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1、- 1 -解析几何习题解析几何习题一、选择题一、选择题(本大题共 12 个小题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 平面上有两个定点 A、B 及动点 P,命题甲:“|PA|PB|是定值”,命题乙“点 P 的轨迹是 以 A、B 为焦点的双曲线”,则甲是乙的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2. 如果双曲线经过点(6,),且它的两条渐近线方程是 y x,那么双曲线方程是( )313A.1 B.1 C.y21 D.1x236y29x281y29x29x218y23 3. 点(a,b)关于直线 xy10 的对称点是( ) A(a1,b1)
2、 B(b1,a1) C(a,b) D(b,a) 4. 直线 l 经过点 A(1,2),在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3),则其斜率的取值范围是( )A1k Bk1 或 k Ck 或 k1 Dk 或 k1151215125. 椭圆1 的离心率为 ,则 k 的值为( )x29y24k45A21 B21 C或 21 D.或 21192519256. 已知ABC 的顶点 B,C 在椭圆y21 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另x23 外一个焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是( ) A2 B6 C4 D12337. 已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2y26x50 相
3、切,且x2a2y2b2 双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 ( )A.1 B.1 C.1 D.1x25y24x24y25x23y26x26y23 8. 设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近 线垂直,那么此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.23312512 9. 若不论 k 为何值,直线 yk(x2)b 与曲线 x2y21 总有公共点,则 b 的取值范围是( )A(,) B, C(2,2) D2,2333310. 已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准 线的距离之
4、和的最小值为( )A. B3 C. D.17259211. 已知 F(c,0)是椭圆1(ab0)的一个焦点,F 与椭圆上点的距离的最大值为 m,x2a2y2b2- 2 -最小值为 n,则椭圆上与点 F 的距离为的点是( )mn2A(c,) B(c, ) C(0,b) D不存在b2aba12. A(x1,y1),B,C(x2,y2)为椭圆1 上三点,若 F(0,4)与三点 A、B、C 的(2 2,53)x29y225 距离为等差数列,则 y1y2的值为( )A. B. C. D.43103163223 二、填空题二、填空题(本大题共 4 小题,将正确的答案填在题中横线上)13. 设 P 是双曲线
5、1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0,F1、F2分别x2a2y29 是双曲线的左、右焦点,若|PF1|3,则|PF2|等于_ 14. 平行线 l1:3x2y50 与 l2:6x4y30 之间的距离为_ 15. 在 RtABC 中,ABAC1,如果一个椭圆通过 A,B 两点,它的一个焦点为点 C, 另一个焦点在 AB 上,则这个椭圆的离心率为_16. 点 P 是双曲线y21 上的一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 Mx24的轨迹方程是_三、解答题三、解答题(本大题共 5 个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知直线l 过点 P(3,2),且与
6、x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如右图所示,求ABO 的面 积的最小值及此时直线 l 的方程18. 已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围 (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程- 3 -19. 已知直线 y x2 和椭圆1(ab0)相交于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中12x2a2y2b2点,若|AB|2,直线 OM 的斜率为 ,求椭圆的方程51220. 在面积为 1 的PMN 中,tanPMN ,tanMNP2,建立适当的坐标系,求以12 M,N 为焦点且过点 P 的双曲线方程21. 设抛物线 C:y24x,F
