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1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理工农医类）数学（理工农医类）一- 选择题（每小题 5 分，共 60 分） （1）已知集合 M=x|30,V=ST(B) A0, V=S+T w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （D）A0, V=S+T 【解析】月总收入为 S,因此 A0 时归入 S,判断框内填 A0支出 T 为负数,因此月盈利 VST 【答案】C（11）正六棱锥 PABCDEF 中，G 为 PB 的中点，则三棱锥 DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之 比为 （A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2 【解析】
2、由于 G 是 PB 的中点,故 PGAC 的体积等于 BGAC 的体积在底面正六边形 ABCDER 中BHABtan30AB3 3而 BDAB3故 DH2BH于是 VDGAC2VBGAC2VPGAC 【答案】C（12）若满足 2x+=5, 满足 2x+2(x1)=5, +1x2x2x2log1x2x（A） (B)3 (C) (D)45 27 2【解析】由题意 1 1225xx 22222log (1)5xx所以,1 1252xx121log (52 )xx即 21212log (52 )xx令 2x172t,代入上式得 72t2log2(2t2)22log2(t1)52t2log2(t1)与式
3、比较得 tx2于是 2x172x2ABCDEF H【答案】C （13）某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为 1：2：1， 用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件 作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿 命的平均值分别为 980h，1020h，1032h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为 h.【解析】1013980 1+1020 2+1032 1 4x【答案】1013（14）等差数列的前项和为，且则 nannS53655,SS4a 【解析】Snna1n(n1)d1 2S5
4、5a110d,S33a13d6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4【答案】31（15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为 m） 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则该几何体的体积为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3m【解析】这是一个三棱锥,高为 2,底面三角形一边为 4,这边上的高为 3,体积等于24341 6【答案】4（16）以知 F 是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则22 1412xy(1,4),AP的最小值为 。PFPA【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F(4,0),于是由双曲线性质|P
5、F|PF|2a4而|PA|PF|AF|5两式相加得|PF|PA|9,当且仅当 A、P、F三点共线时等号成立. 【答案】9 （17） （本小题满分 12 分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角075030均为，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距060离（计算结果精确到 0.01km，1.414，2.449）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 6 (17)解:在ABC 中，DAC=30,
6、 ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA， 5 分在ABC 中，,ABCsinC BCAsinAAB即 AB=,20623 15sinACsin60oo因此，BD=。km33. 020623故 B，D 的距离约为 0.33km。 12 分（18） （本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点 。 （I）若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦； （II）用反证法证明：直线 M
7、E 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （18） （I）解法一：取 CD 的中点 G，连接 MG，NG。设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2， 则 MGCD，MG=2，NG=.2因为平面 ABCD平面 DCED，所以 MG平面 DCEF，可得MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角。因为 MN=，所以 sinMNG=为 MN 与平面636DCEF 所成角的正弦值 6 分解法二：设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点，分别以射线 DC，DF，DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则 M（1,0,2）,N(0,1,0)
8、,可得=(1,1,2). MN又=（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量，DA可得 cos(,)= MNDA36|DAMNDAMN所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos 6 分36,DAMN()假设直线 ME 与 BN 共面， 8 分则 AB平面 MBEN，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN由已知，两正方形不共面，故 AB平面 DCEF。又 AB/CD，所以 AB/平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN。又 AB/CD/EF，所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是
9、异面直线. 12 分（19） （本小题满分 12 分） 某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、 三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。 （）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列； （）若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ， 求 P（A）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）解：1 3（）依题意 X 的分列为6 分（）设 A1表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2.B1表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分”
10、 ，i=1，2.依题意知 P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，,11111122AA BA BA BA B所求的概率为11111122( )()()()P AP A BP A BP A BP A B（）11111122()() () ()() ()P A BP A P BP A P BP A P B（12 分0.1 0.90.9 0.1 0.1 0.1 0.3 0.30.28（20） （本小题满分 12 分）已知，椭圆 C 过点 A，两个焦点为（1，0） ， （1，0） 。3(1, )2 （1）求椭圆 C 的方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）E,F
11、 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。（20）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）2219114bb23b 23 4b 所以椭圆方程为。 4 分22 143xy（）设直线 AE 方程为：，代入得3(1)2yk x22 143xy2223(34)4 (32 )4()1202kxkk xk设,因为点在椭圆上，所以(x ,y )EEE(x ,y )FFF3(1, )2A2234()122x34Fkk 8 分3 2EEykxk又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以K 代 K，可得
12、2234()122x34Fkk 3 2EEykxk 所以直线 EF 的斜率()21 2FEFE EF FEFEyyk xxkKxxxx即直线 EF 的斜率为定值，其值为。 12 分1 2 （21） （本小题满分 12 分）已知函数 f(x)=x ax+(a1)，。212ln x1a （1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( )f x（2）证明：若，则对任意 x ，x，xx ，有。5a 12 (0,)121212()()1f xf x xx (21)解：(1)的定义域为。( )f x(0,)2 分2 11(1)(1)( )axaxaxxafxxaxxx （i）若即,则1
13、1a 2a 2 (1)( )xfxx故在单调增加。( )f x(0,)(ii)若,而,故,则当时，;1 1a 1a 12a(1,1)xa( )0fx 当及时，(0,1)xa(1,)x( )0fx 故在单调减少，在单调增加。( )f x(1,1)a(0,1),(1,)a(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.11a 2a ( )f x(1,1)a(0,1),(1,)a(II)考虑函数 ( )( )g xf xx21(1)ln2xaxaxx则211( )(1)2(1)1 (1 1)aag xxaxaaxx g由于 1a5,故，即 g(x)在(4, +)单调增加，从而当时有( )0g x120xx，即，故，当12()()0g xg x1212()()0f xf xxx1212()()1f xf x xx 时，有12 分120xx12211221()()()()1f xf xf xf x xxxx 请考生在第（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （22） （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明讲w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 已知 ABC 中，AB=AC,
