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1、 大题押题练 B 组(建议用时：80 分钟)1如图，在ABC 中，B ，BC2，点 D 在边 AB3上，ADDC，DEAC，E 为垂足(1)若BCD 的面积为，求 CD 的长；33(2)若 ED，求角 A 的大小62解 (1)由已知得 SBCD BCBDsin B，又 BC2，sin 1233B，BD ，cos B .322312在BCD 中，由余弦定理，得CD2BC2BD22BCBDcos B22222 .CD(23)2312289.2 73(2)CDAD，在BCD 中，由正弦定理，得DEsin A62sin ABCsin BDC，又BDC2A，得，解得 cos A，所以 A .CDsin
2、B2sin 2A62sin Asin B2242为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有 5 次选题答题的机会，选手累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错3 题者则被淘汰已知选手甲答题的正确率为 .23(1)求选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数为 X，试写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望解 (1)选手甲答 3 道题进入决赛的概率为3；(23)827选手甲答 4 道题进入决赛的
3、概率为C2 .2 3(23)1323827选手甲答题次数不超过 4 次可进入决赛的概率 P.8278271627(2)依题意，X 的可能取值为 3,4,5，则有 P(X3)33 ；P(X4)(23)(13)13C2 C2 ；2 3(23)13231 3(13)23131027P(X5)C22；2 4(23) (13)827因此，分布列是：X345P131027827E(X)3 45.131027827107273已知数列an的通项公式为 an3n1，在等差数列bn中，bn0(nN*)，且b1b2b315，又 a1b1，a2b2，a3b3成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列anbn
4、的前 n 项和 Tn.解 (1)an3n1(nN*)，a11，a23，a39，在等差数列bn中，b1b2b315，b25，又 a1b1，a2b2，a3b3成等比数列设等差数列bn的公差为 d.(15d)(95d)64，解得 d10 或 d2，bn0(nN*)，舍去 d10，取 d2，b13，bn2n1.(2)由(1)知，Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得：2Tn312323223n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.33n13Tnn3n.4如图，在四棱锥 P
5、-ABCD 中，PD平面ABCD，底面 ABCD 是菱形，BAD60，O为 AC 与 BD 的交点，E 为 PB 上任意一点(1)证明：平面 EAC平面 PBD；(2)若 PD平面 EAC，并且二面角 B-AE-C 的大小为 45，求 PDAD 的值(1)证明 因为 PD平面 ABCD，PDAC，又 ABCD 是菱形，BDAC，又 BDPDD，故 AC平面 PBD，又 AC平面 EAC.所以平面 EAC平面 PBD.(2)解 连接 OE，因为 PD平面 EAC，所以PDOE，所以 OE平面 ABCD，又 O 是 BD的中点，故此时 E 为 PB 的中点，以点 O 为坐标原点，射线 OA，OB，
6、OE 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz.设 OBm，OEh，则OAm，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，(m，m,0)，3(3m，0，0)AB3(0，m，h)，向量 n1(0,1,0)为平面 AEC 的一个法向量，设平面 ABEBE的一个法向量 n2(x，y，z)则 n20，且 n20，ABBE即mxmy0 且myhz0.3取 x1，则 y，z，则 n2，33mh(1， 3，3mh)cos 45|cos n1，n2|，解得 ，故|n1n2|n1|n2|3133m2h222hm62PDAD2h2mhm2.65设椭圆 C：1(ab0)的离心率 e ，右焦点到直线
7、1 的距离x2a2y2b212xaybd，O 为坐标原点217(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 O 作两条互相垂直的射线，与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，证明，点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求弦 AB 长度的最小值解 (1)由 e 得 ，即 a2c，bc.12ca123由右焦点到直线 1 的距离为 d， 1 化为一般式：xayb217xaybbxayab0 得，解得 a2，b.|bcab|a2b22173所以椭圆 C 的方程为1.x24y23(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为ykxm.与椭圆1 联立消去 y，得(4k2
8、3)x28kmx(4m212)0.x24y23由根与系数的关系得 x1x2，x1x2.8km34k24m21234k2OAOB，x1x2y1y20，x1x2(kx1m)(kx2m)0，即(k21)x1x2km(x1x2)m20，(k21)m20.4m21234k28k2m234k2整理得 7m212(k21)，所以 O 到直线 AB 的距离d(为定值)|m|k211272 217当直线 AB 斜率不存在时，可求出直线 AB 方程为 x，则点 O 到直线2 217AB 的距离为(定值)2 217OAOB，OA2OB2AB22OAOB，当且仅当 OAOB 时取“” ，由直角三角形面积公式得：dAB
9、OAOB.OAOB，dAB.AB22AB22AB2d，故当 OAOB 时，弦 AB 的长度取得最小值.4 2174 2176已知函数 f(x)exkx2，xR.(1)若 k ，求证：当 x(0，)时，f(x)1；12(2)若 f(x)在区间(0，)上单调递增，试求 k 的取值范围；(3)求证：0(x0)，h(x)f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)10.f(x)ex x2在(0，)上单调递增，故 f(x)f(0)1.12(2)解 f(x)ex2kx，求使 f(x)0(x0)恒成立的 k 的取值范围若 k0，显然 f(x)0，f(x)在区间(0，)上单调递增，当 k0 时，记 (x)e
10、x2kx，则 (x)ex2k，当 0e01，而 2k120，则 (x)在(0，)上单调递增，于是 f(x)(x)(0)10，f(x)在(0，)单调递增；当 k 时，(x)ex2kx 在(0，ln 2k)上单调递减，在12(ln 2k，)上单调递增，于是 f(x)(x)(ln 2k)eln 2k2kln 2k，由 eln 2k2kln 2k0 得 2k2kln 2k0，则 k .12e2综上，k 的取值范围是.(，e2(3)证明 由(1)知，对于 x(0，)，有 f(x)ex x21，e2x2x21，12则 ln (2x21)2x，从而有 ln (nN*)，(2n41)2n2于是 ln ln ln ln (2141)(2241)(2341)(2n41)2122222n224 4，故21221 222 32n1 n(1121n11n)2ne4(nN*)(2141) (2241)(2n41)
