《复变函数第三章答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数第三章答案（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1. 计算积分d CIz z=，其中积分路径C是：（1）直线段1,1 ；（2）从1到1的上半单位圆周1z=；（3）从1到1的下半单位圆周1z=.解（1）直线段1,1 的参数方程为：1 (1) 11 2zttt= + = +（01t ） ，所以，()()1201d122d200CIz ztttt= += +=。（2）1到1的上半单位圆周1z=的参数方程为：ize=（0） ，所以，00dddiiCIz zeieii= 。（3）1到1的下半单位圆周1z=的参数方程为：ize=（0） ，所以，00dddiiCIz zeieii=。2. 计算积分Im d CIz
2、 z=，其中积分路径C是：（1）按逆时针从1到1的单位圆周1z=；（2）直线段,a b （,a b）.解（1）单位圆周1z=的参数方程为：ize=（02） ，所以，()2220022200Im dsindsincossindsincos dsind.iCIz zieiii =+= （2）直线段,a b 的参数方程为：(1)()zatb taba t=+ =+（01t ） ，所以，()()10Im dImIm()d CIz zabatbat=+()()()11ImIm()Im22baababaab=+=+。3. 计算下列积分：11d CIzza=，2d CIza z=，其中积分路径C是圆周zaR
3、=上从点1iAaR e=+按逆时针到点2iBaR e=+的一段弧（1202，存在0，当00rzz） ；（2）若( )f z在0Rzz，( )d2rCf zzi A=，其中0:rCzzr=； （提示：利用（1）及柯西定理）（3）计算：14d1zzRezz=（1R）.证明（1）注意到0d2rCAzi Azz=，易得，()0 01( )d2 ( )d( )drrrCCCAf zzi Af zzzzf zAzzzr=，因为0lim() ( ) zzzf zA =可得00lim () ( ) z zzzf zA =，所以，对任意0，存在0M，当0rzzM=时，()0( )zzf zA，lnz表示以(,0
4、为割线且在1处的值为0的解析分支，则2lnlnd2 ()RCzRzzR+.由此可得2lnlimd0RCRzzz=.（提示：在:1RCzR=上，lnlnarglnzzizR=+ +）证明 由条件易见，lnlnargzziz=+，其中argz，所以，在:1RCzR=上，22222lnlnlnarglnlnzzRzzRzRRRR+=。注意到RC的长为2R，由积分的估值性，22lnlnlnd2()2 ()RCzRRzRzRR+=。又lnlim0 RR R+=，所以，2lnlimd0RCRzzz+=。15. 设:1Cz= 从而存在正常数M，使得在NC上，sinzM；（3）2116dsin(21)NCzz
5、zNM+由此可得21limd0sinNCNzzz+=证明（1）sinsin()sincoscos sinsincossinsin,222yyyyyyzxiyxiyxiyeeeeeexixxx=+=+=sinsin()sinh222ix yixyix yixyyyeeeeeezxiyyii+=+=。（2）由（1） ，并注意到在NC的垂直边上(1 2)xN= +，而在NC的水平边上(1 2)yN= +，所以，在NC的垂直边上()sinsin(1 2)1zN+=。在NC的水平边上，11 (1 2)(1 2)(1 2)(1 2)22 sinsinh2222NNNNeeeeeez+= 。（注意：在上面的
6、不等式中用到了()1 2yyee是严格递增函数）取min 1,sinh2M=，则在NC上，sinzM。（3）由（2） ，并注意到NC的垂直边的参数方程为：(1 2)zNi t= + ，(1 2)(1 2)NtN+ +，NC的水平边的参数方程为：(1 2)ztNi= +，(1 2)(1 2)NtN+ +，所以，在NC的垂直边和水平边上，()()222222144 sin(21)4(21)zzNtMNM+。又NC的边长为4(21)N+，由积分的估值性，()2221416d4(21)sin(21)(21)NCzNzzNMNM+=+，于是，21limd0sinNCNzzz=。17. 试用柯西定理说明下
7、列积分都为零：（1）11d1 sinzzz=；（2）11d()nzzza=（其中1a） ；（3）sin1dzzezza=（其中1a） ； （4）211d22zzzz=+；（5）211d56zzzz=+；（6）221sindzzzz=；（7）221(cos)dza zzzz=.证明（1）因为1 sinz的零点为22kzk=+（k） ，且241122kzkk=+=+ ，所以，1 1 sinz在闭圆1z上解析，由柯西定理，11d01 sinzzz=。（2）因1a，所以1 ()nza在闭圆1z上解析，由柯西定理，11d0()nzzza=。（3）因1a，所以sinze za在闭圆1z上解析，由柯西定理，
