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1、 1一、子空间一、子空间 1.证明 (1)实数空间R同胚于任何一个开区间; 证证 情形 1 若, a b?，则()() ,2 2fga b +， 其中( )() 2xbf xba=+，( )tang yy=，易见, f g都是同胚。 令()():,hgfa b= +?，则h也是同胚。 情形 2，若b?，则()()(),0,1,fgb + 其中( )ex bf x=，( )1tan2g yy=，易见, f g都是同胚。 令()():,hb +，则hgf=?，h也是同胚。 情形 3，若a?，则同理可证()():,ha + +是同胚。 (2)n维欧氏空间nR同胚于其中的任何一个开方体,也同胚于其中的
2、任何一个球形邻域. 证证 若,iia b ?()1,2,in=?，则 () ()()() ()()()1122,1,11,11,1O 0,1fhgn nna ba ba b ? ()12 12 1122,21,21,21n n nnxaxaxaf x xxbababa=? ()()()1121 1210,0,0 ,max0,max ,max0ii nnii n nii nyh y yyy y yyyy = = ? ?()()1212,tan,2nng y yyyy yy=? 则, ,g h f都是同胚，g hf=? ?也是同胚。这表明n维欧氏空间nR同胚于其中的任何一个开方体。 下证n维欧氏空
3、间nR同胚于其中的任何一个球形邻域。 ()()O,O 0,1gnx ?，()()1211221,nnny yyyx yxyx=? 2.如果Y 是拓扑空间 X 的一个开(闭)子集,则Y 作为 X 的子空间时特别称为 X 的开(闭)子空间,证明 (1)如果Y 是拓扑空间 X 的一个开子空间，则YA是Y 中的一个开集当且仅当 A是 X的一个开集; 证证 必要性 若YA是Y 中的一个开集，则()YAUUY =（这里YU是拓扑空间 Y 中2的开集，U是拓扑空间 X 中的开集） 。 因Y 是拓扑空间 X 的一个开子空间，故UY为拓扑空间 X 的一个开集，因此()AUY =为拓扑空间 X 的一个开集。 充分
4、性显然 若 A是 X 的一个开集，而AAY=，这表明A是Y 中的一个开集 (2)如果Y 是拓扑空间 X 的一个闭子空间,则YA是Y 中的一个闭集当且仅当 A 是 X的一个闭集; 证证 必要性 若A是Y 中的一个闭集，则存在 X 中的开集G使得()AXGY=， 因 Y 是拓扑空间 X 的一个闭子空间，XG为拓扑空间 X 的一个闭集，因此 ()AXGY=为拓扑空间 X 的一个闭集。 充分性 若 A是 X 的一个闭集，而AAY=，这表明A是Y 中的一个闭集. (3)设Y 是拓扑空间 X 的一个子空间.YA.证明 )(int)(int)(intYAAXYX= 证证 先证int ( )int ( )in
5、t ( )XYXAAY 设int ( )XaA，则存在X的开集X aU使得X aaUA，而AY，从而 X aaUYAYA=， 这表明int ( )YaA， 由X aaUAY知int ( )XaY.因此int ( )int ( )YXaAY，下证int ( )int ( )int ( )XYXAAY. 设int ( )int ( )YXaAY，则int ( )XaY且int ( )YaA，因此,XY aaUU， . .,XY aast aUY aUA，而Y aUVY=，其中V是X的开集，因此 ()()XXX aaaaUVUYVUYVAYA= 这表明int ( )XaA. YAAXY)()(,并举
6、例说明等式可以不成立. 其中Xint和Yint分别表示在拓扑空间X和Y中求集合的内部; X和Y分别表示在拓扑空间X和Y中求集合的边界. 证证 因( )()( )YYYACACYA=， ()( )()( )XYYAYAXAYCACXA=，故YAAXY)()(，下面举例说明等式可以不成立. 事实上当11,2AY=?，X = ?时，( )YA=， ()( )0XAYAYA=，因此( )( )YXAAY . 4.设Y是拓扑空间X的一个子空间, Yy. 证明 (1)如果L是X的一个子基, 则YL是Y的一个子基; 证证 设G是Y的开集, yG,则存在X的开集U,使得GUY=.因L是X的一个子基，故存在12
7、,nL LLL?，使得12nyLLLU?，于是 3()()()12nyLYLYLYUYG=?，这表明YL是Y的一个子基 (2)如果yW是点y在X中的一个邻域子基，则yYW是点y在Y中的一个邻域子基。 证 设G是y在Y中的开邻域,则存在X的开集U,使得GUY=.因yW是点y在X中的一个邻域子基，存在12,nyL LLW?，使得12nyLLLU?,于是 ()()()12nyLYLYLYUYG=?,这表明yYW是点y在Y中的一个邻域子基. 5.设(,T)X和1( ,T )Y是两个拓扑空间，并且XY .证明 (1)如果),(1TY是),(TX的一个子空间,则内射XYi:是一个连续映射. 证 设UT，则
