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1、1中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2010 年全国初中数学竞赛试题参考答年全国初中数学竞赛试题参考答案案一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 35 分分.其中有且只有一个选项是正确其中有且只有一个选项是正确的的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得不填、多填或错填都得 0 分）分）1若若，则，则的值为（的值为（ ） 20 10ab bc，ab bc （A） （B） （C） （D）11 2121 11110 21210 11解：解： 由题设得
2、D120 1210 1111110a abb cbc b2若实数若实数 a，b 满足满足，则，则 a 的取值范围是的取值范围是 （ ） 21202aabb（A）a （B）a4 （C）a或或 a4 （D）a4222 解解C因为 b 是实数，所以关于b的一元二次方程21202baba的判别式 0,解得 a或 a421()4 1 (2)2aa 23如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，B135，C120，AB=，BC=2 3，CD，则则 AD 边的长为（边的长为（ ） 42 24 2（A） （B）2 664（C） （D）64622解：解：D如图，过点 A，D 分别作 AE，DF 垂直于直线
3、BC，垂足分别为 E，F由已知可得BE=AE=，CF，DF2，62 26于是 EF46过点 A 作 AGDF，垂足为 G在 RtADG 中，根据勾股定理得（第 3 题）（第 3 题）2AD222(46)( 6)(224)22 64在一列数在一列数中，已知中，已知，且当，且当 k2 时，时，123xxx，11x1121 444kkkkxx （取整符号（取整符号表示不超过实数表示不超过实数的最大整数，例如的最大整数，例如，） ，则，则等于等于 aa2.620.202010x（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：解：B由和可得11x1121 444kkkkxx ，11x 22x
4、33x 44x ，51x 62x 73x 84x 因为 2010=4502+2，所以=22010x5如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为的顶点坐标分别为 A（1，1） ，B（2，1） ，C（2，1） ，D（1，1） y 轴上一点轴上一点 P（0，2）绕点）绕点 A 旋转旋转 180得点得点P1，点，点 P1绕点绕点 B 旋转旋转 180得点得点 P2，点，点 P2绕点绕点 C 旋转旋转 180得得点点 P3，点，点 P3绕点绕点 D 旋转旋转 180得点得点 P4，重复操作依次得，重复操作依次得到点到点 P1，P2， 则点则
5、点 P2010的坐标是（的坐标是（ ） （A） （2010，2） （B） （2010，） 2（C） （2012，） （D） （0，2）2解：解：B 由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0） ， （2，） 1P2P2记，其中222)P ab（，222,2ab 根据对称关系，依次可以求得：，322( 42)Pab ，422(2)Pab，4522(2)Pab，622(4)Pab，令，同样可以求得，点的坐标为（） ，即（662(,)P ab10P624,a b10P） ，224 2,a b （第 5 题）3由于 2010=4 502+2，所以点的坐标为（2010，） 2010P2二、填空题二、填空题
6、6已知已知 a1，则，则 2a37a22a12 的值等于的值等于 5解：解：0由已知得 (a1)25，所以 a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了 10 分钟，小轿车追上分钟，小轿车追上了货车；又过了了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；再过分钟，小轿车追上了客车；再过 t 分钟，货车追上了
7、客车，则分钟，货车追上了客车，则 t 解：解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分） ，并设货车经 x 分钟追上客车，由题意得abc， 10 abS， 152acSx bcS由，得，所以，x=30 故 （分）30 bcS（）30 10515t 8如图，如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，中，多边形多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是 O（0，0） ，A（0，6） ，B（4，6） ，C（4，4） ，D（6，4） ，E（6，0） 若直线若直线 l 经过点经过点 M（2，3） ，且将且将多边形多边形 OA
