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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1已知（x+i）(l- i)=y,则实数 x,y 分别为 Ax=-1 y=1 B.x=-1,y=2 Cx=1 y=1 D. x=1,y=22若集合 A=A-1 x1 B. 0|x|xxC D.|x01x3.不等式的解集是22|xx xxA （0，2） B. （-，0） C （2，+） D. （-，0）（0，+）4(1+ +)=lim x1 321 3x1 3A.5/3 B.3/
2、2 C. 2D.不存在 5.等比数列| an |中 a1 = 2，ax = 4,函数 f（x）=x(x - a1)(x a2 )(x - ax),责 fx(0)= A. 26 B.29 C .212 D. 2156.(2- x )8 展开始终不含 x4想的系数的和为A.-1 B.0 C. 1 D.27E，F 是等腰直角斜边 AB 上的三等分点，则 tanECF=ABCVA B C D 26 272 33 33 48直线 y=kx+3 与圆+= 4 相交于 M , N 两点，若2,则 k 的取23x22yMN3值范围是A B C D3,043,4 0,33,33 2,039给出下列三个命题：函数
3、 y =ln与 y =ln tan是同一函数；1 21 cos 1 cosx x 2x若函数 y = f(x)与 y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称，则函数 y =f (2x)与 y =g(x)1 2 的图像也相关于直线 y = x 对称；若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)= f(2-x)，则 f(x)为周期函数，期中真命题是 A B C D10.过正方体顶点做直线，使与棱所成的角都相等，1111ABCDABC DA1ll1AB1AD1AA这样的直线 可以作lA.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了
4、一枚劣币，国王怀疑大臣作弊， 他用两种方法来检测。方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚：方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为和，则1p2pA.= B. C. D.以上三种情况都1p2p1p2p1p2p有可能 12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角t星露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大致为 ( )( (0)0)S t S,( )yS t二填空题；本大题共二填空题；本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分，请把答案填在答题卡上。分，请把答案填在答题卡上。13.已知向量，满足=1
5、, =2，则与的夹角为 60,则 -=arbrau u r bu u r arbrarbr14.将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同 场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答） 。15.点 A在双曲线=1 的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于，则=0,x0y24x232y02x0x16.如图，在三棱锥中，三条棱,两OABCOA OB OC 两垂直，且,分别经过三条棱,OAOBOCOA OB作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为,OC1S,则2S3S,的大小关系为 1S2S3S三解答题：本小题共三解答题：本小题共 6 小题，共小题，共
6、 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分）已知函数=，( )f x2(1 cos )sinsin()sin()44xxmxx（1）当时，求在区间上的取值范围;0m ( )f x3,34 （2）当=2 时，=，求的值。tanaa3 5m18 （本小题满分 12 分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要进入一扇智能门，首次到达此门，系统会随机 （即等可能）为你打开一个通道，若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号,3 号通 道，则分别需要 2 小时，3 小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会
7、随即打开一个你 为到过的通道，直至走出迷宫为止，令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列;（2）求的数学期望19 （本小题满分 12 分）设函数( )lnln(2)(f xxxax a （1）当 a=1 时，求的单调区间。( )f x（2）若在，0，1 上的最大值为，求 a 的值。( )f x1220、 （本小题满分 12 分）如图，与都是边长为 2 的正三角形，平面平面，BCDVMCDVMCDBCD，2 3AB （1）求点 A 到平面的距离；MBC （2）求平面与平面所成二面角的正弦值。ACMBCD21、 （本小题满分 12 分）设椭圆，抛物线。22122:1(0)xyCabab22 2:
8、Cxbyb（1）若经过的两个焦点，求的离心率；2C1C1C（2）设，又 M、N 为与不在 y 轴上的两个交点，若的垂5(0, ),(3 3,)4Ab Q1C2CAMNV心为，且的重心在，求椭圆和抛物线的方程。3(0,)4BbQMNV2C1C2C22、 （本小题满分 14 分） 证明以下命题：（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；, ()b c bc222,a b c（2）存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数V,nnna b c222,nnna b c列。参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1.D 2.C 3. A 4. B 5.