7、为 C 的焦点,过 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点 (1)设 L 的斜率为 1,求|AB|的大小;(2)求证:是一个定值OAOB- 4 -解析几何习题答案解析几何习题答案一、选择题一、选择题1. 解析 当|PA|PB|AB|时,点 P 的轨迹是一条射线,故甲/ 乙,而乙甲,故选 B.2. 解析 设双曲线方程为 将点(6,)代入求出 即可答案 C.(13xy)(13xy)3 3. 解析 设对称点为(x,y),则Error! 解得:xb1,ya1. 答案 B4. 解析 设直线的斜率为 k,则直线方程为 y2k(x1),直线在 x 轴上的截距为 1 ,2k令31 3,解不等式可得也可以
8、利用数形结合答案 D2k5. 解析 若 a29,b24k,则 c ,由 即 ,得 k;5kca455k3451925若 a24k,b29,则 c ,由 ,即 ,解得 k21.答案 Ck5ca45k54k45 6. 解析 由椭圆的定义知:|BA|BF|CA|CF|2a, 周长为 4a4(F 是椭圆的另外一个焦点)答案 C37. 解析 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bxay0,根据已知得2,即2,解得 b2,则 a25,故所求的双曲线方程是1.答案 3ba2b23b3x25y24 A8. 解析 设双曲线方程为1(a0,b0),F(c,0),B(0,b),则 kBF
9、,双曲线x2a2y2b2bc的渐近线方程为 y x, 1,即 b2ac,c2a2ac,e2e10,解得 ebabcba.又 e1,e. 答案 D 1 52512 9. 解析 由直线过点(2,b),因为 x2 时,y2x213,所以 y,所以 b,33. 答案 B310. 解析 由抛物线的定义知,点 P 到该抛物线的距离等于点 P 到其焦点的距离,因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦 点的距离之和,显然,当 P、F、(0,2)三点共线时,距离之和取得最小值,最小值等于 . 答案 A(012)220217211. 解析 在
10、椭圆中,a,而 a2b2c2,所以短轴端点(0,b)与mn2(ac)(ac)2 F 的距离为 a.- 5 -12.解析 ,即|AF|5 y1, ,即|CF|5 y2,|BF|.|AF|a2cy1ca45|CF|a2cy2ca458499113由题意知 2|BF|AF|CF|,所以 5 y15 y2,所以 y1y2.答案 B4545223103 二、填空题二、填空题13.解析 由渐近线方程 y x,且 b3,得 a2,由双曲线的定义,得|PF2|PF1|4,32 又|PF1|3,|PF2|7. 答案 714.解析 直线 l2变为:3x2y 0,由平行线间的距离公式得:d.32|532|32221
11、3215.解析 设另一个焦点为 F,如图所示,|AB|AC|1,ABC 为直角三角形,114a,则 a,设|FA|x,22 24Error!x,124c2,c,e . 答案 .22(22)64ca6363 16. 解析 设 P(x0,y0),M(x,y),由中点坐标公式可得 x02x,y02y,代入双曲线方程得1,即 x24y21.答案 x24y21(2x)24(2y)21 三、解答题三、解答题(本大题共 6 个小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 解 设 A(a,0),B(0,b),(a0,b0),则直线 l 的方程为 1,xaybl 过点 P(3,2), 1.3a2b1 2
12、 ,即 ab24.3a2b6abSABO ab12.当且仅当 ,即 a6,b4.123a2bABO 的面积最小,最小值为 12.此时直线 l 的方程为: 1.x6y4 即 2x3y120. 18. 解 (1)联立Error!,得 5x22mxm210. 因为直线与椭圆有公共点所以 4m220(m21)0,解得m.5252 (2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知,5x22mxm210,由韦达定理,得 x1x2,x1x2 (m21)2m515- 6 -所以|AB|(x1x2)2(y1y2)22(x1x2)22(x1x2)24x1x224m22545(m21),25
13、108m2 所以当 m0 时,|AB|最大,此时直线方程为 yx. 19. 解 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) 则Error!得:.y2y1x2x1b2a2x1x2y1y2kAB .b2a2x0y012又 kOM ,y0x012 由得 a24b2. 由Error!得:x24x82b20, x1x24,x1x282b2. |AB|x1x2|1k252 x1x224x1x252 16328b252 8b216 2.5解得:b24.故所求椭圆方程为:1.x216y24 20. 解析 以 MN 所在直线为 x 轴,MN 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 P(x0,y0), M(c,0),N(c,0)(y00,c0),如图所示, 则有Error!解得Error!设双曲线的方程为1,将 P(,)代入,x2a2y234a25 362 33可得 a2,所以所求双曲线的方程为1.512x2512y213 21. (1)解 F(1,0),直线 L 的方程为 yx1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由Error!得 x26x10, x1