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1、浅淡赋值法在抽象函数中的应用浅淡赋值法在抽象函数中的应用我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接 求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数 式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。一、判断函数的奇偶性一、判断函数的奇偶性例例 1. 若对于任意实数 x，y 均成立，且 f(x)不恒为 0，请判断f xyf xf y()( )( ) 函数 f(x)的奇偶性。解：令则有，故有xy 0，fff( )( )( )000f ( )00令，则有，故有，又因为不恒为yx ff xfx( )( )()0 fxf x()(
2、) f x( ) 0，所以函数 f(x)是奇函数。例例 2. 已知函数为非零函数，若有，试判断函数f x xR( )()f xyf xf y()( )( )的奇偶性。f x( )解：令，则有，故有xy 11，fff()( )()111f ( ) 10令，则有，故有xy 1fff( )()()111f ()10令，则有，且为非零函数，所以函数y 1fxf xff x()( )()( )1f x( )是偶函数。f x( )二、判断函数的单调性二、判断函数的单调性例例 3. 函数，当时，且对任何实数 x，y 恒有f x xR( )()x 001f x( )，试判断函数的单调性。f xyf x f y
3、()( ) ( )f x( )解：令，则有，故有xy 0ff( )( )002ff( )( )0001或又有fffff( )( ) ( )( )( )10101001，而 ，所以当时，当时，故有，而x 001f x( )x 0x001fx()，故有。f x fxf( ) ()( )01f xfx( )()110又当 x0 时，故对于任何，有。f ( )010xRf x( ) 0令， xxxxf xx122121001，则有，故()故f xf xxxf xf xxf x()()()()()21211211所以函数是减函数。f x( )三、判断函数的周期性三、判断函数的周期性例例 4. 函数，对任
4、何实数 a、b 恒有，f x xR( )()f abf abf a f b()()( ) ( ) 2且存在常数，使，求证：为周期函数。c 0fc( )20f x( )证明：令，axcbc22，则f abf abf xcf xf xcfc()()()( )()( )2220即f xcf x()( ) 又f xcfxccf xcf x()()()( ) 2所以函数是周期函数，最小正周期为 2c。f x( )四、求函数的解析式四、求函数的解析式例 5. 设 x0，函数满足，求函数的解析式。f x( )2110f xfxx( )( )f x( )解：由题意知2110f xfxx( )( )用 x 换代
5、入上式得：1 x21101 fxf xx( )( )则2得：3210101 f xxx( ) 所以f xxx( ) 2 3101 3101 五、求函数的值域五、求函数的值域例 6. 函数为增函数，且满足，求函数的值f x xR( )()*f xyf xf y()( )( )f x( ) 域。解：令，则有。xy 1ffff( )( )( )( )11110，故有当时，不妨令，012xxxkx k211()则有f xf xf kxf x()()()()2111 f kf xf x f kf( )()() ( )( )11 10故当。xf x10时，有 ( )当时，有021xxxkxk2101()有f xf xf kf()()( )( )1210故当时，有01xf x( ) 0所以当时函数的值域为 R。xR*f x( )练一练练一练若对常数 m 和实数，等式恒成立，求证：函数是周xRf xmf x f x()( ) ( ) 1 1f x( )期函数。提示：，f xmfxmmf xm f xm()()() () 21 1 1 f x( )。f xmf xmf x()()( ) 41 2
