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1、2.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质一、选择题1设抛物线的顶点在原点，其焦点 F 在 y 轴上，又抛物线上的点(k，2)与 F 点的距离为 4，则 k 的值是( )A4 B4 或4C2 D2 或2答案 B解析 由题意，设抛物线的标准方程为：x22py，由题意得， 24，p4，x28y.p2又点(k，2)在抛物线上，k216，k4.2抛物线 y x2(m0)，由题意，得56，p2，p2抛物线方程为 y24x.4直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k( )A2 或2 B1C2 D3答案 C解析 由Error!得 k2x24(k2)
2、x40，则4，即 k2.4(k2)k25(2010陕西文，9)已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p的值为( )A. B112C2 D4答案 C解析 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x ，由题意知，3 4，p2.p2p26等腰 RtAOB 内接于抛物线 y22px(p0)，O 为抛物线的顶点，OAOB，则AOB 的面积是( )A8p2 B4p2C2p2 Dp2答案 B解析 抛物线的对称轴为 x 轴，内接AOB 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性，知直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x 轴的
3、夹角为 45.由方程组Error!，得Error!，或Error!.A、B 两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p)|AB|4p.SAOB 4p2p4p2.127抛物线 y22px 与直线 axy40 的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A. B.32 325 5C. D.7 510172答案 B解析 由已知得抛物线方程为 y24x，直线方程为 2xy40，抛物线 y24x 的焦点坐标是 F(1,0)，到直线 2xy40 的距离为 d.|204|2212 558过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线准线上的射影是 A1、B1，则
4、A1FB1等于( )A45 B60C90 D120答案 C解析 由抛物线的定义得，|AF|AA1|，|BF|BB1|，12，34，又1234A1AFB1BF360，且A1AFB1BF180，1234180，2(24)180，即2490，故A1FB90.9(2009全国，5)设双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx21 相切，x2a2y2b2则该双曲线的离心率等于( )A. B23C. D.56答案 C解析 本题主要考查圆锥曲线的有关知识双曲线的渐近线方程为 y x.ba渐近线与 yx21 相切，x2 x10 有两相等根，ba40，b24a2，b2a2e .cac2a2a2b2a2510(
5、2010辽宁理，7)设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线 AF 的斜率为，那么|PF|( )3A4 B83C8 D163答案 B解析 如图，KAF，3AFO60，|BF|4，|AB|4，3即 P 点的纵坐标为 4，3(4)28x，x6，|PA|8|PF|，故选 B.3二、填空题11抛物线 y216x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是_答案 (2，4)2解析 设抛物线 y216x 上的点 P(x，y)由题意，得(x4)2x2y2x216x，x2，y4.212抛物线 y24x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4，则焦点到 AB
6、 的距离为3_答案 2解析 由题意，设 A 点坐标为(x,2)，则 x3，3又焦点 F(1,0)，焦点到 AB 的距离为 2.13已知 F 为抛物线 y22ax(a0)的焦点，点 P 是抛物线上任一点，O 为坐标原点，以下四个命题：(1)FOP 为正三角形(2)FOP 为等腰直角三角形(3)FOP 为直角三角形(4)FOP 为等腰三角形其中一定不正确的命题序号是_答案 解析 抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，错误若FOP 为等腰直角三角形，则点 P 的横纵坐标相等，这显然不可能，故错误14(2009宁夏、海南)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛
7、物线 C 交于 A，B 两点，若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为_答案 y24x解析 设抛物线为 y2kx，与 yx 联立方程组，消去 y，得：x2kx0，x1x2k22，故 y24x.三、解答题15已知抛物线 y24x 的内接三角形 OAB 的一个顶点 O 在原点，三边上的高都过焦点，求三角形 OAB 的外接圆的方程解析 OAB 的三个顶点都在抛物线上，且三条高都过焦点，ABx 轴，故 A、B 关于 x 轴对称，设 A，则 B，(y2 14，y1)(y2 14，y1)又 F(1,0)，由 OABF 得，1，解得 y 20，y1y2 14y1y2 1412 1A(5,2)
8、，B(5，2)，55因外接圆过原点，且圆心在 x 轴上，故可设方程为：x2y2Dx0，把 A 点坐标代入得 D9，故所求圆的方程为 x2y29x0.16一抛物线拱桥跨度为 52m，拱顶离水面 6.5m，一竹排上载有一宽 4m，高 6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？解析 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py，则有 A(26，6.5)，B(2，y)，由 2622px(6.5)，得 p52，抛物线方程为 x2104y.当 x2 时，4104y，y，1266.56，能通过12617若抛物线 y22x 上两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线 yxb 对称，且y1y21，求
9、实数 b 的值解析 因为 A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，所以 y 2x1 y 2x2 2 12 2并整理可得kAB，y1y2x1x22y1y2又因为 kAB1，所以 y1y22，所以1，而y1y22x1x22y2 1y2 24 ，(y1y2)22y1y24(2)22 (1)432因为在直线 yxb 上，(x1x22，y1y22)所以1 b，即 b ，3252所以 b 的值为 .5218设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.证明 如图，设直线方程为 yk，(xp2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，(p2，y2)由Error!消去 x 得，y2p20，2pyky1y2p2，kOA，kOC，y1x1y2p2y1y2p2y12py1又y 2px1，kOCkOA，即 AC 经过原点 O.2 1y1x1当 k 不存在时，ABx 轴，同理可得 kOAkOC.
