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1、2011 高考数学分类汇编江苏 常州 郑邦锁整理1数列、极限和数学归纳法数列、极限和数学归纳法安徽理安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是_(11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前 n 项和.【解析】由算法框图可知，若 T105，则(1)1232k kTk LK14，继续执行循环体，这时 k15，T105，所以输出的 k 值为 15.（18） （本小题满分 12 分）在数 1 和 100 之间插入个实数，使得这个数n2n构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.2nnT,lgnnaT1n（）求数列的通项公式；na（）设求数列的前项和.1tantan
2、,nnnbaag nbnnS（本小题满分 13 分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识， 考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.解：（I）设构成等比数列，其中则221,nlllL,100, 121ntt， ,2121nnnttttTL,1221ttttTnnnL并利用得),21 (1022131nittttnin. 1, 2lg,10)()()()()2(2 122112212 nnTattttttttTnnn nnnnnL（II）由题意和（I）中计算结果，知. 1),3tan()2tan(nnnbn另一方面，利用,tan) 1tan(1
3、tan) 1tan() 1tan(1tankkkkkk得所以. 11tantan) 1tan(tan) 1tan(kkkk231tan) 1tan(nknkknkkbS23tan(1)tantan(3)tan3(1)tan1tan1nkkknn安徽文安徽文（7）若数列的通项公式是,则na() ()nan gaaaL（A） 15 (B) 12 (C ) (D) （7）A【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前 10 项相加即可得出结论；法二：，故.故选 A.12349103aaaaaaLaaa L北京理北京理11.在等比数列中，若，则公比_；_.na11 2a 44
4、a q 12|naaaL2011 高考数学分类汇编江苏 常州 郑邦锁整理2【解析】，是以为首项，以 2 为公比的等比数列，11 2a 442aq |na1 2。1 121| 22n naaaL20.若数列：，满足（，2，） ，则称为E数列。nA1a2a(2)na n 1| 1kkaak 11nnA记.12()nnS AaaaL（1）写出一个满足，且的E数列；150aa5()0S A5A（2）若，证明：E数列是递增数列的充要条件是；112a 2000n nA2011na （3）对任意给定的整数，是否存在首项为 0 的E数列，使得？如果存在，写出(2)n n nA()0nS A一个满足条件的E数列
5、；如果不存在，说明理由。nA解：（）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）（）必要性：因为 E 数列 A5是递增数列，所以.)1999, 2 , 1( 11Lkaakk所以 A5是首项为 12，公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+（20001）1=2011. 充分性，由于 a2000a10001， a2000a10001 a2a11 所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999. 又因为 a1=12，a2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论
6、得证。nnnAkaa即),1999, 2 , 1(011L（）令. 1),1, 2 , 1(011Akkkcnkaac则L因为2111112ccaacaa,1211nncccaaL所以13211)3()2() 1()(nnccncncnnaASL).1 ()2)(1 () 1)(1(2) 1(121ncncncnnL因为).1, 1(1, 1nkcckkL为偶数所以所以为偶数,)1 ()2)(1 () 1)(1*21ncncncL所以要使为偶数,2) 1(, 0)(nnASn必须使2011 高考数学分类汇编江苏 常州 郑邦锁整理3即 4 整除.*)( 144),1(Nmmnmnnn或亦即当,
7、1, 0,*)( 14241414kkknaaaAENmmn的项满足数列时14ka时，有), 2 , 1(mkL; 0)(, 01nASa; 0)(, 0,0), 2 , 1( 11144nkkASaamka有时L当的项满足，nAENmmn数列时,*)( 14, 1, 0243314kkkaaa当不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An，) 1(,)(3424mnNmmnmn时或使得. 0)(, 01nASa北京文北京文（14）设,，。记为平行四边形内部（不含边界）的0,0A4,0B4,3C t ,3D t N tABCD整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ；的所有可能取值
