数学推广及其常见形式举例分析

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1、数学推广及其常见形式举例分析徐彦辉( 浙江温州大学数信学院? 325027)? ? 数学推广是指在一定范围内或一定层次上对数学概念、 定理、 法则进行拓展, 使之在更大范围或更高层次上成立, 此外, 也指对条件、 结论进行结构分析以后, 进行适当变化, 使得到的新命题为真. 1推广的一个好处是对信息的整理, 几个密切相关的事实被整合到一个更宽广的体系之内. 数学家们的共同( 思想) 特点就是寻找各种关系, 并由此去探索扩充某种思想的途径, 这种扩充之一便是推广. 综观数学发展的历史, 无不与推广有关. 说得狭隘点, 数学的发展正是由数学中某些概念的推广和由此而引发的新内容、 新概念、 新方法、

2、 新问题的出现而导致的. 在数学中, 新概念的产生, 多是旧结论拓广的产物; 新方法的出现, 多是拓广中使用的工具的改进和发展. 拓广是从具体到抽象、 从特殊到一般、 从表面到本质、 从低维到高维的过渡. 2推广是数学研究中极重要的手段之一, 数学自身的发展在很大程度上依赖于推广. 数学家总是在已有知识的基础上, 向未知的领域扩展, 从实际的概念及问题中推广出各种各样的新概念、 新问题. 3数学研究工作者在发现了某个新定理后, 紧接着就应该探求是否能将这个定理推广. 若能成功地推广, 则其研究就推进了一步. 数学能用这个方法扩大其范围, 这一工作确实是无可限量的. 4推广就是扩大命题的条件中有

3、关对象的范围, 或扩大结论的范围, 即从一个事物的研究过渡到包含这一类事物的研究. 推广是从一个给定的对象集合进而去考虑包含这个集合的更广集合中情形的一种方法. 推广意味着将一种情境中的结论、 算法、 方法、 想法或技术推广到另一种情境. 可以考虑是否能从特殊推到一般、 从离散推到连续、从有限推到无限; 也可以考虑相反的命题, 考虑充分必要条件, 考虑条件的减弱; 还可以考虑用于解决这个问题的方法能否处理更多的问题, 是否可以更简洁地统一许多问题. 因为数学各学科之间是有联系的, 所以, 某一学科问题的解决, 其实也是另一学科相应问题的解决. 把相关内容和相关方法作转换与移植, 立即就可以得出

4、新的结果. 这时, 在新的领域又可以作推广引申, 产生更多的结果. 5在数学命题推广的过程中, 所使用的主要方法是归纳和类比. 从推广的方向看, 有纵向推广和横向推广. 学科命题在本科内深入发展叫做纵向推广; 将本学科命题移植或类比延伸到别的学科中去叫做横向推广. 具体操作推广时, 主要从考察命题的条件、 结论或解题方法入手获得启发推广. 3也即是: ( 1) 从问题 A 到问题 B 的类比推广. (2)用不同的方法证明或解答同一个问题. ( 3)向问题的纵深推广(弱化条件, 强化结论) . ( 4) 从特殊情况向一般情况转化, 使之推广以后的结论在更大范围内成立. 将原命题及其解法思路用到新

5、的领域, 使之在更高层次上得到新的真命题, 这往往成为新的理论分支产生的基石. 11? 从问题 A 到问题B 的类比推广人们研究问题 A , 获得一些或多个理论的结果. 当遇到与问题 A 有些相似的新问题B 时, 经过一些分析, 可能对问题 B 有某种假设, 从而把问题 A 已得到的部分或所有结果推广到问题B.当然, 问题 B 显然与问题A 不同, 于是, 就需要发172010 年 ? 第 49 卷 ? 第 4 期 ? ? ? ? ? 数学通报现新的想法、 技术或工具, 使能把问题 A 的结果推广到问题 B 中. 为了能进行推广, 首先必须找出问题 A 与问题 B 之间的不同. 然后, 再分析

