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1、高二数学椭圆高二数学椭圆【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教学内容：椭圆教学目标：1. 掌握椭圆的定义。（第一定义和第二定义）。2. 能根据条件熟练求出椭圆的标准方程；3. 掌握椭圆的几何性质及标准方程中的 a、b、c、e 的几何意义，及 a、b、c、e 间的相 互关系；4. 能综合应用椭圆的有关知识解决最值问题及参数的取值范围；5. 理解直线与椭圆的位置关系，会求椭圆截直线所得的弦长，会应用弦中点的性质求解 问题。能力训练：进一步巩固求曲线方程的方法，提高运用坐标法的自觉性及解决几何问题 的能力；进一步培养数形结合的能力；同时提高代数运算能力、综合分析问题解决问题的 能力。二. 重点、难
2、点：重点：椭圆的定义、标准方程及几何性质的应用。难点：椭圆的定义、标准方程、几何性质在解题过程中的灵活运用。【典型例题典型例题】一. 知识提要：1. 椭圆的第一定义：平面内，与两个定点 F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的点 的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。2. 椭圆的第二定义：平面内，动点与定点 （ ， ）的距离和它到定直线 ：的距离的MFc0lxa c2比是常数的点的轨迹是椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭c aacM() 0圆的准线，常数叫椭圆的离心率。c a3. 椭圆的标准方程及几何性质：标准方程 x ay bab222210() y
3、ax bab222210() 图形 范围 axabyb， bxbaya， 对称性 关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称 关于 x 轴、y 轴、原点对称 顶点 A1（a，0）， A2（a，0） B1（0，b）， B2（0，b） A1（0，a）， A2（0，a） B1（b，0）， B2（b，0） 离心率 ec ae，()01ec ae，()01例 1. 求焦点在坐标轴上，且经过，和，两点的椭圆A( 32)B( 2 31)的标准方程。分析：分析：求椭圆的标准方程，就是求中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程。但焦点 在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为 mx2+ny2=1(m0，
4、n0) 不必考虑焦点位置，求出方程即知。解：解：设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1，（m0，n0）点，和点， 在椭圆上，AB()()322 31 即mnmnmn mn()()()3212 311341 1212222 mn1 15 1 5故所求椭圆的方程为。xy221551例 2. 已知椭圆，是它的焦点。是过的直线x ay babFFABF222212110()与椭圆交于 A、B 两点，求ABF2的周长。解析：解析：数形结合，由椭圆定义即可求得答案。解：解：| |AFAFa122| |BFBFa122又ABF2的周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|
5、BF2|=4aABF2的周长为 4a。例 3. 设 为椭圆上一点， 到左准线的距离为，则 到右准PxyPP2210036110线的距离为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 15解析：解析：法一：应用椭圆的第二定义即可求出结果为 15。法二：应用椭圆的几何意义，点 到两准线的距离之和为，又知 到P22a cP左准线距离，作差即可求出点 P 到右准线距离。例 4. 点 P 与定点 F（2，0）的距离和它到定直线 x=8 的距离的比是 12，求点 P 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。分析：分析：根据椭圆的第二定义可知，动点 P 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆，且知焦点为 （ ， ）
6、、（ ， ），准线方程 ，离心率。F20F20x =812e 1 2解：解：依椭圆第二定义知：，ca ca28162 2。bac22216412所求椭圆的方程为。xy2216121即点 的轨迹方程为：，轨迹为椭圆。Pxy2216121例 5. 已知点 在圆 ：上移动，点 在椭圆上移动，PCxyQxy222 24141()求|PQ|的最大值。分析：分析：做此题要数形结合，从图中可见，要求|PQ|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上 的点的距离即可，而椭圆上的点是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题。设：椭圆上的一点 Q（x，y），又 C（0，4）。则|QC|2=x2+(y4)24 1422
