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1、 实验实验十一十一 数据的统计与分析数据的统计与分析 材料系 材 93 2009011976 邓陟 一一 实验目的实验目的 1. 掌握数理统计的基本概念。 2. 掌握用随机方法（蒙特卡罗法）计算积分。 3. 对实际问题建立概率模型和进行计算。 二二 实验内容实验内容 1. 某厂从一台机床生产的滚珠中随机抽取 20 个，测得直径（mm）如下： 14.6,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8,14.3, 15.1,14.2,14.4,14.0,14.6,15.1,14.9,14.7,14.5,14.7 式给出这些数据的均值、标准差、方差、极差，并画出直方图
2、。 编写程序 X=14.6,14.7,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8,14.3,15.1,14.2,14.4,14.0,14.6,15.1,14.9, 14.7,14.5,14.7; x=mean(X) s=std(X) v=var(X) r=range(X) hist(X,6) 得到如下结果 x = 14.7350 s = 0.3329 v = 0.1108 r = 1.2000 则这些数据的均值为 14.7350、标准差为 0.3329、方差为 0.1108、极差为 1.2000。 直方图 2. 炮弹射击的目标为一半径 100m 的圆形区域。当瞄准目标
3、的中心发射炮弹时，在众 多随机因素的影响下， 弹着点服从以目标中心为均值的正态分布， 设X方向和Y方 向的均方差分别为 80m 和 50m，相关系数0.4r 。求每颗炮弹落在圆形区域内的 概率。 设目标中心为0,0xy，记100R ，则圆形区域可表示为 222: xyR 炮弹掉落区域,X Y的联合概率密度函数为 22222211,exp22 121xyyxxxyyxyxyyxp x yrrr 于是炮弹命中圆形区域的概率为二重积分 ,Pp x y dxdy 求解该二重积分即得到每颗炮弹落在圆形区域内的概率。 代入0,0xy，则 22222211,exp22 121xxyyxyxxyyp x yr
4、rr 二重积分 222222222222220011exp22 1211coscos sinsin=exp22 121xxyyxyRxxyyxyxxyyPrdxdyrrttrdtdrr 编写程序录入数据 R=100;sx=80;sy=50;r=0.4; 直接用数值方法计算二重积分 编写程序 p=(t,w)t.*exp(-t.2/(2*(1-r2).*(cos(w).2)/(sx2)-(2*r*(cos(w).*sin(w)/(sx*sy)+(si n(w).2)/(sy2); P0=dblquad(p,0,R,0,2*pi); P0=P0/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r2) 得到如下
5、结果 P0 = 0.6979 炮弹命中圆形区域的概率为 0.6979。 用蒙特卡罗方法计算二重积分 设,1,2,iix y in分别为,R R区间上的均匀分布随机数，判断每个点,iix y是 否 落 在 圆 形 区 域内 ， 将 落 在 圆 形 区 域内 的m个 点 记 作,1,2,kkxykm，则 214,mkk kRPp x y dxdyp xyn编写程序 n=10000; for k=1:4 for j=1:3 m=0;z=0; x=unifrnd(-R,R,1,n);y=unifrnd(-R,R,1,n); for i=1:n if x(i)2+y(i)2=R2 u=exp(-1/(2
6、*(1-r2)*(x(i)2/sx2-2*r*x(i)*y(i)/(sx*sy)+y(i)2/sy2); z=z+u; m=m+1; end end P(k,j)=4*R*R*z/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r2)*n); end n=n*10; end P 得到如下结果 P = 0.6955 0.7071 0.7043 0.7011 0.6969 0.6959 0.6982 0.6974 0.6974 0.6978 0.6979 0.6979 列表显示计算结果 点数n 计算结果 10000 0.6955 0.7071 0.7043 100000 0.7011 0.6969 0.69
7、59 1000000 0.6982 0.6974 0.6974 10000000 0.6978 0.6979 0.6979 从结果来看，随着n的逐步增大，蒙特卡罗方法计算出的结果与数值法计算出的结 果愈发接近，这符合大数定律。用此方法可计算被积函数复杂的积分，且无需做任 何代换，但其结果具有一定的随机性。降低随机性的方法是增加计算量，因此准确 性与计算量犹如鱼和熊掌不可兼得。 3. 某报童每天从发行商处购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。如果每份报纸 的购进价为a， 每份报纸的零售价为b， 每份报纸的退回价为c， 且满足bac。如果报纸的需求量服从正态分布2,N ， 且批发价为1naAK，
8、 其中n为购进报纸的数量，K为一个给定的常数。建立报童为获得最大利润的数学模型。当已知2000,50,0.5,50000,0.5,0.35AKbc时，为了获得最大的利润，求解报童每天购进的报纸数量。 设每天报纸的需求量为r。当rn时报童售出r份，退回nr份，而每售出 1 份报童赚ba， 退回一份报童赔ac， 所以报童的利润为ba racnr；当rn时报童将购进的n份全部售出，利润为n ba。在这种情况下将利润与需求概率 p r相乘并求和，就得到报童每天的平均利润 V n，即 10nrr nV nba racnrp rba n p r问题化为求n使 V n最大。 虽然报纸的需求量r是离散的，但由
9、于r较大，可以将它看作连续随机变量x，且2,xN ，于是上式给出的报童每天的平均利润 V n可以写作 0nnV nba xacnxp x dxba np x dx其中 p x是均值、标准差的正态分布的概率密度。 代入1naAK，为了求n使 V n最大，对 V n求导数，得 02nAnVnAbcbp x dxK 当均值比标准差大得多时， 0nnp x x dxF n 。 令导数等于零，得到方程 20AnAbcb F nK 求解该方程即得到利润最大时的购进量。 编写 M 文件 dnpprft.m function dV=dnpprft(x,u,s,A,K,b,c) dV=2*A*x/K-A+b+(
10、c-b)*normcdf(x,u,s); 当已知2000,50,0.5,50000,0.5,0.35AKbc时 编写程序录入数据 u=2000;s=50;A=0.5;K=50000;b=0.5;c=0.35; 编写程序确定根的大致位置 n=0:4000; dV=dnpprft(n,u,s,A,K,b,c); z=0*n; plot(n,dV,b,n,z,k) 画出 Vn在区间0,4000上的图像 由图像可知 Vn在 2000 左右有点满足00Vn，且在0nn左右变号，说明00Vn，该点为 V n极大值点。 编写程序 n0=fzero(dnpprft,2000,u,s,A,K,b,c) 得到如下
11、结果 n0 = 1.9682e+003 可知所求解为 1968 或 1969，要代回利润函数检验。 编写程序 V1=quad(n)dnpprft(n,u,s,A,K,b,c),0,1968) V2=quad(n)dnpprft(n,u,s,A,K,b,c),0,1969) 得到如下结果 V1 = 37.5455 V2 = 37.5452 最终确定为了获得最大利润，报童每天购进的报纸数量应为 1968 份。 三三 实验小结实验小结 本次实验可作为对于概率论数理统计知识的复习。 实验中利用大数定律， 用随机模 拟的方法计算数值积分， 这种方法思维上较为直观， 但由于试验过程的随机性使得结果 也具有随机性，降低随机性的方法只有增加试验次数，即增加计算量。总体来讲这种方 法有利有弊，可以应用于精度要求不高的场合。通过使用 MATLAB 统计工具箱，在求解 一些常见概率分布问题时， 我们不再需要查表。 同时结合先前所学的求解非线性方程的 命令，我们还可以求解一些优化问题，比如第三题。
