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1、第一章综合练习题第一章综合练习题1nnnnnbnnnnn nnnnbabanbabbaabalimlimlimlim)21( 21111存在，且存在，试证明：，是两个函数，令，设L解. aa babbaa ba bbnnnnn n21 111 21122，L故对一切 有nabaa baababbbbnnnnnnnnnnnn n12122 即单调增，单调减abnn于是有 a baaabbba bnnn1 123 121 1 2LL 即有上界，有下界abbann22从而与都存在。设，则由 得从而limlimlimlimlimlimnnnnnnnnnnnnnabaAbBbabBABAB122即lim
2、lim nnnnab 2.设，试确定 ， 之值。lim() xxaxbxab 3122解. 03)13(lim 13lim2)13(lim222axxbaxbxaxxbxaxxxxx故因a9代回原式 lim() xxxbx 3912lim xbxxxbx13912 lim xbx b xxb1391622故b 123. 3220( )(1)1( )1 cos( ) ( )xxaxxxxxa 设当，和满足试确定的值。解. 当，xxxx011 22( )cos( )()xaxax113 2322lim( ) ( )lim xxx xxaxxa 002231 231 故a 1 34. 计算极限lim
3、() (cos )ln()sinxxex xx 042211 11解：因当时x 011 22 cosxxln() 122xxexxxsin sin1原式 lim xxxxx042221 1 2 25.设当时，与是等价无穷小，且，证明：xxxxf x xaf xx g xAf xx g xAxxxxxx00001( )( )lim( ) ( )lim( )( ) ( )lim( )( ) ( )解:00( )( )lim( ) ( )( )( )( )lim( )( )( )xxxxf xx g x f xxf xx g xf xx Af x xx x f x xxxlim( ) ( )( )
4、( ) ( ) ( )01 1 1aAAa6. 求极限应用等阶无穷小性质，xxxx)1arctan()1arctan(lim 0解: 证，则当时，arctan()arctan()1100xxx)1)(1 (1)1 ()1 (arctantantan1tantanarctan)(xxxx 且)1)(1 (1)1 ()1 ()1arctan()1arctan(xxxxxx因此，原式 lim()() ()()xxx xxx011 111220022limlim1(1 1)2xxx xxx 7. .lim131 131 131 1112存在，求证：设nnnnxx L解: 111111111 1 13
5、131313131nnnxnnnxxxL因为 所以数列单调增xn2121111 1 13 13131 11 ( )1111133 11133321133nnnnx LL又因为 即数列有上界为xn3 2limnnx 根据准则：单调有界数列必有极限, 因此存在8. 0( )( )( )( )0( )01( )1( ) ( )xxxxxxxxxx设当，都是无穷小，且，试证明：证:1111( )( )( )ln( )xexxx( )ln( )xx1( )( )()xxxx 当时09. 333 3 2222( )lim1(1)(1)( )nnxxxf xxxxxf xL设试判定的连续性解: 对任意xf
6、xxxxxx nn 011 111 132123( )lim()3(0)0,( )fRf xxx而故对任意实数，从而在，上连续f x( )() ( )( )0()()( )0( )()f xxaxbf xababCf cf xab10. 设为连续函数，与是方程的两个相邻的根证明：若已知，内一点处的函数值，则在，内处处为正证：反证法，若在，内不处处为正f xab( )()即在，内至少存在一点，使()()abxf x000于是由零点定理，在与点 之间必存在一点xC0使f ( ) 0()( )0abf xxaxb即，内还有方程的一个根，与，为相邻两根矛盾所以在，内处处为正f xab( )()11.