8、因1( ,)Y T是(, )X T的一个子空间，故( )1 1iUUYT=，这表明内射XYi:是一个连续映射. (2)如果内射XYi:是一个连续映射，则1YTT. 证证 设YVT，则存在UT使得VUY=.因内射XYi:是一个连续映射，故( )1 1iUUYT=，即1VT，这表明1YTT. 6.设X和Y是 两 个 拓 扑 空 间.证 明 映 射YXf:是 一 个 连 续 映 射 当 且 仅 当)(:XfXf是一个连续映射。 证证 必要性 设() ()12,XY，若U是()fX的开集，则2G，使得 ()UGfX=.又YXf:连续,故( )1 1fG，因此( )()()11fUfGfX= ()11(
9、 )()fGffX=11 1( )( )fGXfG=，这表明 )(:XfXf连续. 充分性 2G, 因)(:XfXf连续，故 ()()()11111 1( )()( )( )fGfXfGffXfGXfG=, 这表明映射YXf:连续. 7.设X和Y是两个拓扑空间, A是X的一个子集.证明:如果映射YXf:连续,则映射:AfAY也连续. 证证 设() ()12,XY,2G,因( )( )11()AfGfGA=,故( )1 1fG. 因此( )1fGA是A中的开集, 这表明映射:AfAY连续. 8.设X和Y是两个拓扑空间，A是X的一个子集。证明 (1)如果映射YXf:是一个同胚，则映射)(:AfAf
10、A也是一个同胚; 证证 设() ()12,XY,若( )UfA为( )fA的开集，则2G，使得 ( )UGfA=，因( )()1AffA，故 ( )( )()( )( )()( )11111()AfUfGfAAfGffAAfGA= 因此( )1()AfU为A中的开集，这表明Af连续，同理可得1 ()f Af连续。 4综上)(:AfAfA是一个同胚。 (2)如果X可嵌入Y，则X的任何一个子空间也可嵌入Y . 证证 因X可嵌入Y， 故存在:fXY使得():fXfX是同胚。 若A是X的子空间，则由(1)知)(:AfAfA也是一个同胚，这表明X的任何一个子空间也可嵌入Y . 9.在集合2R中给定一个子
11、集族 , ) , )La bc d=,|dcbadcba，使 2( , )dBxA，即 2211122212( , )|( , )max( ,),(,),dBxy dx yx yxyyXXA=,使(),xxG+.又因 ()()(),:,xxpxxp xx+为局部同胚，故(),p xx+为( )1/Sp的开集，而( )1/Sp为1S的开子空间，因此(),p xx+为1S的开集。再由 ()( ),yp xxp G+知( )p G是1S的开集. 4.定义映射12)0 , 0(:SpR?，使得对于任何)0 , 0(),(2Ryx有 12222,),(S yxyyxxyxp+= 证明p是一个商映射. 证
12、证 p是连续满映射，下证p是一个开映射。 设G是?的开集。下证( )p G是1S的开集.( )yp G ,xG ,使得( )p xy= 因G是?的开集，故存在102使(),O xG. 又因 ()()()(),:,O xpO xp O x为局部同胚，故()(),p O x为1S的开集。又 ()()( ),yp O xp G，这表明( )p G是1S的开集。 105.设X和Y是两个拓扑空间，YXf:是一个商映射。令 ( , )|( )( )Rx yXXf xf y= 证明(1) R是X中的一个等价关系 (2)Y同胚于商空间RX /. 证证 先证(1)R是X中的一个等价关系。事实上，1）xRx显然成
13、立，2）xRyyRx也显然成立，3）若,xRy yRz，则( )( )f xf y=，( )( )f yf z=，因此( )( )f xf z=，即xRz，这表明R是传递的。 再证(2) Y同胚于商空间RX /. /gXX RY ? 其中YXf:、:/p XX R、:/g X RY满足( ) p xx=， ()( )gxf x= 因:/p XX R是投影，故f连续当且仅当g连续。容易验证g是双射，下证1g连续. 设V是RX /中的开集，则( )1pV是X的开集，因YXf:是一个商映射，故( )()1fpV是Y的开集，而( )g V( )()1fpV=，因此g是开映射，于是连续1g连续. 综上Y
14、同胚于商空间RX /. 6.定义映射1:SIp,使得对于任何It有 1)2sin(),2(cos()(Stttp= 其中 1 , 0=I，证明 (1) p是满的连续闭映射 (2)例3.3.2中的商空间RI /与1S同胚. 证证 先证(1) 易见p是连续满映射，又因 1 , 0=I是紧空间，1S是2T空间，故p是一个闭映射。 再证（2） 设映射1:p IS使得对于任何tI有1)2sin(),2(cos()(Stttp=，则p为商映射。与5（2）类似可以证明：商空间RI /与1S同胚. 7.举例说明商映射可以既不是开映射也不是闭映射. 解解 若规定():1,20,1f为( ), 10,01 1,12xxf xxx x 时,nYYE,易见() ()()0,0 , 0,1YEYE=. 若为可数无限集,则得() ()0,0 , 0,1EE=. 3.证明: 一个拓扑空间的任何一个既开又闭的连通子集必定是这个拓扑空间的一个连通分支. 证证 若A=, 则含A的连通分支为, 设A是拓扑空间X的一个既开又闭的非空的连通子集, 则A和XA为X的隔离子集. 不妨设
