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1、专题 3：角平分线与垂直平分线一、角平分线1、角平分线的定义： 从一个角的顶点引出一条射线射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这 个角的角平分线。三角形三个角平分线的交点叫做内心（仅作了解） 。 2、角平分线的性质1 1）角平分线上的一点到角的两边距离相等。）角平分线上的一点到角的两边距离相等。 2 2）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 （逆运用）（逆运用） 三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角 平分线。 三角形的三条角平分线相交于一点，该点为三角形的内心，且内心到三条 边的距离相等。 已知：如图
2、，OP 是AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PDOA，PEOB，垂足分别 为 D，E 求证：PD=PE证明: 1=2 , OP=OP PDO=PEO=90 PDOPEO (AAS) PD=PE (全等三角形的对应边相等) 结论：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 PDOA，PEOB，垂足分别是 D，E，PD=PE. 求证：点 P 在AOB 的平分线上 证明: 在 RtODP 和 RtOEP 中, ODP=OEP=90 又 OP=OP, PD=PE RtOPDRtOPE (HL)1=2 即点 P 在AOB 的平分线上 结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 3、角平
3、分线做法在角 AOB 中，画角平分线 3.1 以点 O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角 AOB 两边于点 M，N 3.2 分别以点 M，N 为圆心，以大于 1/2MN 的长度为半径画弧，两弧交于点 P 3.3 作射线 OP二、垂直平分线1.定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线（中垂线） 。垂直平分线，简称“中垂线” ，是初中几何学科中占有绝 大部分的非常重要的一部分。 1）垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（仅作了解） ，并且这一点到三个顶点的
4、距离相等。 2.2.垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距 离相等。离相等。 3.3.逆运用：到一条线段两个逆运用：到一条线段两个端点端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线距离相等的点，在这条线段的垂直平分线 上。上。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段 的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 可以通过全等三角形证明。4.用圆规作垂直平分线 4.1 在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 4.2 分别以
5、线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画 弧线。得到一个交点。 4.3 连接这两个交点。 证明垂直平分线的性质： 已知：MNAB 于 C，AC=BC，点 P 在 MN 上。求证：PA=PB 证明：MNAB（已知） PCA=PCB（垂直定义） 在PCA 和PCB 中： AC=CB（已知）PCA=PCB（已证）PC=PC（公共边） PCAPCB（SAS） PA=PB（全等三角形的对应边相等） 反过来：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上三、角平分线与垂直平分线的比较角角的的平平分分线线ODEABPC定定理理1 1 在在角角的的平平分分线线上上的的点点 到到这这个个角角的的两两边
6、边的的距距离离相相等等。定定理理2 2 到到一一个个角角的的两两边边的的距距 离离相相等等的的点点，在在这这个个角角的的平平分分 线线上上。 角角的的平平分分线线是是到到角角的的两两边边 距距离离相相等等的的所所有有点点的的集集合合线线段段的的垂垂直直平平分分线线定定 理理 线线段段垂垂直直平平分分线线上上的的点点和和 这这条条线线段段两两个个端端点点的的距距离离相相等等。逆逆定定理理 和和一一条条线线段段两两个个端端点点距距 离离相相等等的的点点，在在这这条条线线段段的的垂垂直直 平平分分线线上上。 线线段段的的垂垂直直平平分分线线可可以以看看作作是是和和 线线段段两两端端点点距距离离相相等
7、等的的所所有有点点的的 集集合合ABMNP点点的的集集合合是是一一条条射射线线点点的的集集合合是是一一条条直直线线四、拔高训练1 1、如如图图, ,已已知知: :A AD D是是A AB BC C的的角角平平分分线线， D DE EA AB B，D DF FA AC C，垂垂足足分分别别是是E E、F F 求求证证：A AD D垂垂直直平平分分E EF FEFCDBAGEFCDBA2 2、如如图图 , ,在在A AB BC C中中，A AD D平平分分 B BA AC C，D DE EA AC C，交交A AB B于于E E， E EF FA AD D，交交B BC C的的延延长长线线于于F F。 求求证证：F FA AC C= =B B【感悟】