7、()()yy 38202yy 34 376 32()y又当时，大 1115yyQC|PQ|的最大值为 5+1=6。例 6. 已知椭圆内有一点， 是椭圆的右焦点，在椭圆xyPF2243111()上求一点 M，使|MP|+2|MF|的值最小，求点 M 的坐标。分析：分析：|MF|是椭圆上一点到焦点的距离，根据椭圆的第二定义，有| |MF MMMMMF 1 22| | |MPMFMPMM2显然，P、M、M三点共线时，|PM|+|MM|有最小值。解：解：过 P 作 PMl交椭圆于 M，由椭圆方程知abce2311 2，yxyxy 134122 6 3 122解得所求点坐标为，。MM()2 6 31例
8、7. 过椭圆内一点， 引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所xyMM22164121()在的直线方程。分析：分析：所求直线过定点 M（2，1），因此，设为 y1=k(x2)，再利用弦中点条件求 出直线的斜率 k。解法一：解法一：设所求直线方程为 y1=k(x2)，设直线与椭圆的交点为，A xyB xy()()1122ykxkxyy 12416022消去()()()418 24 211602222kxkk xkxxkk kMAB12228 2 41 ()，又为弦的中点，xxkk kk122224 2 4121 2 ()所求直线方程为：。xy240解法二：解法二：设直线与椭圆的交点为 A（x1，y1）
9、，B（x2，y2）M（2，1）为 AB 的中点，x1+x2=4，y1+y2=2。又 、 两点在椭圆上，则，ABxyxy12 12 22 22416416xxyy12 212 2240()()()()()xxxxyyyy1212121240yy xxxx yy1212121244 421 2 ()即。kAB 1 2故所求直线的方程为：xy240解法三：解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 A（x，y），由于中点为 M（2，1），则另一 个交点 B（4x，2y）。点 A、B 都在椭圆上。xyxy222241644 216 ()()得。xy240由于过 A、B 的直线只有一条，所求直线的方程为。xy
10、240【模拟试题模拟试题】1. 已知 P 是椭圆上一点，F1、F2是焦点，F1PF2=30，求F1PF2的面积。xy22251612. 已知椭圆的焦点 F1（0，1），F2（0，1），直线 y=4 是它的一条准线，P 是椭圆上 一点，且|PF2|PF1|=1，求F1PF2的面积。3. 椭圆的焦点为 F1，F2，点 P 为其上一动点，当F1PF2为钝角时，点 Pxy22941横坐标的取值范围。4. 求与椭圆相交于 A、B 两点，并且线段 AB 的中点 M（1，1）的直线方程。xy22941试题答案试题答案1. 解：设|PFmPFn12，。SmnmnF PF121 2301 4sin在F1PF2中
11、，6230222mnmncos36232()mnmnmn()2364mn。mn 64 23SF PF 121 464 2316 23()即F1PF2的面积为。16 23()2. 分析：可以由椭圆定义及已知条件求出|PF1|和|PF2|的长，再计算面积。解：ca ca1422| | |PFPFPFPFPFPF122112413 2 5 2又， ，|cossinF FPP12225 49 4425 23 23 54 5 SPF PF121 23 25 21 23 25 24 53 2sin3. 分析：先求出使F1PF2=90的点 P 的横坐标，根据点 P 的运动观察出 P 点横坐标的 取值范围。，
12、abc325设SF FyPFmPFnF PFP121 21212|SF FyySmnF PFF PF 12121 251 212| | |又，mnmnmnmn222202208()， 代入544 594122 yyxy得xxF PF即当时，3 53 59012当时，为钝角。3 53 512xF PF5. 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）A、B 都在椭圆上，xyxy12 1222 22941941 ()()()()xxxxyyyy12 1212 12940AB 的中点 M（1，1），xxyy121222，即为直线 AB 的斜率为。yy xx12124 9 ，4 9yxxy 14 9149130()，即所求直线方程为：。49130xy
