相似形单元复习

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1、相似形单元复习相似形单元复习人做了书的奴隶，便把活人带死了。把书作为人的工具，则书本上的知识便活了。有了生命力了。华罗庚浅析相似形解题思路福建 杨玉山相似图形是日常生活中常见的图形数学中相似关系的研究，是现实生活和生产实际的需要就是把它们抽象成为图形之间的相似关系，并研究相似形的定义、性质、判定和应用，使之上升为理论，反过来又为实践服务在研究三角形的全等，即“形状相同，大小相等“的基础上，现要进一步研究两个平面图形的“形状相同，大小可以不一样“的图形的性质-相似全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为 1 的特殊相似形，相似形则是全等形的推广因而学习相似形要随时与全

2、等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础学好相似形也为学习园的有关性质和三角函数知识作了必要的准备和重要工具在平面几何中，相似形是承上启下的关键内容三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单；再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角 两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似找一个直

3、角 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角 两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例 判定定理 1 或判定定理 4找顶角对应相等 判定定理 1找底角对应相等 判定定理 1找底和腰对应成比例 判定定理 3相似形的传递性 若12，23，则13对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法“、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移“(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系； 三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替； 两端各自找联系，可用射影和园幂例

4、1 填空题：1、在ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 的中点，若 AC8CM，则DE 4 CM ；2、在ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 的中点，则ADE 与ABC的周长比为 1：2 ； 3、如果两个相似三角形的面积比为 9：4，那么它们的相似比为 3：2 ；4、如果两个相似三角形的周长比为 2：3，那么它们的面积比为 4：9 ；5、在ABC 中，ABAC，过 AC 上一点 D 作直线 DE，交 AB 于 E，使ADE 和ABC 相似，这样的直线可作 两 条 6、在ABC 中，MNBC，C68 0，AM：MB1：2，则MNA 68 0；AN：NC1：2 ；例 2 选择题：1、如图 1

5、，DE 是ABC 的 AB 边上的一点，过点 D作 DEBC 交 AC 于 E，已知 AD：DB2：3，则 SADE：S 四边形BCED ( D ) A、2：3 B、4：9 C、4：5 D、4：21 2、如图 1，在ABC 中，DEBC，AD：DB1：2，则下列结论中正确的是：( B ) A、 B、 C、 D、3、如图 1，DE 是ABC 的中位线，ABC 的周长为 1，则ADE 的周长为( B )A、 B、 C、 D、 4、如图 2，已知 DEBC，EFAB，现得到下列结论：； ；，其中正确比例式的个数有：( B ) A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 5、如图 3ABC 的两条

6、高 AD、BE 交于 H，图中与AHE相似的三角形(不包括AHE)有( C ) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 6、如图 4 在ABC 中，BAC90 0，ADBC 于 D， 若 AB2，BC3，则 DC 的长是：( D ) A、 B、 C、 D、 说明：三角形中位线平行第三边并等于第三边的一半；不但有位置关系且表示数量关系应注意运用从平行关系得到三角形相似，从三角形相似得到面积比等于对应边的比的平方，从而得出正确的选择例 3 如图 5 在ABC 中，AD、BE 分别是 BC、AC 边上的高，DFAB于 F，交 AC 的延长线于 H，交 BE 于 G，求证：(1)FG / FA

7、FB / FH (2)FD 是 FG 与 FH 的比例中项分析：(1)由 FG / FAFB / FH，横看三点定形应证FGBFAH(2)由 FD / FGFH / FD，横看竖看三点定形都无法证三角形相似化比例式为等积式，再应用(1)的结论可得：DF 2FG?FHFA?FB再转化为：， 横看竖看三点定形 要证AFDDFB 即可 证明：(1)AFHBFG900，ABGAHF FGBFAH FG / FAFB / FH (2)ADBD，DFAB AFDDFB900 又BDFFDA900BDFDAF900 BDFDAF BDFDAF BF / FDFD / FA DF 2FAFB由(1)得 FG?

8、FHFA?FB DF 2FG?FH说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换例 4 如图 6，ABCD 中，E 是 BC 上的一点，AE 交 BD 于点 F，已知 BE：EC3：1， SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SFDA 解： 在ABCD 中，ADBC ，ADBC FBEFDA BF：FD3：4 又SFBE18 SFDA32说明：线段 BF、FD 三点共线应用平截比定理由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理“得到对应线段成

9、比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积 例 5 如图 7 在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 的中点，CM的延长线交 AB 于 N求：AN：AB 的值； 解：过 D 作 AEBC 交 CN 的延长线于 E EECB，AMEDMC，AMDM EMACMD AEDCBC/2 又AEBC ， CNBENA 即 AN：AB1：3 说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡例 6 如图 8 在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的

10、中点，BEAC 交 AC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G求证：AG 2AFFC 证明：在矩形 ABCD 中，ADBC，DBCEABC900 又 DEEC ADEBCE (SAS) AEEB FGAB AGBF 又 BEAC ABFBCF BF2AFFC则 AG 2AFFC 说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法“确定要证明的两个三角形相似例 7 如图在ABC 中，D 是 BC 边的中点，且 ADAC，DEBC，交AB 于点 E，EC 交 AD 于点 F(1)求证：ABCFCD；(2)若 SFCD5，BC10，求 DE 的长（1）证明：D

11、 是 BC 边的中点，DEBC BEC 是等腰三角形，BBCE 又ADAC ADCACD ABCFCD （2）解：过 A 作 AMCD 垂足为 MABCFCD 且 BC2CD 又SFCD5，BC10，SABCBC?AM AM4 又 DMCMBD DEAM DE说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长例 8 如图 10 过ABC 的顶点 C 任作一直线与边 AB 及中线 AD 分别交于点 F 和 E过点 D 作 DMFC 交 AB 于点 M(1)若 SAEF：S 四边形 MDEF2：3，求 A

12、E：ED；(2)求证：AEFB2AFED (1)解：DMFC AEFADM (2)证明：DMFC AE：EDAF：FM 又CDDB FMBF/2AE：EDAF：BF/2 即 AEFB2AFED说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比注意平截比定理的应用例 9 己知如图 11 在正方形 ABCD 的边长为 1，P 是 CD 边的中点，Q 在线段 BC 上，当 BQ 为何值时，ADP 与QCP 相似？分析：不难发现，ADP 与QCP 都应为直角三角形，要求 BQ 的值，应先求出使ADP 与QCP 相似的 QC 的值解：在正方形 ABCD

13、 中，DC90 0 ADP 与QCP都为直角三角形当 RtADPRtQCP 时，有 QCAD1 即得点 Q 与点 B 重合，BQ0 人做了书的奴隶，便把活人带死了。把书作为人的工具，则书本上的知识便活了。有了生命力了。华罗庚当 RtADPRtPCQ 时，有QC即得：BQ 当 BQ0 或 BQ时，ADP 与QCP 相似 说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系然后再确定顶点 P 所在的位置本题是开放性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解例 10 己知如图 12 在梯形 ABCD 中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3试在边 AB 上确定点 P的位置，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与以 P、B、C 为顶点的三