6、问题 B 的特征, 以至于能找到某种进行推广的方法. 另外, 还必须细致分析对问题 A 所做的全部工作, 以发现问题 B 不满足的关键点. 所以, 为了能推广, 必须改编一些新的技术或工具. 6正如徐利治指出: 1980 年后我开始思索一个更基本的问题: 离散数学中的反演公式是否可以和分析数学中的著名反演公式如 Newton- Leibniz 积分学基本定理等获得某种统一呢? 这就涉及到离散数学与连续数学两类不同结构的沟通问题. 开始我并没有找到这种沟通的桥梁. 但借助于关系直觉, 我仿佛模糊地意识到 Robinson 的? 非标准分析 方法有成为桥梁的可能. 这个联想是怎样形成的呢?注意到非

7、标准微积分学中, 定积分可以作为精细分割点列上的离散形式的总和的标准部分. 这就是说, 定积分对应的和式在非标准数域上具有离散化的形式. 这就使我直观地猜想到离散型的广义 M?bius 反演公式有可能推广到非标准数域上去. 接着我就逻辑地验证这个想法, 果然达到目的, 得到了一条普遍的反演定理. 它把组合学中的反演公式和卷积方程论中的一些反演定理( 包括微积分基本定理) 都作为特例概括进去了. 7例 1? 命题? (1) 若数列 an为等差数列, 且am= a, an= b( m 0, n ! N*) 为等比数列, 且 bm= a, bn= b(m1 2n+ 1- k+1 n+ k, k= 2

8、, 3, 4, #, n- 1 可证得(略)(2) 用不同方法证左边不等式.证法 1?( 当 n 为偶数时,1 n+ k+1 2n+ 1- k1 3n 2+1 3n 2+ 1, k= 1, 2, #, n.则 2nk= n+ 11 k)n 2(1 3n 2+1 3n 2+ 1)=6n+ 2 3(3n+ 2)2n 3n+ 1. 当 n 为 奇 数 时,1 n+ k+1 2n+ 1- k2+1 3n+ 1 2, k= 1, 2, #, n.则 2nk= n+ 11 k)n 24 3n+ 1=2n 3n+ 1. 得证.18数学通报? ? ? ? 2010 年? 第 49 卷 ? 第 4 期证法 2?

9、 由调和平均不等式n 1 x1+1 x2+ #+1 xn&x1+ x2+ #+ xn n, xk 0, k= 1, 2, #, n 得n 1 n+ 1+1 n+ 2+ #+1 2n&(n+ 1) + (n+ 2) + #+ 2n n=3n+ 1 2, 即1 n+ 1+1 n+ 2+ #+1 2n)2n 3n+ 1.得证.推广 1 ? 设 ak为公差 d 0 的等差数列,ak 0, ( k= 1, 2, #, n), 求证:2n a1+ an&nk= 11 ak&n( a1+ an) 2a1an.证明 ? ( 1) 右边不等式由1 a1+1 an1 ak+1 an+ 1- k, k= 2, 3,

10、 4, #, n- 1 可证得(略).(2)只能用调和平均不等式证明左边不等式成立, 即n 1 a1+1 a2+ #+1 an&a1+ a2+ #+ an n=a1+ an 2,即1 a1+1 a2+ #+1 an)2n a1+ an. 得证.推广 2 ? 设 ak为公差 d 0 的等差数列,ak 0, ( k= 1, 2, #, n), 求证:2(n- m) am+ 1+ an&nk= m+ 11 ak&( n- m)(am+ 1+ an) 2am+ 1an. 0& m & n- 1.证明 ? ( 1) 右边不等式由1 am+ 1+1 an1 ak+1 an+ m+ 1- k, ( k= m

11、+ 2, 3, 4, #, n- 1)可证得(略).(2)只能用调和平均不等式证明左边不等式成立, 即n- m 1 am+ 1+1 am+ 2+ #+1 an&am+ 1+ am+ 2+ #+ an n- m=am+ 1+ an 2, 也 即1 am+ 1+1 am+ 2+# +1 an)2(n- m) am+ 1+ an.得证.3? 向问题的纵深推广数学家总是不满足于某些具体结果或结论的获得, 而总是希望能获得更为深入的理解, 而后者则又不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求, 而且也促使数学家积极地去从事进一步的研究, 比如在这些看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论? 这些事实

