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1、女子数学奥林匹克 1 目录目录 2002 年女子数学奥林匹克 . 1 2003 年女子数学奥林匹克 . 3 2004 年女子数学奥林匹克 . 5 2005 年女子数学奥林匹克 . 7 2006 年女子数学奥林匹克 . 9 2007 年女子数学奥林匹克 . 11 2008 年女子数学奥林匹克 . 13 2009 年女子数学奥林匹克 . 16 2010 年女子数学奥林匹克 . 19 2011 年女子数学奥林匹克 . 21 2012 年女子数学奥林匹克 . 24 女子数学奥林匹克 1 20022002 年年女子数学奥林匹克女子数学奥林匹克 1. 求出所有的正整数 n，使得20 + 2能整除2003
2、+ 2002. 2. 夏令营有 3n（n 是正整数）位女同学参加，每天都有 3 位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这 3n 位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1） 问：当 n=3 时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论； （2） 求证：n 是奇数. 3. 试求出所有的正整数 k，使得对任意满足不等式 ( + + ) 5(2+ 2+ 2) 4. O1和O2相交于 B、 C 两点， 且 BC 是O1的直径.过点 C 作O1的切线，交O2于另一点 A，连结 AB，交O1于另一点 E，连结CE 并延长，交O2于点 F.设点 H 为线段 AF 内的任意一点，连结HE 并延
3、长，交O1于点 G，连结 BG 并延长，与 AC 的延长线交于点 D.求证：=. 5. 设1，2，( 2)是1，2，的任意一个排列.求证： 11+2+12+3+ +12+1+11+1+2. 6. 求所有的正整数对(,)，满足= . 7. 锐角ABC 的三条高分别为 AD、BE、CF.求证：DEF 的周长不超过ABC 周长的一半. 8. 设1，2，8是平面上任意取定的 8 个点， 对平面上任意取定的一条有向直线 l，设1，2，8在该直线上的摄影分别是女子数学奥林匹克 2 1，2，8.如果这 8 个射影两两不重合， 以直线 l 的方向依次排列为1，2，8，这样，就得到了 1,2，8 的一个排列1，
4、2，8（在图 1 中，此排列为 2,1,8,3,7,4,6,5）.设这 8 个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为8= (1,2,8)，试求 N8的最大值. 图 1 lP5P6P4P7P3P8P1P2A2 A1A8A3 A7A4A6 A5女子数学奥林匹克 3 20032003 年女子数学奥林匹克年女子数学奥林匹克 1. 已知D是ABC的边AB上的任意一点， E是边AC上的任意一点，连结 DE，F 是线段 DE 上的任意一点.设= ，= ，= .证明： （1） S= (1 )，S= (1 )(1 ); （2） S3+ S3 3. 2. 某班有 47 个学生，所用教室有 6 排，
5、每排有 8 个座位，用(,)表示位于第 i 排第 j 列的座位.新学期准备调整座位， 设某学生原来的座位为(,)，如果调整后的座位为(,)，则称该生作了移动, = , ，并称 a+b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为 S.求 S 的最大可能值与最小可能值之差. 3. 如图 1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径， ，AC与 BD 的交点为 E， F 在 DA 的延长线上.连结 BF， G 在 BA 的延长线上， 使得， H 在 GF 的延长线上， .证明： B、 E、F、H 四点共圆. 图 1 HGDBCAEF女子数学奥林匹克 4 4. （1）证明：存在和为 1 的 5 个非负
6、实数 a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19； （2）证明：对于和为 1 的任意玩个非负实数 a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19. 5. 数列定义如下： 1= 2，+1= 2 + 1， = 1,2,.证明：1 12003200390. 8. 对于任意正整数 n，记 n 的所有正约数组成的集合为 Sn.证明：Sn中至多有一半元素的个位数为 3. 女子数学奥林匹克 5 20042004 年女子数学奥林匹克年女子数学奥林匹克 1. 如 果 存 在 1，2， 的 一 个 排 列 1，2， 使 得 + ( =
7、 1,2,)都是完全平方数，则称 n 为“好数”.问：在集合11,13,15,17,19中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由. （苏 淳 供题） 2. 设 a、b、c 为正实数.求+3+2+4+28+3的最小值. （李胜宏 供题） 3. 已知钝角ABC的外接圆半径为1.证明： 存在一个斜边长为2 + 1的等腰直角三角形覆盖ABC. （冷岗松 供题） 4. 一副三色纸牌，共有 32 张，其中红黄蓝每种颜色的牌各 10 张，编号分别是1，2，10；另有大小王牌各一张，编号均为 0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为 k 的牌记为2分.若它们的分值之和为 2004，
8、则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数. （陶平生 供题） 5. 设 u、v、w 为正实数，满足条件 + + 1.试求 + + 的最小值. （陈永高 供题） 6. 给定锐角ABC， 点O 为其外心， 直线 AO 交边 BC于点 D.动点 E、F 分别位于边 AB、AC 上，使得 A、E、D、F 四点共圆.求证：线段女子数学奥林匹克 6 EF 在边 BC 上的投影的长度为定值. （熊 斌 供题） 7. 已知 p、q 为互质的正整数，n 为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为 + 的形式，其中 i，j 为非负整数，且 + . （李伟固 供题） 8. 将一个3 3的正方形的四个角上各
9、去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10 11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形” （每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格） ？ （冯祖明 供题） 女子数学奥林匹克 7 20052005 年女子数学奥林匹克年女子数学奥林匹克 1. 如图 1，点 P 在ABC 的外接圆上，直线 CP、AB 相交于点 E，直线 BP、AC 相交于点 F，边 AC 的垂直平分线与边 AB 相交于点 J，边AB 的垂直平分线与边 AC 相交于点 K.求证：22=. 图 1 （叶中豪 供题） 2. 求方程组 5 +1 = 12 +1 = 13( +1) + + = 1, 的所有实数解.
10、（朱华伟 供题） 3. 是否存在这样的凸多面体，它共有 8 个顶点、12 条棱和 6 个面，并且其中有 4 个面，每两个面都有公共棱？ （苏 淳 供题） 4. 求出所有的正实数 a，使得存在正整数 n 及 n 个互不相交的无限整数集合1，2，满足1 2 = ， 而且对于每个中的任意两数b c，都有 . KJFEABCP女子数学奥林匹克 8 （袁汉辉 供题） 5. 设正实数 x、y 满足3+ 3= .求证： 2+ 42 2 ， = 1，2， ， =1，2，是 S 的一个子集.已知 T 中的任两个数都不能同时整除 S 中的任何一个数.求证： 11+12+ +1 0)，将长为 a、宽为 b 的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长? （陈永高 供题） 女子数学奥林匹克 9 20062006 年女子数学奥林匹克年女子数学奥林匹克 1. 设 a0， 函数:(0， + ) R满足() = 1.如果对任意正实数 x、y，有()() + = 2()，求证：()为常数. （朱华伟 供题） 2. 设凸四边形 ABCD 的对角线交于点 O.OAD、O
