《数学思想在高考解题中的应用(一)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学思想在高考解题中的应用(一)（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1数学思想在高考解题中的应用(一) 一、函数与方程思想 (1)函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并通过函数形式建立函数关系，然 后利用函数有关的知识(定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象、导数)使问题得以解 决函数思想贯穿于高中数学教学的始终，不仅在函数各章的学习，而且在研究方程、不等式、数列、解析几何等 其他内容时也起着十分重要的作用 (2)方程的思想是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用 方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决在实际问题的解决过程中，函数、方程、不等式等常常互相转 化因此，函
2、数与方程的思想是高考考查的重点知识 二、数形结合思想 (1)数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数 形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有 助于把握数学问题的本质，它是数学规律性与灵活性的有机结合 (2)数形结合的思想方法应用广泛，如解方程、不等式问题，求函数的值域、最值问题、三角函数问题，运用数 形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程关问题构造函数、利用函数性质解决有常考查：利用构造函数的方法解决方程根的分布、数列的最值和证明不等式
3、的成立等问题 【例 1】 证明：x3x2x1sin x(x0，xR) 审题视点 可构造函数，利用函数的单调性进行证明根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问 题的关键，本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，使 问题得解，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想 【突破训练 1】 设 f(x)ln x1，证明：x(1)当 x1 时，f(x) (x1)；(2)当 1x3 时，f(x).329x1x5问题利用方程思想构造方程解决有关常考查：以方程的角度来观察、分析问题，运用数学语言将问题中的条件转化为方程模型加以解 决，如有关直
4、线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题 【例 2】 (2012湖南)在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆 E 的一个焦12 点为圆 C：x2y24x20 的圆心(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 的直线 l1，l2.当直线12 l1，l2都与圆 C 相切时，求 P 的坐标 审题视点 (1)将圆的一般方程化为标准方程，然后根据条件列出关于 a，b，c，e 的方程，解方 程(组)即可；(2)设出点 P 的坐标及直线方程，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，构造 一元二次方程，利用根与系数的关系及 P 在椭圆上列出方程组，
5、求解得 P 点的坐标答案 (1) 1. (2) (2,3)或(2，3)或或.x216y212(185，575) (185，575)2直线与圆锥曲线的位置关系中渗透着函数与方程的思想，在解决解析几何问题时常 常用到函数与方程的思想【突破训练 2】 (2012安徽)如图，F1，F2分别是椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点，x2a2y2b2 A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)已知AF1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值3答案 (1) .(2) a10，b5.123利用数形结合讨论方程的根常考查：方程解的个数可
6、构造两个函数，使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题，但 用图象法讨论方程的解，一定要注意图象的精确性、全面性 【例 3】 方程xsin x0 在区间0,2上的实根个数为( )(12) A1 B2 C3 D4审题视点 转化为两函数 yx与 ysin x 图象的交点个数(12) 答案 B 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的 个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不 熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的 交点个数即为方程解的个数 【突破训练 3】设函数
7、 f(x)Error!若 f(4)f(0)，f(2)2，则关于 x 的方程 f(x)x 的解 的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 或求最值利用数形结合求参数参数范围、常考查：在解含有参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致演算过程繁琐冗长如 果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会简练地得到解决 【例 4】 (2012潍坊模拟)不等式|x3|x1|a23a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取 值范围为( ) A(，14，) B(，25，) C1,2 D(，12，) 审题视点 去掉绝对值化为分段函数，画出函数图象找到这个函数的最大值再求解答案 A 本
8、题的知识背景涉及函数、不等式、绝对值“题目中的某些部分都可以使用图形”表 示，在解题时我们就是把这些可以用图形表示的部分用图形表示出来，借助于图形的直观获得了解 决问题的方法，这就是以形助数，是数形结合中的一个主要方面在解答选择题的过程中，可以先根3据题意，做出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，并综合图象的特征得出结论【突破训练 4】 (2012山东)设函数 f(x) ，g(x)ax2bx(a，bR，a0)若 yf(x)的图象1x 与 yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( ) A当 a0 时，x1x20，y1y20 B当
9、a0 时，x1x20，y1y20 C当 a0 时，x1x20，y1y20 D当 a0 时，x1x20，y1y20 答案 B 解答函数试题，很多时候函数图象是隐形的，即在试题中没有出现函数图象，在答题中一般也不 要画出函数图象，但在寻找解题思路时必须借助于函数图象，这就是数形结合思想的深刻体现，而很 多学生常常在解题中对这种隐形的数形结合意识不到，导致解题错误随堂训练 (时间：45 分钟 满分：75 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1(2012北京东城模拟)已知向量 a(3,2)，b(6,1)，而(ab)(ab)，则实数 等于A1 或 2 B2 或 C2 D012 2公差不为零
10、的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4是 a3与 a7的等比中项，S832，则 S10等于 A18 B24 C60 D903(2012临沂模拟)函数 y的图象大致是cos 4x2x4已知集合 A(x，y)|x、y 为实数，且 x2y21，B(x，y)|x，y 为实数，且 xy1， 则 AB 的元素个数为 A0 B1 C2 D3 5若关于 x 的方程 x22kx10 的两根 x1、x2满足1x10x22，则 k 的取值范围是A. B. C. D.(34，0)(34，0(0，34)0，34) 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6(2012合肥模拟)AB 是过椭圆 b2x2a2y2
11、a2b2(ab0)的中心弦，F(c,0)为它的右焦点，则 FAB 面积的最大值是_7长度都为 2 的向量，的夹角为 ，点 C 在以 O 为圆心的劣弧上，mn，OAOB3ABOCOAOB则 mn 的最大值是_8(2012厦门模拟)已知 F 是双曲线1 的左焦点，定点 A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，x24y212 则|PF|PA|的最小值为_ 三、解答题(本题共 3 小题，共 35 分)9(11 分)(2012天津)已知椭圆1(ab0)，点 P在椭圆上x2a2y2b2(55a，22a)4(1)求椭圆的离心率；(2)设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点若点 Q 在椭圆上且满足 |AQ|A
12、O|，求直线 OQ 的斜率的值10(12 分)已知函数 f(x)x3ax2bx. (1)若函数 yf(x)在 x2 处有极值6，求 yf(x)的单调递减区间；(2)若 yf(x)的导数 f(x)对 x1,1都有 f(x)2，求的范围ba111(12 分)已知函数 f(x)2x3pxr，g(x)15x2qln x(p，q，rR) (1)当 r35 时，f(x)和 g(x)在 x1 处有共同的切线，求 p，q 的值； (2)已知函数 h(x)f(x)g(x)在 x1 处取得极大值13，在 xx1和 xx2(x1x2)处取得极小值，求的取值范围x1x2x1x25参考答案：参考答案：1B 2C 3A 4C 5B 6Bc 7 89 9(1) . (2).2 3364510(1) .(2) (，2)1，)11(1) p=48，q=24 (2) .(13，2)(43，)
