关于同底指数函数与对数函数的交点问题

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1、关于同底指数函数与对数函数的交点问题关于同底指数函数与对数函数的交点问题李海淼 数理化学习（高中版）2008 年 17 期【摘要摘要】：正函数 y=ax 与 y=logax 图像的交点问题在一些题目中经常出现,由于教科书中并没有提到,在日常教学中,老师往往作出草图去判断,但往往出现错误.现将该问题完整解答如下:【作者单位作者单位】： 浙江省绍兴市稽山中学; 【关键词关键词】： 方程方程 交点交点 日常教学日常教学 完整解完整解 指数函数指数函数 对数函数对数函数 曲线曲线 教科书教科书 解决问题解决问题 计算计算 器器 【分类号分类号】：G634.6函数xlogyayax与图像的交点问题在一些

2、题目中经常出现，由于教科书中并没有提到，在日常教学中，老师往往作出草图去判断，但往往出现错误。现将该问题完整解答 如下：一、1a 时方程xlogaax的解先求如图 3 所示曲线xlogyayax与相切时 a 的值。设曲线xlogyayax与相切于点 M（00x,x），由于曲线xay 在点 M 处的切线斜率为 1，所以1alna,xa1| )a (,xa0000x0xxxx0x 即所以aln1a xaln1,xa aln100x0 则即ex,ea,aln1e0e1 此时所以 。以上说明，当e1 ea 时，两条曲线) e, e (Mxlogyayax相切于点与 。因此有以下结论：当(*),eae1

3、 方程无解（见图 1 所示）；当e1 ea1，方程（*）有且只有两解（见图 2 所示）；当e1 ea ，方程（*）有且只有一解（见图 3 所示）。用计算器可算得44467. 1ee1 。二、xloga1a0ax时方程的解先求如图 5 所示曲线xlogyayax与相切时 a 的值。设曲线xlogyayax与相切于点 P，由对称性知，点 P 在直线xy 上，设)y,x(P00。由于曲线)ay(xlogyx a或在点 P 处切线的斜为1，所以1| )x(log,xa0x0xa0x即1alnx1,xa00x0所以 e1x,aln1 e1aln1x,aln1a00aln1即则e)e1(a 。此时，e1x

4、0 。以上说明，当e)e1(a 时，两条曲线xlogyayax与相切于点 P（e1,e1）。因此有以下结论：e)e1(a0 时，方程（*）有且只有三解（见图 4 所示）；当e)e1(a 时，方程（*）有且只有一解（如图 5 所示）；当1a)e1(e 时，方程（*）有且只有一解（如图 6 所示）。用计算器可算出06599. 0)e1(e 。由于此数非常小，因此，人们在平时较难观察到这 种较小数值所示的函数图像，这也是人们易产生错误认识的个重要原因。 综上所述，得：当)e1( , 0(ae 时，方程xlogaax有且只有三解；当xloga,)e1(aaxe方程时 有且只有一解；当) 1 ,)e1(ae 时，方程xlogaax有且只有一解；当)e, 1 (ae1 时，方程xlogaax有且只有两解；当e1 ea 时，方程xlogaax有且只有一解；当),e (ae1 时，方程xlogaax无解。随着时代的发展，多媒体计算机的出现，网络技术的运用，信息时代的来临，正在给 传统教学方式带来深刻的影响，教育技术的更新也更新了教学手段、教学方法，也给我们 解决问题创造了一些新的途径，提高了课堂教学的效率，我们可以通过多媒体探究问题解 决的方法，验证问题解决的正确性。