8、为 0N N t。6；6，7，8 （20） （本小题共 13 分）若数列满足，则称为数列，记12:,(2)nnAa aa n L11(1,2,1)kkaaknLnAE。 12+nnS AaaaL（I）写出一个数列满足；E5A13=0aa（II）若，证明：数列是递增数列的充要条件是1=12, =2000anEnA=2011na（III）在的数列中，求使得=0 成立的的最小值1=4aEnA nS An解：（）0，1，0，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 （答案不唯一，0，1，0，-1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5）（）必要性：因为 E 数列 A5是递增数列，所以.)1999,
9、 2 , 1( 11Lkaakk所以 A5是首项为 12，公差为 1 的等差数列.所以 a2000=12+（20001）1=2011. 充分性，由于 a2000a10001， a2000a10001 a2a11 所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999. 又因为 a1=12，a2000=2011,所以 a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。nnnAkaa即),1999, 2 , 1(011L2011 高考数学分类汇编江苏 常州 郑邦锁整理4（）111111kkkkkkaaaaaa 所以有：，；2113aa 3212aa 431 1aa 8713aa 981
10、4aa 相加得：，所以在的数列中，使得=0 成立的的最小值为 9。1290aaaL1=4aEnA nS An福建理福建理16(本小题满分 13 分) 已知等比数列的公比，前 3 项和na3q 313 3S () 求数列的通项公式；na() 若函数在处取得最大值，且最大值为，求函( )sin(2)(0,0)f xAxA6x3a数的解析式( )f x解：解：()由由得得，所以，所以；3133,3qS11 3a 23nna()由()得，因为函数最大值为 3，所以，33a ( )f x3A 又又当时函数取得最大值，所以，因为，故，6x( )f xsin()1306所以函数的解析式为。( )f x( )
11、3sin(2)6f xx福建文福建文 17 （本小题满分 12 分）已知等差数列an中，a11，a33。 （）求数列an的通项公式；（）若数列an的前 k 项和 Sk35，求 k 的值。解：（）由 a11，a33 得，所以 an32n；2d （），解得 k7。(1)35kSkk k 广东理广东理 11.等差数列前 9 项的和等于前 4 项的和.若，则 . na141,0kaaak.10, 02, 0, 0,:10.k:0)61(31) 1(611,61d3d),2(24d)9(1),(29,24)( 29)(,:7104798765494154191 49kaaaaaaaaaSSkaaaaaa
12、aSS从而解法二得由即即解法一20.（本小题满分 12 分）设数列满足,0,b na1 1 1= ,(2)22n n nnbaab anan(1)求数列的通项公式； na2011 高考数学分类汇编江苏 常州 郑邦锁整理5(2)证明：对于一切正整数 n,1112nnnba1111111211,22111112,2.222212112(),2211122,22(2)1 2n n nnnn nnnnnnnnnbannaanab abnnnnnbaaaaaannbabb abn ababbbbn ab解: (1)由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而当时,则数列是以为首项为公比的等比数列122
13、12(2)( )( ) ,(2)222,(2) .(2)(0,2)2n nn nnnnnnnnbbabbbbbbb anbbbbb综上1111111111232211123122,2,22 (2)(2),22222,22222 222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbaabnbbbnbbabbb nb bbbbbbbbLL(2)当b=2时,+1+1, 从而原不等式成立;1当b2时, 要证+1, 只需证+1即证+1即证+即证n21223112121123212121123221,2222 2221)()()()2222222122222222 ,.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbb bb bbbb bbbbbbbbnbbbbLLL而上式左边=(当b2时原不等式也成立从而原不等式成立广东文广东文 11已知是递增等比数列，则此数列的公比 2 na4, 2342aaaq20 （本小题满分 14 分）设 b0,数列满足,naba 111(2)1n n nnbaanan（1）求数列的通项公式；na（2）证明：对于一切正整数,n121n nba解：（1）1 1 10,1n n nnbaabaan
