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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）（北京卷）本试卷分第本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II（非选择题）两部分，第（非选择题）两部分，第 I 卷卷 1 至至 2 页，第页，第 II 卷卷 3 至至 9 页，共页，共 150 分考试时间分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第第 I 卷（选择题卷（选择题共共 40 分）分）注意事项：注意事项： 1答第答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上卷前，考生务必将自己的
2、姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上皮擦干净后，再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共一、本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项要求的一项1已知，那么角是（ ）costan0g 第一或第二象限角第二或第三象限角 第三或第四象限角第一或第四象限角2函数的反函数的定义域为（ ）( )3 (02
3、)xf xx(0)，(19，(01)，9)，3平面平面的一个充分条件是（ ）存在一条直线aa，存在一条直线aaa，存在两条平行直线ababab，存在两条异面直线abaab，4已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么OABCDBC2OAOBOC 0uu u ruuu ruuu r（ ）AOODuuu ruuu r2AOODuuu ruuu r3AOODuuu ruuu r2AOODuuu ruuu r5记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排 在两端，不同的排法共有（ ） 1440 种960 种720 种480 种6若不等式组表示的平面区域是一个三角
4、形，则的取值范围是（ ）22 0xy xy y xya ， ， ， a或4 3a01a413a01a4 3a7如果正数满足，那么（ ）abcd，4abcd ，且等号成立时的取值唯一abcdabcd， ，且等号成立时的取值唯一abcdabcd， ，且等号成立时的取值不唯一abcdabcd， ，且等号成立时的取值不唯一abcdabcd，8对于函数，判断如( )lg(21)f xx2( )(2)f xx( )cos(2)f xx下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；(2)f x命题乙：在上是减函数，在上是增函数；( )f x() ，(2)，命题丙：在上是增函数(2)( )f xf x() ，能使命题甲
5、、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ） 2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）（北京卷）第第 II 卷（共卷（共 110 分）分）注意事项：注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上922 (1) i10若数列的前项和，则此数列的通项公式为 nan210 (12 3)nSn
6、n nL，；数列中数值最小的项是第项nna11在中，若，则ABC1tan3A 150C o1BC AB 12已知集合，若，则实数的|1Ax xa2540Bx xx AB Ia取值范围是132002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形（如图） 如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于cos214已知函数，分别由下表给出( )f x( )g x则的值为；满足的的值是 (1)f g ( ) ( )f g xg f xx 三、解答题：本大题共三、解答题：
7、本大题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分）数列中，（是常数，） ，且成公比不 na12a 1nnaacnc12 3n L，123aaa，为 的等比数列1 （I）求的值；c（II）求的通项公式 na16 （本小题共 14 分）如图，在中，斜RtAOB 6OAB边可以通过以直线为轴旋转4AB RtAOCRtAOBAO 得到，且二面角是直二面角动点的斜边上BAOCDAB （I）求证：平面平面；COD AOB （II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；DABAOCD（III）求与平面所成角的
8、最大值CDAOB17 （本小题共 14 分）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点ABCD(2 0)M，AB360xy在边所在直线上( 11)T ，AD（I）求边所在直线的方程；AD（II）求矩形外接圆的方程；ABCD（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹P( 2 0)N ，ABCDP方程x123( )f x131x123( )g x321OCADB18 （本小题共 13 分） 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 （以下简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活 动的次数统计如图所示 （I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II
9、）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰 好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E19 （本小题共 13 分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划2rr 将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底AB 的端点在椭圆上，记，梯形面积为CD2CDxS（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；Sx （II）求面积的最大值S20已知集合，其中，由中的元素12(2)kAaaakL，(12)iaikZL，A构成两个相应的集合：，()Sab aAbAabA ，()Tab aAbAabA ，
10、其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和()ab，STmn若对于任意的，总有，则称集合具有性质aAaA AP（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相012 3，12 3 ，PP应的集合和；ST（II）对任何具有性质的集合，证明：；PA(1) 2k kn（III）判断和的大小关系，并证明你的结论mn1231020304050参加人数活动次数4rCDAB2r2007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）答案（北京卷）答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
11、 40 分）分） 123456 78 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）9101112i211n310 2(2 3)，13147 2512三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 80 分）分） 15 （共 13 分）解：（I），12a 22ac323ac因为，成等比数列，1a2a3a所以，2(2)2(23 )cc解得或0c 2c 当时，不符合题意舍去，故0c 123aaa2c （II）当时，由于2n，21aac，322aacL L，1(1)nnaanc所以1(1)12(1)2nn naanccL又，故
12、12a 2c 22(1)2(2 3)nan nnnnL，当时，上式也成立，1n 所以22(12)nannnL，16 （共 14 分） 解法一：（I）由题意，COAOBOAO 是二面角是直二面角，BOCBAOC又二面角是直二面角，QBAOC ，又，COBOAOBOOQI平面，COAOB又平面CO COD 平面平面COD AOB （II）作，垂足为，连结（如图） ，则，DEOBECEDEAO 是异面直线与所成的角CDEAOCD在中，RtCOE2COBO112OEBO225CECOOE又132DEAO在中，RtCDE515tan33CECDEDE异面直线与所成角的大小为AOCD15arctan3（I
13、II）由（I）知，平面，CO AOB是与平面所成的角，且CDOCDAOB2tanOCCDOODOD当最小时，最大，ODCDO这时，垂足为，ODABD3OA OBODABg2 3tan3CDO 与平面所成角的最大值为CDAOB2 3arctan3解法二： （I）同解法一（II）建立空间直角坐标系，如图，则，Oxyz(0 0 0)O ，(0 0 2 3)A ，(2 0 0)C，(013)D ，(0 0 2 3)OAuu u r，( 213)CD uuu r，cosOA CDOACD OA CDuu u r uuu ruu u r uuu rguu u r uuu rg，66 42 3 2 2gOC
14、ADB xyzOCADBE异面直线与所成角的大小为AOCD6arccos4（III）同解法一 17 （共 14 分）解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线AB360xyADAB的斜率为AD3又因为点在直线上，( 11)T ，AD所以边所在直线的方程为AD13(1)yx 320xy（II）由解得点的坐标为，360 32 = 0xy xy ，A(02)，因为矩形两条对角线的交点为ABCD(2 0)M，所以为矩形外接圆的圆心MABCD又22(20)(02)2 2AM 从而矩形外接圆的方程为ABCD22(2)8xy（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，PNPNPM所以，2 2PMPN即2 2PMPN故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支PMN，2 2因为实半轴长，半焦距2a 2c 所以虚半轴长222bca从而动圆的圆心的轨迹方程为P22 1(2)22xyx18 （共 13 分） 解：由图可知，参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40（I
