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1、“数形结合数形结合“天地宽天地宽作者:金湖县实验小学 吴汝萍 录入时间:2008-11-12 阅读次数:706 数形结合，是指在研究数学问题时，把问题的数量关系和空间形式结合起来，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，由数思形，以形思数，使某些抽象的数学问题直观化、生动化、简单化，变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。所以，数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，尤其在小学数学中，使用数形结合的方法，能够使很多复杂的数学问题迎刃而解，且解法简捷。例 1：甲、乙两人从两地相向而行，经过 6 小时相遇于 A 点，如果两人回到原来的出发地，甲速度不变，乙每小时加快 5 千米，在
2、距离 A 点 12 千米处相遇。如果两人再回到原地，乙速度不变，甲每小时加快 5 千米，在距离 A 点 16 千米处相遇?甲、乙原来的速度分别是多少?分析与解：这道题条件变化多，数量关系复杂，从字面上很难理顺数量间的关系。如果画出线段图，思路就豁然开朗了。从图 1 可以很清楚地看出：第二次与第一次比较，甲速度不变，乙每小时加快 5 千米，结果在距离 A 点 12 千米的 B 点处相遇；第二次与第一次比较，乙速度不变，甲每小时加快5 千米，在距离 A 点 16 千米的 C 点处相遇。第三次与第二次比较，甲、乙两人的速度和没有变，所以从出发到相遇时所用的时间不会变。在同样的时间里，甲第三次比第二次
3、每小时多行 5 千米，共多行了 12+16=28 千米，所以从出发到相遇所用的时间是 285=5.6 小时。第一次与第二次相比，甲的速度没有 变，甲第一次比第二次多行了 12 千米，多用了 6-5.6=0.4 小时，所以，甲原来的速度是120.4=30 千米/小时。同样，第三次与第一次比，乙的速度没有变，乙第一次比第三次多行了 16 千米，也多用了 0.4 小时，所以乙原来的速度是 160.4=40 千米/小时。例 2：体育课上，60 名同学面对体育教练，学号分别是 160 号。教练说：“学号是 3的倍数的同学向后转。同学们按要求转好后，教练说：“学号是 4 的倍数的同学向后转。”之后，教练又
4、说：“学号是 5 的倍数的同学向后转。”三声口令过后，面对教练的有多少人?分析与解：转 1 次和转 3 次的同学是背对教练的，只要从总人数中去掉背对教练的人数，就是面对教练的人数。教练的三声口令后，60 名同学中，有的转了 1 次，有的转了 2 次，有的转了 3 次，也有的 1 次也没有转。情况比较复杂，如果借助韦恩集合图，则可以化繁为简。学号是 3 的倍数的有 603=20 人，学号是 4 的倍数的有 604=15 人；学号是 5 的倍数的有 605=12 人。转 3 次的同学的学号一定是 3、4、5 的公倍数，60(345)=1，因而转 3 次的只有1 人。转 2 次以上的同学，学号一定是
5、 3 和 4 的公倍数或 3 和 5 的公倍数或 4 和 5 的公倍数。学号是 3 和 4 的公倍数的有 60(34)=5 人；学号是 3 和 5 的公倍数的有 60(35)=4 人；学号是 4 和 5 的公倍数的有 60(45)=3 人。这样，可以很快得到只转 2 次的人数：5-1=4(人)，4-1=3(人)，3-1=2(人)，如图 2。这样，就能很容易算出只转 1 次的人数。那么转 1 次和 3 次的总人数为 12+8+6+1=27 人。所以面对教练的同学有 60-27=33 人。例 3：王红从家里步行到火车站，若每小时多行 0.5 千米，所用时间是原定时间的5/6；若每小时少行 0.5
6、千米，则比原定时间晚到 1/4 小时。王红家到火车站是多少千米? 分析与解：如图 3，把长方形的长 AB 看成是王红从家里步行到火车站计划的时间，宽AD 看成是王红从家里步行到火车站计划的速度，那么长方形 ABCD 的面积就是王红家到车站的路程。先根据“王红从家里步行到火车站，若每小时多行 0.5 千米，所用时间是原定时间的5/6”这个条件画出图 4。因为从家到车站的路程相同，所以长方形 ABCD 和长方形 A1B1ClD1的面积相等，因而图中两个阴影长方形的面积相等。每小时多行 0.5 千米，则时间减少了原定时间的15/6=1/6。长方形 A1AEBl的面积是：0.55/6 所以 BC 的长是：055/61/6=2.5，也就是王红从家里步行到火车站的原定速度是 2.5 千米小时。同理，根据“若每小时少行 05 千米，则比原定时间晚到 1/4 小时”这个条件可以推算出 AB 的长是：(2.5-0.5)1/4=1，也就是王红从家里步行到火车站的原定时间是 l 小时。所以，王红家到车站的路程是 2.51=2.5 千米。“一图抵百语”，数形结合抓住了数与形之间的联系，以“形的直观表达数，以“数”的精确研究形，可以帮助我们直观地理解某些数量间的关系，有利于记忆和思考、我们在引导学生解决数学问题时，要根据具体问题多引导学生用数形结合的思想方法进行解题，让学生养成画图思考的习惯。