7、( )( )( )( ) ( )( )( )( )()f xg xabf ag a f bg byf xyg xab设与在，上连续，且，试证明曲线与在，之间至少有一个交点解:,令F xf xg x( )( )( )( )( )( )( )0,( )( )( )0F xabF af ag aF bf bg b则在，上连续, 且 故在，内至少有一点 使()( )abF 00)()(ygf即则点，是曲线与的交点()( )( )yyf xyg x012. 处的连续性在讨论，0)( , 010 11 )(11 xxfxx ee xfxx解:, 1010111lim)0(110 xxxeeffeexxx(
8、)lim 0111 011f ( )01故由知在处不连续fff xx( )()( )000解:( )ln1( )(0)f xxxf x13. 试由在处连续性导出在，上连续性的证明已知 limln()ln xx 1110则对任意，取足够小，使xxxx ()000)1ln(limln)ln(lim 00 xxxxx xx则故在，内连续f x( )()0 14. 设是在，上连续的奇函数，试求f xaa af( )()( ) 00解: ff x x( )lim( )0 0 0lim( )(0),00 xf xfxx 若证则当时，ff xfx xx( )lim( )lim()0 00 0lim( )(0
9、) xf xf f ( )0015设在处可导且，求极限。)(xfax baf)(hhxafhafx)2()(lim 0原式 lim()( )()( )hf ahf a hf ahf a h022 2 fafab( )( )230(3 )( )(23 .lim( 3)3)3hf thf tahtahthbh 注：令，则原式 不给分16. ( )( )( )xxaf xxaxxa设 在处连续，讨论在处的可导性解:lim( )( )lim( ) xaxaf xf a xaxaxax 点不可导在故时该极限不存在当axxfa)(,0)(当时该极限的值为在点可导( ),( )af xxa0017 解: 2
10、22201 ( tan1)(1)tan1lim tan1xxxxfxxefxxe xxxe 原式f ( ) 12618. 对任意两个实数 与满足且证明在，可导 且xxf xf xxf xf xff xf xfxf x121212 010,( )()()()( ),( )( )(),( )( ). 证:lim()( )lim( ) ()( ) xxf xxf x xf x fxf x x00f xfx xx( ) lim() 01又代入上式得Q fff( )( )( )000125. 00() 1()(0)( ) lim( ) lim(0) ( )( )( ) xxfxfxff xf xff x
11、fxf xxx 设 ，其中在点 的某邻域内连续，在点 可导，且试求f xg xxxag xag aA g afa( )( ) ( )( )( )( ), ( )( )0解:lim( )( )lim( ) ( )xaxaf xf a xag xx xa 0 lim( )( )( )( )( )( ) xax g xg axaag aAa19f xkk( ),(, , ,)在处不连续 故不可导2012 Llim( )( )lim( )tanxxxf xf xe xf 0 00 00110lim( )( )( )( )xf xf xff 0 00000 不存在 fxx exxkxx ( )sec()
12、tan202 00， 解:30,40B20. 两只船和从同一码头同时出发，船往北船往东，若船的速度为千米小时船的速度为千米小时，问两船间的距离增加的速率如何？)()(),()(千米两船相距千米船远距码头千米船远距码头小时设时刻SyBxAt222yxSdtdyydtdxxdtdss222)(50)(40)(30)(50)(40)(30小时千米代入上式得小时千米，小时千米千米，千米，千米以dtdsdtdy dtdxtstytx)(50时千米速率为答：两船间距离增加的21. 设 在处二阶可导 且求f xxfffaxx f x xx( ),( )( ),( ),limsin( ) cos 000001
13、02解: 2/)(limcos1)(sinlim42020xxfx xxxfxxx2 020lim( )lim( )xxf x xfx x lim( )( )( ) xfxf xfa 000注：用洛必达法则求者最多给 5 分22. 设 在处可微 且有试求f xxdfxdxfx( ),(sin)( )0200解:dfxfxxdx(sin)(sin)cos22220,2(0) cos2(0)xdxfdxfdx取代入 得 f ( )01 223. ，求设 dyxxxyx)(log)(3 )1(2解:y xxx xx x( )ln () ln()ln ln() 1 111222dyxx xxx xdx1 112 12222ln ()ln()ln24, 0)()(0)(,),(,)(bfafxfbaxbabaxf若时且当可导在上连续在设.)()()(kffbak使存在点证明对任意实数证明 令为任意实数 则在上连续 在可导:( )( )()( ) , ,( , )F xf x ekF xa ba bkx( )( )0
