代数推理题怎么解

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1、 1代数推理题怎么解代数推理题怎么解陕西永寿县中学 特级教师安振平 数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法 是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过 典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通 性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等 价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.例例 1 1 设函数，已知，时恒有134)(,4)(2xxgxxaxf0 , 4x，求a的取值范围.)()(xgxf讲解讲解: : 由

2、得实施移项技巧,)()(xgxf,134:,4:,134422axyLxxyCaxxx令从而只要求直线 L 不在半圆 C 下方时, 直线 L 的 y 截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得舍去）.35(5aa故.)()(,5xgxfa时本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理,实施移项技巧解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是 解题能力的提升, 还请三思而后行.例例 2 2 已知不等式对于大于 1 的正整数n32) 1(log121 21 2

3、1 11annnaL恒成立，试确定a的取值范围.讲解讲解: : 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)nnnnf21 21 11)(L为增函数.)(nfn 是大于 1 的 正整数，.127)2()(fnf对一切大于 1 的正整数恒成立，必32) 1(log121 21 21 11annnaL要使须, 127 32) 1(log121aa即.2511, 1) 1(logaaa解得这里的构造函数和例 1 属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类2旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.例例 3

4、3 已知函数在区间b，1b上的最大值为)0(49433)(22bbxxxf25，求 b 的值.讲解讲解: : 由已知二次函数配方, 得 . 34)21(3)(22bxxf时，的最大值为 4b2+3=25. 23 21,121) 1 (bbb即当)(xf;23 21 4252矛盾与bb上递增，1 ,)(,210,21)2(bbxfbb在时即当;25)23()(2bbf上递增，1 ,)(23,121)3(bbxfbb在时，即当. 25,2541596)1 (2bbbf解得关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间b，1b, 自然引出解题形

5、态的三种情况, 这显示了21分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.例例 4 4 已知).1(1)(xxxxf的单调区间；)() 1 (xf求（2）若.43)()(:,)(1, 0cfafbbacba求证讲讲解解 : : （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,111)(xxf.), 1() 1,()(上分别单调递增和在区间xf（2）首先证明任意).()()(, 0yfxfyxfyx有事实上,)(1111)()(yxxyfyxxyyxxy yxxyyxxyxy yy xxyf

6、xf3而 ),() 1 (,yxfyxxyfyxyxxy知由)()()(yxfyfxfQ, 04)2(1 )(122abbabbac. 34 222aaaca.43)3()()()(fcafcfaf函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值. 针对本例的求解 , 你能够想到证明 任意采用逆向分析法, 给出你的想法!).()()(, 0yfxfyxfyx有例例5 5 已知函数f(x)=（，） aaaxx(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对

7、称21,21(2) 令an，对一切自然数n，先猜想使an成立的最小自然数a,并证)1 ()( nfnfa 明之(3) 求证：).nnnn)(!(lg3lg) 1(41讲解讲解: : (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为 M （，） ，21,21yxfaaaaaayaaaaaaaaaaxxxxxxx1)1 (1111 Q(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，故函数f(x)的图象关于点P()对称.21,21(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入an的表达式，化简可得an猜a=3, 即 3 下面用数学归纳法

8、证明4设n=k(k)时，3 那么n=k+1，3又 3k（）（）（，）2123. (3) 令k=1,2,，n，得n个同向不等式，并相加得：).!lg(3lg) 1(4),21lg(23lg2) 1(nnnnnn故L函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针 对本例,你能够猜想出最小自然数 a=3 吗? 试试你的数学猜想能力.例例 6 6 已知二次函数，设方程的两个实根)0,( 1)(2aRbabxaxxfxxf)(为x1和x2.（1）如果，若函数的对称轴为x=x0，求证：x01；4221xx)(xf（2）如果，求 b 的取值范围.2| , 2|121xxx讲解讲

9、解: :（1）设，由得01) 1()()(2axbaxxxfxg且4221xx, 即0)4(, 0)2(gg且,81,221443.221443 034160124 aaaabababa得由， aab a4112832故；18141120 abx（2）由同号., 01, 01) 1()(212axxxbaxxg可知21,xx若.0124)2(, 22, 2, 2012121bagxxxxx则又，负根舍去）代入上式得0(1) 1(1244) 1(|2 22 2 12abaaabxx得，解得；bb231) 1(22 41b若 即 4a2b+30., 0)2(, 22, 02121gxxx则5同理可

10、求得. 47b故当.47,02,41,2011bxbx时当时对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.例例 7 7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如)(xf000)(,xxfRx使)(0xfx 为果函数有且只有两个不动点 0，2，且),()(2 Ncbcbxaxxf,21)2(f（1）求函数的解析式；)(xf（2）已知各项不为零的数列，求数列通项；1)1(4nnnafSa满足na（3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.na)(, 411nnafaa2n3na讲解讲解: :

11、 依题意有,化简为 由违达定理, 得xcbxax2 , 0)1 (2acxxb ,102,102babc解得 代入表达式，由,210 cbacxcxxf )21 ()(2 ,21 12)2(cf得 不止有两个不动点，xxfbcNbNcc)(, 1, 0, 3则若又).1( ,) 1(2)(, 2, 22 xxxxfbc故（2）由题设得 （*）,2:1 ) 11(2)1( 422nnnnn naaSaaS 得且 （*）2 1112:1, 1nnnnaaSnna得代以由（*）与（*）两式相减得：6, 0) 1)(),()(2112 12 1nnnnnnnnnaaaaaaaaa即,2:(*)1, 1

12、2 11111aaanaaaannnn得代入以或解得（舍去）或，由，若这与矛盾，01a11a11a, 121aaann得1na，即是以-1 为首项，-1 为公差的等差数列，；11nnaananan（3）采用反证法，假设则由（1）知),2(3nan22)(21 nn nnaaafa,有), 2(, 143)211 (21)111 (21 ) 1(211Nnnaaaaa aann nnnnn即，而当这与假设21aaannK, 3; 338 2816 22,212 1 2naaaan时矛盾，故假设不成立，.3na关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:由得t；（3）试求满足f(t)=t

13、的整数 t 的个数，并说明理由.讲解讲解 （1）为求 f(1)的值，需令. 1)0(, 0fyx得令.2) 1(, 2)2(, 1ffyxQ令.1) 1 (),1() 1 ()0(, 1, 1ffffyx即（2）令()2)() 1(2)() 1(, 1yyfyfyyfyfx即.0)() 1(,yfyfNy有时当由,0)(,1) 1 (),() 1(yfyfyfyf都有对一切正整数可知,111)(2)() 1(,yyyfyyfyfNy时当于是对于一切大于 1 的正整数 t，恒有f(t)t.8（3）由及（1）可知.1)4(, 1)3(ff下面证明当整数.ttft)(,4时()得由, 02)2(, 4ttQ, 0)2() 1()(ttftf即，, 0)5()6(, 0)4()5(ffff同理. 0) 1()(, 0)2() 1(tftftftf将诸不等式相加得.ttftftf)(, 4, 41)4()(综上，满足条件的整数只有 t=1，.2本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1 中的 x、y 取特殊值的技巧，这种赋值法在 2002 年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.例例 1010 已知函数 f（x）在（1，1）上有定义，且满足1)21(fx、y（1，1） 有)1()()(xyyxfyfx