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1、专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 1北京博飞华侨港澳台联招北京博飞华侨港澳台联招 网址：网址：http:/ 港澳台联考必考知识点 港澳台联考必考知识点 多项式的除法及性质多项式的除法及性质 1 一元多项式概念及系数 定义 1 设n是一非负整数，形如1 10nn nna xaxa +?，称为一元多项式，其中01,na aa?为任意实常数。 在多项式中，i ia x 称为i次项，ia 称为i次项的系数。如果0na ，那么n na x 称为多项式的首项，na
2、称为首项系数，n称为多项式的次数。以后我们用( )( ),f xg x ?或, f g?等表示多项式。 定义 2 如果在多项式( )f x与( )g x中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么( )f x与( )g x就称为相等，记为( )( )f xg x=。其中，系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0。 （了解）（了解）若( )1 10nn nnf xa xaxa =+?，则（1）常数项( )00af=； （2）各项系数和=011) 1 (aaaafnn+=?； （3）偶次项系数和=2) 1() 1 (+ ff； （4）奇次项系数和=2) 1() 1 ( ff。 例 1：设53)
3、(23+=xxxxg,求(1)常数项=?(2)(xg的各项系数和=?(3)偶次项系数和=? (4)奇次项系数和=? 例 2：设()991015194522)(+=xxxxf之展开式中,求(1)(xf的各项系数和=? (2)偶次项系数和=? (3)奇次项系数和=? 2 多项式的加减乘 两个多项式可以相加、想减、相乘。例如， () ()232321221,xxxxxx+=+ ()()2243224322112221221.xxxxxxxxxxxx+=+ =+ 显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形。多项式的加、减、乘实际上是对应系专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中
4、心 13811901826 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 2数的加、减、乘。 和数的运算一样，多项式的运算也满足下面的一些规律。 1. 加法交换律：( )( )( )( ).f xg xg xf x+=+ 2. 加法结合律：( )( )()( )( )( )( )().f xg xh xf xg xh x+=+ 3. 乘法交换律：( ) ( )( )( ).f x g xg x f x= 4. 乘法结合律：( ) ( )()( )( )( ) ( )().f x g xh xf xg x h x= 5. 乘法对加法的分配律：( )(
5、)( )()( ) ( )( ) ( ).f xg xh xf x g xf x h x+=+ 6. 乘法消去律：如果( ) ( )( ) ( ).f x g xf x h x=且( )0,f x 那么( )( ).g xh x= 总之，多项式的加减乘遵循如下两个原则： （1） 多项式的加减法原则：将同类多项式对应的系数相加减； （2） 多项式的乘法原则：分配律，指数律（mnm nxxx+=i） 。 例：设()()123)(32+=xxxxxg之展开式中(1)2x项系数=?(2)常数项=? (3)首项系数=?(4)(xg各项系数和=? 例：2332762)(;6874)(xxxxgxxxxf+
6、=+=试求(1)?)()(=+xgxf (2)?)()(=xgxf (3) ?)()(deg(=+xgxf (4)?)()(deg(=xgxf （deg 指最高次数） 3 多项式的除法（重点）（重点） 多项式的除法类似于整数的除法，故可以将熟悉的整数除法概念迁移到多项式除法。 （1） 原则：1降序排列；2缺项补零。 例：1() ()322345631xxxxx+；2() ()422351xxxx+。 （2） 带余除法： 对任意两个多项式( )f x与( )g x， 其中( )0g x ， 则一定存在多项式( )( ),q xr x使( )( )( )( )f xq x g xr x=+i，且(
7、 )( ),q xr x唯一；称( )q x为( )g x除( )f x的商，( )r x为( )g x除专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 3( )f x的余式。被除式( )f x，除式( )g x，商式( )q x，余式( )r x。 形式：( )( )( )( )f xq x g xr x=+i 或 ( ) ( )( )( ) ( )f xr xq xg xg x=+。 例：求( )321g xxxx=除( )432341f xxxxx=+的商式与余
