考验高数必备公式

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1、考验高数必备公式考验高数必备公式常用高等数学公式 常用的高等数学公式 1 导数公式： 导数公式： (tgx) = sec 2 x (ctgx) = ? csc 2 x (sec x) = sec x ? tgx (csc x) = ? csc x ? ctgx (a x ) = a x ln a (log a x) = 基本积分表： 2 基本积分表： (arcsin x) = 1 1 x ln a 1? x2 1 (arccos x) = ? 1? x2 1 (arctgx) = 1+ x2 1 (arcctgx) = ? 1+ x2 tgxdx = ? ln cos x + C ctgxdx

2、 = ln sin x + C sec xdx = ln sec x + tgx + C csc xdx = ln csc x ? ctgx + C 1 dx x = arctg +C 2 +x a a 1 dx x?a x 2 ? a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x a 2 ? x 2 = 2a ln a ? x + C dx x a 2 ? x 2 = arcsin a + C cos dx 2 x dx 2 sin 2 x = csc xdx = ?ctgx + C = sec 2 xdx = tgx + C a sec x ? tgxdx = sec x +

3、C csc x ? ctgxdx = ? csc x + C ax a dx = ln a + C x 2 shxdx = chx + C chxdx = shx + C dx x a 2 2 = ln( x + x 2 a 2 ) + C 2 n 2 I n = sin xdx = cos n xdx = 0 0 n ?1 I n?2 n x 2 a2 x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 ? a 2 dx = x ? a 2 ? ln x + x 2 ? a 2 + C 2 2 x 2 a2 x 2 2 2 a ? x dx =

4、a ? x + arcsin + C 2 2 a x 2 + a 2 dx = 三角函数的有理式积分： 三角函数的有理式积分： 2u 1? u 2 x 2du sin x = ， x = cos ， u = tg ， dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2 第 1 页 共 15 页 常用高等数学公式一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限： 两个重要极限： ex ? e?x 双曲正弦 : shx = 2 x e + e ?x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x ? e ? x 双曲正切 : thx = = chx e x + e ? x arshx = ln( x

5、+ x 2 + 1） archx = ln( x + x 2 ? 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1? x 三角函数公式： 三角函数公式： 诱导公式： 诱导公式： 函数 角 A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ 和差角公式： 和差角公式： lim sin x =1 x 0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045. x x sin -sin cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos cos sin -sin -cos -cos -sin sin cos cos

6、 tg -tg ctg -ctg -tg tg ctg -ctg -tg tg ctg -ctg tg -tg -ctg ctg tg -tg -ctg ctg 和差化积公式： 和差化积公式： sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos ? sin sin tg tg tg ( ) = 1 ? tg ? tg ctg ? ctg ? 1 ctg ( ) = ctg ctg sin + sin = 2 sin + 2 2 + ? sin ? sin = 2 cos sin 2 2 + ? cos + cos = 2 cos cos 2 2 + ? cos

7、? cos = 2 sin sin 2 2 cos ? 第 2 页 共 15 页 常用高等数学公式 倍角公式： 倍角公式：sin 2 = 2 sin cos cos 2 = 2 cos 2 ? 1 = 1 ? 2 sin 2 = cos 2 ? sin 2 ctg 2 ? 1 ctg 2 = 2ctg 2tg tg 2 = 1 ? tg 2 半角公式： 半角公式： sin 3 = 3 sin ? 4 sin 3 cos 3 = 4 cos3 ? 3 cos tg 3 = 3tg ? tg 3 1 ? 3tg 2 sin tg 2 = = 1 ? cos 1 + cos cos = 2 2 2

8、1 ? cos 1 ? cos sin 1 + cos 1 + cos sin ctg = = = = = 1 + cos sin 1 + cos 2 1 ? cos sin 1 ? cos a b c = = = 2R sin A sin B sin C 余弦定理： c = a + b ? 2ab cos C 余弦定理： 2 2 2 2 正弦定理：正弦定理： 反三角函数性质： arcsin x = 反三角函数性质： 2 ? arccos x arctgx = 2 ? arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： 莱布尼兹 k (u

9、v) ( n ) = C n u ( n?k ) v ( k ) k =0 n = u ( n ) v + nu ( n?1) v + n(n ? 1) ( n?2) n(n ? 1)?(n ? k + 1) ( n?k ) ( k ) u v + ? + uv ( n ) u v + ? + 2! k! 中值定理与导数应用： 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) ? f (a) = f ( )(b ? a) f (b) ? f (a ) f ( ) 柯西中值定理： = F (b) ? F (a ) F ( ) 当 F( x) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：

10、曲率： 弧微分公式：ds = 1 + y 2 dx, 其中 y = tg K 平均曲率： = ? .? : 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM 弧长。 ?s y ? d M 点的曲率：K = lim = = . ?s 0 ?s ds (1 + y 2 ) 3 直线：K = 0; 1 半径为 a 的圆：K = . a 第 3 页 共 15 页 常用高等数学公式定积分的近似计算： 定积分的近似计算： b 矩形法： f ( x) a b?a ( y0 + y1 + ? + y n?1 ) n b?a 1 ( y0 + y n ) + y1 + ? + y n?1 n 2 b?a

11、( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + ? + y n?2 ) + 4( y1 + y3 + ? + y n?1 ) 3n 梯形法： f ( x) a b b 抛物线法： f ( x) a 定积分应用相关公式： 定积分应用相关公式： 功：W = F ? s 水压力：F = p ? A m1m2 , k 为引力系数 r2 b 1 函数的平均值： = y f ( x)dx b?a a 引力：F = k 1 2 均方根： f (t )dt b?a a 空间解析几何和向量代数： 空间解析几何和向量代数： b 空间 2 点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 ? x1 ) 2

12、 + ( y 2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2 向量在轴上的投影： ju AB = AB ? cos ? ,?是 AB 与 u 轴的夹角。 Pr Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 a ? b = a ? b cos = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： = cos i c = a b = ax bx j ay by k a z , c = a ? b sin .例：线速度：v = w r . bz ax 向量的混合积： b c = (a b ) ? c = bx a cx 代表

13、平行六面体的体积。 ay by cy az bz = a b ? c cos ,为锐角时， cz a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z ? bx + b y + bz 2 2 2 2 2 2 第 4 页 共 15 页 常用高等数学公式平面的方程： 1、点法式：A( x ? x0 ) + B( y ? y 0 ) + C ( z ? z 0 ) = 0，其中 n = A, B, C, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意

14、一点到该平 面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 ? x = x0 + mt x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 ? 空间直线的方程： = = = t , 其中 s = m, n, p; 参数方程：y = y0 + nt ? m n p ? z = z + pt 0 ? 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + = z（p, q同号） , 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z2 单叶双曲面： 2 + 2 ? 2 = 1 a b c 2 2 x y z

15、2 双叶双曲面： 2 ? 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c 多元函数微分法及应用 全微分：dz = ?z ?z ?u ?u ?u dx + dy du = dx + dy + dz ?z ?x ?y ?x ?y 全微分的近似计算：?z dz = f x ( x, y )?x + f y ( x, y )?y 多元复合函数的求导法： dz ?z ?u ?z ?v z = f u (t ), v(t ) = ? + ? dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z = f u ( x, y ), v( x, y ) = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x 当 u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， du = ?u ?u ?v ?v dx + dy dv = dx + dy ?x ?y ?x ?y隐函数的求导公式： F F F d