9、C 6. B 7.D 8.A 9.C 10.D 11.B 12.A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分13. 14. 1080 15. 2 16. 3123ssspp三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 17.（本小题满分 12 分）解：（1）当0m 时,21121( )sinsin cos(sin2cos2 )sin(2)22242f xxxxxxx又由352,20,sin(2),1 .844442xxx 得所以从而2112( )sin(2)0,.2422f xx （2）21 cos2111( )sinsin coscos2sin2cos2sin2(1)co
10、s2222222mxmf xxxxxxxxmx由得，tan2a 222cos2tan4 cos1tan5aaa aaa2si n2a=si n,所以，得22222cossin1tan3 cos1tan5aaa aaa 2cos2a=si n31 431(1)52 552m2m 18（本小题满分 12 分）解：（1）的所有可能取值为：1，3，4，6,，所以的分布列为：1(1)3P1(3)6P1(4)6P1(6)3P（2）（小时）11117134636632E 19.（本小题满分 12 分）解：函数的定义域为，1( )fxx1 2ax（1）当=1 时，所以的单调递增区间为（0，） ，单调递a22(
11、 )(2)xfxxx( )f x2减区间为;( 2,2)（2）当时，即在上单调递，(0,1x(0,1)x22( )(2)xfxaxx ( )f x(0,1x故在上的最大值为，因此( )f x(0,1(1)fa1a=220.(本小题满分 12 分)解法一：（1）去 CD 中点 O。连接 OM,则 OB=OM=,OBCD,MOCD,有平面 MCD3平面 BCD,则 MO平面 BCD,所以 MO AB,MO 平面 ABC,M,O 到平面 ABC 的距离相PP等。作 OHBC 于 H，练 MH,则 MH BC.求得：OH=OC= 0sin603 2MH=22( 3)( 3)215 2设点 A 到平面
12、MBC 的距离为 d，由 VM-ABC=VM-ABC得SMBC d=SMBCOH.1 3V1 3V即2d=2 21 31 23 21 31 2 3 3 2解得 d=2 15 5（2）延长 AM,BO 相交于 E,练 CE,DE,EC 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线。 有（1）知。O 是 BE 的中点，则四边形 BCED 是菱形。 作 BFEC 于 F,连 AFEC,AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角，设为 a。因为 BCE=1200,所以BCF=600.BF=2=.sin603tan=2,sin=。AB BC2 5 5解法二：取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB CD,
13、OM CD,有平面 MCD 平面 BCD,则 MO 平面 BCD,取 O 为原点，直线 OC,BO,OM为 x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系如图。OB=OM=,则个点坐标分别为 C(1,0,0),3M(0,0，)，B(0,-,0),A(0,-,2).3333(1)设=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量，则nr=(1,0), =(0, ,)BCuuu r3BCsuu r33由得 x+y=0；nrBCsuu r3由得y+z=0。nrBMsuu u r33取=（，-1，1）=（0,0，2） ，则nr3ABsuu r3d=|ABn nsuu rr r2 3 52 15 5（2）=(-1,0,),
14、 =(-1,-,2).CBuu u r3CAuu u r33设平面 ACM 的法向量为=（x，y，z） ，由 ，得1nu r1nu rCMuuu u r1nu rCAuu u r3 0 32 30x xyz 解得 x=z，y=z，取=（，1,1）31nu r3又平面 BCD 的法向量为=（0,0,1）2nr所以 cos= =.1nu r2nr11|n nu r u r22nnu u ru u r1 5设所求二面角为。则 sin=2 5 521、 （本小题满分 12 分） 解：（1）因为抛物线经过椭圆的两个焦点，可得，由2C1C12(,0),( ,0)FcF c22cb，有，所以椭圆的离心率。22222abcc221 2c a1C2 2e （2）由题设可知关于 y 轴对称，设，则由的,M N111,11(,),(),(0)Mx yN x yxAMNV垂心为 B，有,0BM AN uuu u r uuu rg所以