8、式。 练习：计算下列各式 (1)() ()?27223=+xxxx (2)()()?12553223=+xxxx (3)()()?363=+xxx 4 整除 如果存在( )h x使( )( ) ( )f xg x h x=成立，则称( )g x整除( )f x，记作( )( )g xf x。 性质： （1）( )( )( )0g xf xr x=余式为零； （2）( )( )g xf x且( )( )f x g x( )( )f xcg x=； （3）若( )( )f x g x，( ) ( )g x h x，则( ) ( )f x h x； （整除的传递性） （4）若( )( )f x g
9、x，则( )( ) ( )f x g x h x； （5）若( )( )()1,2,if x gxir=?，则( )( )( )( )( )()11rrf xux gxux gx+?。 5 余式定理（重点）（重点） （1）若( )( )( )( )f xq x g xr x=+i，且( )0g a =，则( )( )f ar a=； 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 4例：()223xx除( )f x的余式是()21x，求( )3f与()1f 。 （2）
10、( ) ()f xxa的余式为( )f a，( ) ()f xaxb的余式为bfa； 例：求()()20851xxx+的余式; （3）若( )g x除( )1fx的余式是( )1r x，( )g x除( )2fx的余式是( )2rx，则( )g x除( )( )()12fxfx的余式是( )( )()12r xrx； 例：若()21x +除( )1fx的余式是21x，()21x +除( )2fx的余式是2x+，求()21x +除( )( )()12fxfx的余式，求()21x +除( )( )()122 fxfx+的余式，求()21x +除( )( )()12xfxfx+的余式。 （4） 若(
11、 )g x除( )f x的余式是( )r x，且( )h x整除( )g x（即( )h x是( )g x的因子） ，则( )h x除( )f x的余式为( )h x除( )r x的余式。 例：若()22xx除( )f x的余式是21x，求()2x除( )f x的余式，求()1x+除( )f x的余式。 例：若()256xx除( )f x的余式是21x，求( )6f与()1f 。 例： 若()256xx除( )f x与( )g x的余式分别是21x与3x， 求()6x与()1x+除( )( )()f xg x的余式，求()1x+除( )( )()32f xg x的余式，求()1x+除( )(
12、)()xf xg x的余式。 练习：(1)bxaxxxf+=233)(以()1x除之余-3；以()2x除之余 13，则 a=? b=? (2)2)(2+=bxaxxf,以()1x除之余 3；以()2+x除之余-5，则)(xf以()1+x除之余式为何? 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 5特例：欲求) 1(nx除)(xf之余式： (1)以1=nx代入)(xf 即得) 1(nx除)(xf之余式。 (2)以1=nx代入)(xf 即得) 1(+nx除)(xf之余
13、式。 1.34)(1020+=xxxxf除以()12x之余式。 2.12)(2+=axxxf以()32 x除时,余式为 3,则)(xf以()1x除时,余式为何? 3. 设多项式()mxx+42除以()2+x的余式为 3,则 m=? 6 因式定理（重点） 6 因式定理（重点） （1）()( )( )0xaf xf a=； （2）()( )0baxbf xfa=； （3）()()( )( )( )00xaxbf xf af b=且 例：已知mxxxxf+=232)(能被()2x整除,则m=? 练习：(1)643)(23+=axxxxf能被()1+x整除,则a=? (2)()2x能整除mxx233,
14、则m=? (3)()ax 能整除22+ xx,则a=? (4)设()(29423xqxmxxx=+,则m=? 5. 一次因式检验法（牛顿定理） （了解）（了解） 设f (x) = anxn + an 1xn 1 + + a1x + a0为一整系数n次多项式， 若整系数一次因式px q是f (x)的因式，其中(p, q) = 1，则p | an，且q | a0。 1. 下列何者为f (x) = 2x5 + 5x4 6x3 7x2 + 9x 18的因式？ (A) x 1 (B) x + 2 (C) x 3 (D) 2x 3 (E) 2x + 1 2. 求6x4 + 5x3 + 3x2 3x 2 = 0的有理根为_ 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 专业、专注、专心，做最优秀的港澳台联考补习班 京博飞教育中心 13811901826 6解：利用一次因式检验法可求得的有理根为32与21 6. 实系数的n次方根： （了解）（了解） 设f (x) = 0为实系数n次方程式，若复数z为f (x) = 0的根，则z也是f (x) = 0的根。 例：若f (x) = x4 8x3 + 25x2