8、BCDE 分割成面积相等的两部分，则直线分割成面积相等的两部分，则直线 l 的函数表达式是的函数表达式是 （第 8 题4解：解：111 33yx +如图，延长 BC 交 x 轴于点 F；连接 OB，AFCE，DF，且相交于点；连接N由已知得点 M（2，3）是 OB，AF 的中点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分又因为点 N（5，2）是矩形lCDEF 的中心，所以，过点 N（5，2）的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分于是，直线即为所求的直线 MNl设直线 的函数表达式为，则lykxb23 52k b kb +， ，解得 ,故所求直线
9、的函数表达式为1 3 11. 3kb ， l111 33yx +9如图，射线如图，射线 AM，BN 都垂直于线段都垂直于线段 AB，点，点 E 为为 AM 上一点，过点上一点，过点 A 作作 BE 的垂线的垂线 AC分别交分别交 BE，BN 于点于点 F，C，过点，过点 C 作作 AM 的垂线的垂线 CD，垂足为，垂足为 D若若 CDCF，则，则 AE AD解：解： 215 见题图，设,FCmAFn因为 RtAFBRtABC，所以 2ABAF AC又因为 FCDCAB，所以 即 ，2()mn nm，2()10nn mm 解得，或（舍去） 51 2n m51 2n m又 RtRt，所以， 即AF
10、ECFBAEAEAFn ADBCFCm51 2（第 8 题）（第 9 题）5=AE AD51 210对于对于 i=2，3，k，正整数，正整数 n 除以除以 i 所得的余数为所得的余数为 i1若若的最小值的最小值满足满足n0n，则正整数，则正整数的最小值为的最小值为 020003000nk解：解： 因为为的倍数，所以的最小值满足91n2 3 kL，n0n，012 3 nk L，其中表示的最小公倍数2 3 kL，2 3 kL，由于2 3 88402 3 92520 LL，2 3 1025202 3 1127720LL，因此满足的正整数的最小值为 020003000nk9三、解答题（共三、解答题（共
11、 4 题，每题题，每题 20 分，共分，共 80 分）分）11如图，如图，ABC 为等腰三角形，为等腰三角形，AP 是底边是底边 BC 上的高，点上的高，点 D 是线段是线段 PC 上的一点，上的一点，BE 和和 CF 分别是分别是ABD 和和ACD 的外接圆直径，连接的外接圆直径，连接 EF. . 求证：求证： tanEFPADBC（第 12B 题）（第 12A 题）（第 11 题）6证明：证明：如图，连接 ED，FD. 因为 BE 和 CF 都是直径，所以EDBC， FDBC，因此 D，E，F 三点共线. （5 分）连接 AE，AF，则，AEFABCACBAFD 所以，ABCAEF. （1
12、0 分）作 AHEF，垂足为 H，则 AH=PD. 由ABCAEF 可得，EFAH BCAP从而 ， EFPD BCAP所以 . （20 分）tanPDEFPADAPBC12如图，抛物线如图，抛物线（a0）与双曲线）与双曲线相交于点相交于点 A，B. 已知点已知点 A 的坐标的坐标2yaxbxkyx为（为（1，4） ，点，点 B 在第三象限内，且在第三象限内，且AOB 的面积为的面积为 3（O 为为坐标原点）坐标原点）.（1）求实数）求实数 a，b，k 的值；的值；（2）过抛物线上点）过抛物线上点 A 作直线作直线 ACx 轴，交抛物线于另一轴，交抛物线于另一点点 C，求所有满足，求所有满足E
13、OCAOB 的点的点 E 的坐标的坐标.解：解：（1）因为点 A（1，4）在双曲线上，kyx（第 12B 题）（第 11 题）（第 12 题）7所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为.xy4设点 B（t，） ，AB 所在直线的函数表达式为，则有4 t0t ymxn解得，.4 4mnmtnt，4mt 4(1)tnt于是，直线 AB 与 y 轴的交点坐标为，故4(1)0,t t，整理得，141132AOBtStt（）22320tt解得，或 t（舍去） 所以点 B 的坐标为（，） 2t 2122因为点 A，B 都在抛物线（a0）上，所2yaxbx以 解得 （10 分）4 422ab ab ， ，1 3.a b ，（2）如图，因为 ACx 轴，所以 C（，4） ，于是4CO4. 又 BO=2，所以.222BOCO设抛物线（a0）与 x 轴负半轴相交于