12、能否被纳入某个统一的数学结构? 是否有更简洁的证明方法?结果是否可以改进或推广? 等等. 他们也总是希望能达到更大的简单性、 精致性和一般的结果.例 3? 求证: (1+1 1) ( 1+1 3) #( 1+1 2n- 1)2n+ 1.证明 ?即 证2 14 36 5# 2n 2n- 12n+ 1, 令 S=2 14 36 5#2n 2n- 1, 则S2= (2 1)2 (4 3)2 (6 5)2 #(2n 2n- 1)2 ,S22 13 24 35 46 57 6 #2n 2n- 12n+ 1 2n= 2n+ 1, 即 S2n+ 1得证.在上面的证明中, 结果还可以再改进或推广.不妨令 T

13、(m, n)=2m 2m- 12(m+ 1) 2(m+ 1)- 1 #2n 2n- 1, 试估计 T (m, n)的下界.由 T ( m, n) =2m 2m- 12(m+ 1) 2( m+ 1) - 1 # 2n 2n- 1, 则 T( m, n) 22m 2m- 12m+ 1 2m2m+ 2 2m+ 12m+ 3 2m+ 2 #2n 2n- 12n+ 1 2n=2n+ 1 2m- 1即 T (m, n)2n+ 1 2m- 1, 能否再改进?又 T(m, n)2 (2m 2m- 1)2 (2m+ 1)(2m+ 3)(2m+ 1)2192010 年 ? 第 49 卷 ? 第 4 期 ? ? ?

14、 ? ? 数学通报(2m+ 3)(2m+ 5) (2m+ 3)2 #(2n- 1)(2n+ 1) (2n- 1)2= (2m 2m- 1)22n+ 1 2m+ 1.即 T ( m, n) 2m 2m- 12n+ 1 2m+ 1, 显见2m 2m- 12n+ 1 2m+ 12n+ 1 2m- 1.事实上, 上述结果还可以再改进.推广 ? 设正整数 m, n 满足 1 & m & n, 记T(m, n)=2m 2m- 12(m+ 1) 2(m+ 1)- 1 #2n 2n- 1,则有 T (m, n) )2m( 4m+ 3)n+ m+ 1 4m2- 1.证明 ? 对 n 用数学归纳法当 n= m 时

15、, 式中两个等号显然成立.假设对 n(n )m)时上式成立, 我们证 n+ 1 时不等式成立,只 要 证2m ( 4m+ 3)(n+ 1)+ m+ 1 4m2- 1&2m ( 4m+ 3)(n+ 1) + m+ 1 4m2- 12(n+ 1) 2(n+ 1)- 1即(2n+ 1)2 ( 4m+ 3)(n+ 1)+ m+ 1& (2n+ 2)2 ( 4m+ 3)n+ m+ 1化简即 m & n, 显然成立. 证毕.于上式中取 m= 1, 则 T (1, n) =2 14 36 5#2n 2n- 1)2 37n+ 2于上式中取 m= 2, 则2 14 36 5#2n 2n- 1)8 1511n+

16、3. 显然, 后一结果强于前一结果, 都强于例 3 的结果.4? 由特殊向一般推广正如米山国蔵指出: 我曾在长达五、 六年的时间中, 埋头于? 连续集合理论 的研究, 结果是写出了长达 300 多页的论文( 英文), 这当中, 每当我发现了一个新定理, 就立即集中力量从各方面考察这个定理能不能将它一般化、 能不能推广, 从而一步步地推进了研究工作. 在这些研究中, 我最初是着眼于点连续集合的某种? 特殊的点对 (将它取名为? 主点对 , Pair of principal points), 以此作为起点, 研究了一般的连续点集合的性质、 结构、分类等等, 得到了 300多个新定理, 从新的角度发现了连续点集合的种种性质. 当这一研究告一段落时, 我就进一步考虑能否将得到的结果推广到线连续集合、 面连续集合、 体连续集合. 4例 4 ? 已知 ?k? 2, k 为整