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1、第一讲第一讲 坐标系坐标系刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴、数轴 它使直线上任一点它使直线上任一点A都可以由惟一的实数都可以由惟一的实数x确定确定2、平面直角坐标系、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。直角坐标系。它使平面上任一点它使平面上任一点P P都可以由惟一的实数对都可以由惟一的实数对（x,yx,y）确定）确定3、空间直角坐标系、空间直角坐标系 在
2、空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上它使空间上任一点任一点P P都可以由惟一的实数对（都可以由惟一的实数对（x,y,zx,y,z）确定）确定yxzPOPRQM第一节第一节 平面直角坐标系平面直角坐标系-坐标法坐标法1. 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正方形的正方形的顶点。的顶点。变式训练变式训练 如何通过它们到点如何
3、通过它们到点O的距离以及它们相对于点的距离以及它们相对于点O的的方位来刻画方位来刻画,即用即用”距离和方向距离和方向”确定点的位置？确定点的位置？2. 已知已知A(1,1)和和B(6,2)，求线段，求线段AB的垂直平分线的垂直平分线l的方的方程。程。oF2F1M 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数（小于等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做这两个定点叫做双曲线的焦点，双曲线的焦点，两焦点间的距离叫两焦点间的距离叫做做双曲线的焦距双曲线的焦距 | |MF1| - |MF2| | = 2a2c双曲线定义的
4、符号表述：双曲线定义的符号表述：x2,y2前面的系数，哪个为正，前面的系数，哪个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于常数（小于常数（小于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹.标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断双曲线的标准方程双曲线的标准方程直角坐标系实际应用直角坐标系实际应用 某中心接到其正东、某中心接到其正东、某中心接到其正东、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测正西、正北方向三个观测正西、正北方向三个观测正
5、西、正北方向三个观测点的报告：点的报告：点的报告：点的报告：正西、正北两正西、正北两正西、正北两正西、正北两个观测点同时听到一声巨个观测点同时听到一声巨个观测点同时听到一声巨个观测点同时听到一声巨响响响响，正东观测点听到巨响正东观测点听到巨响正东观测点听到巨响正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点的时间比其他两个观测点的时间比其他两个观测点的时间比其他两个观测点晚晚晚晚4s4s，已知各观测点到中，已知各观测点到中，已知各观测点到中，已知各观测点到中心的距离都是心的距离都是心的距离都是心的距离都是1020m1020m，试，试，试，试确定该巨响的位置。确定该巨响的位置。确定该巨响的位置。确定该巨
6、响的位置。( (假定假定假定假定当时声音传播的速度为当时声音传播的速度为当时声音传播的速度为当时声音传播的速度为340m/s340m/s，各相关点均在同，各相关点均在同，各相关点均在同，各相关点均在同一平面上一平面上一平面上一平面上). ).信息中心信息中心观测点观测点观测点观测点观测点观测点PBACyxO y y y yx x x xB B B BA A A AC C C CP P P Po o o o解：以接报中心为原点解：以接报中心为原点解：以接报中心为原点解：以接报中心为原点O O O O，以，以，以，以BABABABA方向为方向为方向为方向为x x x x轴，建立直角坐轴，建立直角坐
7、轴，建立直角坐轴，建立直角坐标系标系标系标系. . . .设设设设A A A A、B B B B、C C C C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，则则则则 A(1020, 0), B(A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020)1020, 0), C(0, 1020) 设设设设P P（x, yx, y）为巨响为生点，）为巨响为生点，）为巨响为生点，）为巨响为生点， 由由由由B B、C C同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得|PC|=|PB|PC|=|PB|，故故故故 ，PO
8、PO的方程为的方程为的方程为的方程为 ，P P P P在在在在BCBCBCBC的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线POPOPOPO上上上上y=y=x x因因因因A A点比点比点比点比B B点晚点晚点晚点晚4s4s听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，故故故故 . .|PA|PA| |PB|=3404=1360|PB|=3404=1360由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义P P点在以点在以点在以点在以A, BA, B为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线 上上上上a= a= , c= , c= , , b b2 2= = . . 680680
9、10201020c c2 2-a-a2 2=1020=10202 2-680-6802 2=5340=53402 2 y y y yx x x xB B B BA A A AC C C CP P P Po o o o所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：用用用用y=y=x x代入上式，得代入上式，得代入上式，得代入上式，得 答答答答: :巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北45450 0, , 距中心距中心距中心距中心 你能总结用坐标法解决问题的步骤你能总结用坐标法解决问题的步骤吗？吗
