故 P
8、到 x 轴的距离为06|2y （10）已知函数 F(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是(A)(2 2,) (B)2 2,) (C)(3,) (D)3,)（11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么PA PBuu u v uu u v 的最小值为(A) 42 (B)32 (C) 42 2 (D)32 2 【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法 判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示：设 PA=PB=x(0)x ,AP
9、O=,则APB=2，PO=21x， 21sin 1x ，| |cos2PA PBPAPBuu u v uu u vuu u vuu u v =22(1 2sin)x=222(1) 1xx x =4221xx x ，令PA PByuu u v uu u v ，则4221xxyx，即42(1)0xy xy，由2x是实数，所以2 (1)4 1 ()0yy ，2610yy ，解得32 2y 或32 2y .故min()32 2PA PB uu u v uu u v .此时21x .PABO（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积 的最大
10、值为(A) 2 3 3(B)4 3 3(C) 2 3 (D) 8 3 3【答案】B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这 个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为h,则有ABCD11222323Vhh 四面体,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,22 max2 212 3h,故max4 3 3V.绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修 II)第卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字
11、笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3。第卷共 l0 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线 上(注意：在试题卷上作答无效) (13)不等式2211xx 的解集是 .【答案】0,2 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基 本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.解析:原不等式等价于2221(1) , 10xx x 解得 0x2.
12、1 2x y=1xyaO1 2x 41 4ay2yxxa(14)已知为第三象限的角，3cos25 ,则tan(2 )4 .(15)直线1y 与曲线2yxxa有四个交点，则a的取值范围是 .【答案】(1,5) 4 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重 考查了数形结合的数学思想.【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y 与曲线2yxxa,观图可知，a 的取值必须满足1 ,4114a a解得514a.(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF2FDuu ruur ，则C的离心率为 .【答案】2 3 【命题意图】本小题主要考查
13、椭圆的方程与几何性质、第 二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几 何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，22|BFbca,作1DDy轴于点 D1,则由BF2FDuu ruur ，得1|2 |3OFBF DDBD,所以133|22DDOFc,xOyBF1DD即3 2Dcx ,由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由| 2|BFFD,得232ccaa,整理得22320caac.两边都除以2a,得2320ee ,解得1()e 舍去，或2 3e .三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，
14、证明过程或演算 步骤 (17)(本小题满分 10 分)(注意：在试题卷上作答无效)已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB，求内角 C【命题意图命题意图】本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值，以及考查逻辑思维能力、运 算能力，同时转化与化归的思想、方程思想 【点评点评】解斜三角形实际属于三角函数的范畴，以三角函数的考查有五种基本题型：考查 纯三角函数、考查三角函数与平面向量的交汇、解斜三角形、解斜三角形与向量的交汇、 三角变换及求值与解斜三角形的交汇，每年对这方面的考查往往是轮番出现，备考注意这 几个方面的强化训练 (18)(本小题满分 12 分)（注意：在试题卷上作答无效)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的 评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予 录 用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 05，复审的稿件能通过评审的概率为 0
