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1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1. 计算积分d CIz z=,其中积分路径C是:(1)直线段1,1 ;(2)从1到1的上半单位圆周1z=;(3)从1到1的下半单位圆周1z=.解(1)直线段1,1 的参数方程为:1 (1) 11 2zttt= + = +(01t ) ,所以,()()1201d122d200CIz ztttt= += +=。(2)1到1的上半单位圆周1z=的参数方程为:ize=(0) ,所以,00dddiiCIz zeieii= 。(3)1到1的下半单位圆周1z=的参数方程为:ize=(0) ,所以,00dddiiCIz zeieii=。2. 计算积分Im d CIz
2、 z=,其中积分路径C是:(1)按逆时针从1到1的单位圆周1z=;(2)直线段,a b (,a b).解(1)单位圆周1z=的参数方程为:ize=(02) ,所以,()2220022200Im dsindsincossindsincos dsind.iCIz zieiii =+= (2)直线段,a b 的参数方程为:(1)()zatb taba t=+ =+(01t ) ,所以,()()10Im dImIm()d CIz zabatbat=+()()()11ImIm()Im22baababaab=+=+。3. 计算下列积分:11d CIzza=,2d CIza z=,其中积分路径C是圆周zaR
3、=上从点1iAaR e=+按逆时针到点2iBaR e=+的一段弧(1202,存在0,当00rzz) ;(2)若( )f z在0Rzz,( )d2rCf zzi A=,其中0:rCzzr=; (提示:利用(1)及柯西定理)(3)计算:14d1zzRezz=(1R).证明(1)注意到0d2rCAzi Azz=,易得,()0 01( )d2 ( )d( )drrrCCCAf zzi Af zzzzf zAzzzr=,因为0lim() ( ) zzzf zA =可得00lim () ( ) z zzzf zA =,所以,对任意0,存在0M,当0rzzM=时,()0( )zzf zA,lnz表示以(,0
4、为割线且在1处的值为0的解析分支,则2lnlnd2 ()RCzRzzR+.由此可得2lnlimd0RCRzzz=.(提示:在:1RCzR=上,lnlnarglnzzizR=+ +)证明 由条件易见,lnlnargzziz=+,其中argz,所以,在:1RCzR=上,22222lnlnlnarglnlnzzRzzRzRRRR+=。注意到RC的长为2R,由积分的估值性,22lnlnlnd2()2 ()RCzRRzRzRR+=。又lnlim0 RR R+=,所以,2lnlimd0RCRzzz+=。15. 设:1Cz= 从而存在正常数M,使得在NC上,sinzM;(3)2116dsin(21)NCzz
5、zNM+由此可得21limd0sinNCNzzz+=证明(1)sinsin()sincoscos sinsincossinsin,222yyyyyyzxiyxiyxiyeeeeeexixxx=+=+=sinsin()sinh222ix yixyix yixyyyeeeeeezxiyyii+=+=。(2)由(1) ,并注意到在NC的垂直边上(1 2)xN= +,而在NC的水平边上(1 2)yN= +,所以,在NC的垂直边上()sinsin(1 2)1zN+=。在NC的水平边上,11 (1 2)(1 2)(1 2)(1 2)22 sinsinh2222NNNNeeeeeez+= 。(注意:在上面的
6、不等式中用到了()1 2yyee是严格递增函数)取min 1,sinh2M=,则在NC上,sinzM。(3)由(2) ,并注意到NC的垂直边的参数方程为:(1 2)zNi t= + ,(1 2)(1 2)NtN+ +,NC的水平边的参数方程为:(1 2)ztNi= +,(1 2)(1 2)NtN+ +,所以,在NC的垂直边和水平边上,()()222222144 sin(21)4(21)zzNtMNM+。又NC的边长为4(21)N+,由积分的估值性,()2221416d4(21)sin(21)(21)NCzNzzNMNM+=+,于是,21limd0sinNCNzzz=。17. 试用柯西定理说明下
7、列积分都为零:(1)11d1 sinzzz=;(2)11d()nzzza=(其中1a) ;(3)sin1dzzezza=(其中1a) ; (4)211d22zzzz=+;(5)211d56zzzz=+;(6)221sindzzzz=;(7)221(cos)dza zzzz=.证明(1)因为1 sinz的零点为22kzk=+(k) ,且241122kzkk=+=+ ,所以,1 1 sinz在闭圆1z上解析,由柯西定理,11d01 sinzzz=。(2)因1a,所以1 ()nza在闭圆1z上解析,由柯西定理,11d0()nzzza=。(3)因1a,所以sinze za在闭圆1z上解析,由柯西定理,
