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1、1990 年全国高中数学联赛 - 1 -1990 年全国高中数学联赛第一试 (10 月 14 日上午 8001000) 一选择题(本题满分 30 分，每小题 5 分)1设 ( ， ),则(cos)cos，(sin)cos，(cos)sin的大小顺序是42 A(cos)cosb0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图x2a2y2b2中的( )(2,-1)Oxy(2,1)(2,1)(5 0)yx O(2,1)yx OD.C.B.A.Oxy(5 0)(2,1)(2,-1)二填空题(本题满分 30 分，每小题 5 分)1设 n 为自然数，a、b 为正实数，且满足
2、a+b=2，则 +的最小值是 11 + an11 + bn 2设 A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当 t 由 15变到 45时，线段 AP 扫过的面积是 3设 n 为自然数，对于任意实数 x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成立，则 n 的最小值是 4对任意正整数 n，连结原点 O 与点 An(n，n+3)，用 f(n)表示线段 OAn上的整点个数(不计端点)，试 求 f(1)+f(2)+f(1990)5设 n=1990，则 (13C +32C33C +3994C3995C= 12n2 n4 n6 n1998 n1990
3、n1990 年全国高中数学联赛 - 2 -68 个女孩与 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和 排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 三(本题满分 20 分)已知 a，b 均为正整数，且 ab，sin=，(其中 00但 x3+ y3+ 3=xy，等号当且仅当 x3= y3= 时，即 x=，y=时成1 31 91 31 9r()1 31 9立故选 B5设非零复数 x、y 满足 x2+xy+y2=0，则代数式+的值是( )(xx + y)1990(yx + y)1990A21989 B1 C1 D以上答案都不对解： = 或 2，其中 =cos12
4、0+isin1201+2=0且 3=1xy若 =，则得()1990+()1990=1若 =2，则得()1990+()1990=1选 Bxy1 + 1 + 1xy21 + 212 + 16已知椭圆+=1(ab0)通过点(2，1)，所有这些椭圆上满足|y|1 的点的集合用阴影表示是下面图x2a2y2b2中的( )EFDIMNF1F2POxy1990 年全国高中数学联赛 - 8 -(2,-1)Oxy(2,1)(2,1)(5 0)yx O(2,1)yx OD.C.B.A.Oxy(5 0)(2,1)(2,-1)解：+=1，由 a2b2，故得5故选 C4a21b21b24b21b25b254a21b25a
5、2二填空题(本题满分 30 分，每小题 5 分)1设 n 为自然数，a、b 为正实数，且满足 a+b=2，则 +的最小值是 11 + an11 + bn解：ab()2=1，从而 anbn1，故 + = 1等号当且仅当a+b211 + an11 + bn1 + an + 1 + bn1 + an + bn + anbn a=b=1 时成立即所求最小值=1 2设 A(2，0)为平面上一定点，P(sin(2t60)，cos(2t60)为动点，则当 t 由 15变到 45时，线段 AP 扫过的面积是 解：点 P 在单位圆上，sin(2t60)=cos(1502t)，cos(2t60)=sin(1502
6、t).当 t 由 15变到 45时，点 P 沿单位圆从( ，)运动到( ,)线段 AP1 2321 232扫过的面积=扇形面积= 163设 n 为自然数，对于任意实数 x，y，z，恒有(x2+y2+z2)2n(x4+y4+z4)成 立，则 n 的最小值是 解：(x2+y2+z2)2=x4+y4+z4+2x2y2+2y2z2+2z2x2x4+y4+z4+(x4+y4)+(y4+z4)+(z4+x4)=3(x4+y4+z4)等号当且仅 当 x=y=z 时成立故 n=3 4对任意正整数 n，连结原点 O 与点 An(n，n+3)，用 f(n)表示线段 OAn上的整点个数(不计端点)，试 求 f(1)
7、+f(2)+f(1990)解 线段 OAn的方程为 y=x(0xn)，故 f(n)等于该线段内的格点数n + 3n若 n=3k(kN+)，则得 y=x (0xn)(kN*)，其内有两个整点(k，k+1)，(2k，2k+2)，此时 f(n)k + 1k=2； 若 n=3k1(kN+)时，则由于 n 与 n+3 互质，故 OAn内没有格点，此时 f(n)=0 f(1)+f(2)+f(1990)=2=1326199035设 n=1990，则(13C +32C33C +3994C3995C= 12n2 n4 n6 n1998 n1990 n解：取( +i)1990展开的实部即为此式而( +i)1990
8、= +i故原式= 1232123212321268 个女孩与 25 个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有 种不同和 排列方法(只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的) 解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共 8 组，与余下 9 个男孩进行排列，某个女孩始终站第一xOy1990 年全国高中数学联赛 - 9 -个位子，其余 7 组在 8+91 个位子中选择 7 个位子，得 C=C种选法7 8 + 917 167 个女孩可任意换位，25 个男孩也可任意换位，故共得 C7!25!种排列方法7 16三(本题满分 20 分)已知 a，b 均为正整数，且 ab，sin=，(其中 01
9、QHMQAEMAMQAEMA122102552即 O 与平面 MAB 的距离r，同理 O 与平面 MCD 的距离r故球 O 是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径=12H DEFMO QPRBCA1990 年全国高中数学联赛 - 11 -第二试 (10 月 14 日上午 10301230) 一(本题满分 35 分) 四边形 ABCD 内接于圆 O，对角线 AC 与 BD 相交于 P，设三角形 ABP、BCP、CDP 和 DAP 的外接 圆圆心分别是 O1、O2、O3、O4求证 OP、O1O3、O2O4三直线共点 证明 O 为ABC 的外心， OA=OB O1为PAB 的外心，O1A=O1B O
10、O1AB 作PCD 的外接圆O3，延长 PO3与所作圆交于点 E，并与 AB 交于点 F，连 DE，则1=2=3，EPD=BPF， PFB=EDP=90 PO3AB，即 OO1PO3 同理，OO3PO1即 OO1PO3是平行四边形 O1O3与 PO 互相平分，即 O1O3过 PO 的中点 同理，O2O4过 PO 中点 OP、O1O3、O2O4三直线共点二(本题满分 35 分) 设 E=1，2，3，200，G=a1，a2，a100 E 且 G 具有下列两条性质： 对任何 1i395，故每排至少可坐 5 所学校的学生1990=19910，故如果没有“同一学校的学生必须坐在同一横排”的限制，则全部学
11、生只要坐在 10 排就够了 现让这些学生先按学校顺序入坐，从第一排坐起，一个学校的学生全部坐好后，另一个学校的学生接 下去坐，如果在某一行不够坐，则余下的学生坐到下一行这样一个空位都不留，则坐 10 排，这些学生 就全部坐完这时，有些学校的学生可能分坐在两行，让这些学校的学生全部从原坐处起来，坐到第 11、12 排去由于，这种情况只可能在第一行末尾与第二行开头、第二行末尾与第三行开头、第九行 末尾与第十行开头这 9 处发生，故需要调整的学校不超过 10 所，于是第 11、12 行至多各坐 5 所学校的学 生，就可全部坐完这说明 12 行保证够坐 其次证明，11 行不能保证就此学生按条件全部入坐：199=633+11990=3458+18 取 59 所学校，其中 58 所学校 34 人，1 所学校 18 人则对前 58 所学校的学生，每排只能坐 5 所学校 而不能坐 6 所学校故 11 排只能坐其中 55 所学校的学生即 11 排不够坐 综上可知，最少要安排 12 横排才能保证全部学生都能坐下