8、sin1d0zzezza=。（4）因为222zz+的零点为1i，121i=，所以，21 22zz+在闭圆1z上解析，由柯西定理，211d022zzzz=+。（5） 因为256zz+的零点为2和3， 所以，21 56zz+在闭圆1z上解析， 由柯西定理，211d056zzzz=+。（6）易见22sinzz在闭圆1z上解析，由柯西定理，221sind0zzzz=。（7）因为22211(cos)d(cos)dzza zzzzazzz=，而2cosazz在闭圆1z上解析，由柯西定理，22211(cos)d(cos)d0zza zzzzazzz=。18. 利用柯西定理计算积分11d2zzz=+的值，并由
9、此证明 012cosd054cos+=+.解 因为1 2z+在闭圆1z上解析，由柯西定理得，1d02zz z=+。因圆周1z=的参数方程为：cossinizei=+（或02） ，由复积分的参数方程计算公式得，1d1(cossin )d22cossin 2sin(12cos )2sin12cosddd ,54cos54cos54coszziizi ii = + +=+ +所以， 2sin12cosdd054cos54cosi+ =+。比较两边的实部和虚部，并注意到12cos 54cos + +为偶函数，012cos112cosdd054cos254cos+=+。19. 计算下列积分：（1）1si
10、ndzzzz=；（2）11d(21)(2)zzzz=+；（3）221d 1zzzzz=+ ； （4）2221d (1)zzzzz=+ .解（1）由柯西积分公式得，1sind2sin00zzziz=。（2）因21z z，112z z，所以，2(67),2 ( ) 0,2izzz z fz zz z+，而12iz z+ ，从而(1)26(1)72(613)1226fiiiiii+=+=+= +，(12 )0fi+=。22. 利用柯西公式计算积分1dzzezz=的值，并由此证明cos0cos(sin )de=.解 由柯西积分公式，01d22zzezieiz=。因圆周1z=的参数方程为：cossini
11、zei=+（或02） ，由复积分的参数方程计算公式得，()()() ()()()()cossin1coscoscosd(cossin )dcossin cos sinsin sindsin sindcos sind ,zizeeziizi ieieie +=+ = += + 所以，()()()()coscossin sindcos sind2eiei+=。比较两边的实部和虚部，并注意到()()coscos sine为偶函数，coscos01cos(sin )dcos(sin )d2ee =。23. 利用高阶导数公式计算211d()nzzzzz=+（n） ，并由此证明：220(21)!cosd2
12、(2 )!nn n =.证明 由解析函数的高阶导数公式2222 2 21211111d(1)2(2 )!(1)()dd(2 )!2nn n nnzzzzzinzzzzzzzniz +=+=22(2 ) 02(1) (2 )!nn zizn=+而(2 )22(2 )2212212121 02220(1) ()()()()1nnnnnnnnn znnnzzzCzCzCz =+=+2(2 )!n nCn=所以22 2 2221111d(1)2()d(2 )!2(2 )!n nnn nnnzzzzizzCni Czzzn+=+=又令ize=，02，2222221001d1()(2cos )d2cosd
13、nninn izzzieizze =+=所以222 2022cosdnnn ni Ci =即222 2021 3 5(21)(21)!cosd2222 4 62(2 )!n nn nCnn nn = 注意：注意：注意：注意：2 222222(2 )(21)(1)2(2 )!(2 )!(21)!(21)!2222!2( !)(2 )!(2 )!(2 )!n n nnnCnnnnnnn nnnnn+=24. 证明：211d !2!nnznzz e nin =.证明 记圆周1=为C，由解析函数的高阶导数公式，111d11!dd2!2! 2nznznznnnCCCz ezezne ini nnni+=2( ) 011()!nnn znnzzzeznnnnn =25. 若( )f z在1z， 并注意到( )f 在R上解析，可得，2( )f Rz 在R上解析。所以，由柯西积分公式得，222222( )( )d2( )22()()zRRzRzffif ziiz RzRz=。又R=的参数方程为：()cossiniR eRi=+（02） ，由复积分的参数方程的计算公式，()()222022