8、sin1d0zzezza=。(4)因为222zz+的零点为1i,121i=,所以,21 22zz+在闭圆1z上解析,由柯西定理,211d022zzzz=+。(5) 因为256zz+的零点为2和3, 所以,21 56zz+在闭圆1z上解析, 由柯西定理,211d056zzzz=+。(6)易见22sinzz在闭圆1z上解析,由柯西定理,221sind0zzzz=。(7)因为22211(cos)d(cos)dzza zzzzazzz=,而2cosazz在闭圆1z上解析,由柯西定理,22211(cos)d(cos)d0zza zzzzazzz=。18. 利用柯西定理计算积分11d2zzz=+的值,并由
9、此证明 012cosd054cos+=+.解 因为1 2z+在闭圆1z上解析,由柯西定理得,1d02zz z=+。因圆周1z=的参数方程为:cossinizei=+(或02) ,由复积分的参数方程计算公式得,1d1(cossin )d22cossin 2sin(12cos )2sin12cosddd ,54cos54cos54coszziizi ii = + +=+ +所以, 2sin12cosdd054cos54cosi+ =+。比较两边的实部和虚部,并注意到12cos 54cos + +为偶函数,012cos112cosdd054cos254cos+=+。19. 计算下列积分:(1)1si
10、ndzzzz=;(2)11d(21)(2)zzzz=+;(3)221d 1zzzzz=+ ; (4)2221d (1)zzzzz=+ .解(1)由柯西积分公式得,1sind2sin00zzziz=。(2)因21z z,112z z,所以,2(67),2 ( ) 0,2izzz z fz zz z+,而12iz z+ ,从而(1)26(1)72(613)1226fiiiiii+=+=+= +,(12 )0fi+=。22. 利用柯西公式计算积分1dzzezz=的值,并由此证明cos0cos(sin )de=.解 由柯西积分公式,01d22zzezieiz=。因圆周1z=的参数方程为:cossini
11、zei=+(或02) ,由复积分的参数方程计算公式得,()()() ()()()()cossin1coscoscosd(cossin )dcossin cos sinsin sindsin sindcos sind ,zizeeziizi ieieie +=+ = += + 所以,()()()()coscossin sindcos sind2eiei+=。比较两边的实部和虚部,并注意到()()coscos sine为偶函数,coscos01cos(sin )dcos(sin )d2ee =。23. 利用高阶导数公式计算211d()nzzzzz=+(n) ,并由此证明:220(21)!cosd2
12、(2 )!nn n =.证明 由解析函数的高阶导数公式2222 2 21211111d(1)2(2 )!(1)()dd(2 )!2nn n nnzzzzzinzzzzzzzniz +=+=22(2 ) 02(1) (2 )!nn zizn=+而(2 )22(2 )2212212121 02220(1) ()()()()1nnnnnnnnn znnnzzzCzCzCz =+=+2(2 )!n nCn=所以22 2 2221111d(1)2()d(2 )!2(2 )!n nnn nnnzzzzizzCni Czzzn+=+=又令ize=,02,2222221001d1()(2cos )d2cosd
13、nninn izzzieizze =+=所以222 2022cosdnnn ni Ci =即222 2021 3 5(21)(21)!cosd2222 4 62(2 )!n nn nCnn nn = 注意:注意:注意:注意:2 222222(2 )(21)(1)2(2 )!(2 )!(21)!(21)!2222!2( !)(2 )!(2 )!(2 )!n n nnnCnnnnnnn nnnnn+=24. 证明:211d !2!nnznzz e nin =.证明 记圆周1=为C,由解析函数的高阶导数公式,111d11!dd2!2! 2nznznznnnCCCz ezezne ini nnni+=2( ) 011()!nnn znnzzzeznnnnn =25. 若( )f z在1z, 并注意到( )f 在R上解析,可得,2( )f Rz 在R上解析。所以,由柯西积分公式得,222222( )( )d2( )22()()zRRzRzffif ziiz RzRz=。又R=的参数方程为:()cossiniR eRi=+(02) ,由复积分的参数方程的计算公式,()()222022