10、？ y y y yx x x xB B B BA A A AC C C CP P P Po o o o解：以接报中心为原点解：以接报中心为原点解：以接报中心为原点解：以接报中心为原点O O O O，以，以，以，以BABABABA方向为方向为方向为方向为x x x x轴，建立直角坐轴，建立直角坐轴，建立直角坐轴，建立直角坐标系标系标系标系. . . .设设设设A A A A、B B B B、C C C C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，则则则则 A(1020, 0), B(A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1
11、020)1020, 0), C(0, 1020) 设设设设P P（x, yx, y）为巨响为生点，）为巨响为生点，）为巨响为生点，）为巨响为生点， 由由由由B B、C C同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得|PC|=|PB|PC|=|PB|，故故故故 ，POPO的方程为的方程为的方程为的方程为 ，P P P P在在在在BCBCBCBC的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线POPOPOPO上上上上y=y=x x因因因因A A点比点比点比点比B B点晚点晚点晚点晚4s4s听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，故故故故 . .|PA|PA| |
12、PB|=3404=1360|PB|=3404=1360由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义P P点在以点在以点在以点在以A, BA, B为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线 上上上上a= a= , c= , c= , , b b2 2= = . . 68068010201020c c2 2-a-a2 2=1020=10202 2-680-6802 2=5340=53402 2建系建系设点设点列式并化简列式并化简 y y y yx x x xB B B BA A A AC C C CP P P Po o o o所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方
13、程为：所以双曲线的方程为：用用用用y=y=x x代入上式，得代入上式，得代入上式，得代入上式，得 答答答答: :巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北45450 0, , 距中心距中心距中心距中心 说明说明 解决此类应用题的关键：解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应）3、列式、列式（方程与坐标的对应）（方程与坐标的对应）4、化简、化简5、说明、说明坐坐 标标 法法 例例例例1. 1.已知已知已知已知ABCABC的三边的三边的三边的三边a, b, ca,
14、b, c满足满足满足满足b b2 2+c+c2 2=5a=5a2 2,BE,CF,BE,CF分别为边分别为边分别为边分别为边AC, CFAC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究探究探究探究BEBE与与与与CFCF的位置关系。的位置关系。的位置关系。的位置关系。(A)(A)F FB BC CE EOy yx x 解：解：以以ABC的顶点为原的顶点为原点点,边边AB所在的直线所在的直线x轴，建立轴，建立直角坐标系，由已知，点直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为的坐标分别为A(0,
15、 0) , B(c, 0) , F . ，(A)(A)F FB BC CE EOy yx x所以所以所以所以2x2x2 2+2y+2y2 2+2c+2c2 2-5cx=0.-5cx=0.设设设设C C点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为(x,y)(x,y)，则点，则点，则点，则点E E的坐标的坐标的坐标的坐标为为为为 ，由由由由b b2 2+c+c2 2=5a=5a2 2，|AC|AC|2 2+|AB|+|AB|2 2=5|BC|=5|BC|2 2，即即即即x x2 2+y+y2 2+c+c2 2=5(x-c)=5(x-c)2 2+y+y2 2 ，=-(2x=-(2x2 2+2y+2y2 2+2c
16、+2c2 2-5cx)/4=0-5cx)/4=0 因为因为因为因为= = ，所以所以所以所以= = 。(x/2 - c, y/2)(c/2 - x, -y)(x/2 - c, y/2)(c/2 - x, -y)因此，因此，因此，因此，BEBE与与与与CFCF互相垂直互相垂直互相垂直互相垂直. . . .(x/2,y/2)(x/2,y/2)(x/2-c, y/2)(x/2-c, y/2)(c/2 - x, -y)(c/2 - x, -y)(c/2, 0) 例例例例1. 1.已知已知已知已知ABCABC的三边的三边的三边的三边a, b, ca, b, c满足满足满足满足b b2 2+c+c2 2=
17、5a=5a2 2,BE,CF,BE,CF分别为边分别为边分别为边分别为边AC, CFAC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究探究探究探究BEBE与与与与CFCF的位置关系。的位置关系。的位置关系。的位置关系。(A)(A)F FB BC CE EOy yx x探究探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？，你
18、认为建立直角坐标系时应注意些什么？(A)(A)F FB BC CE EOy yx x练习，证明：三角形的三条高线交于一点练习，证明：三角形的三条高线交于一点练习，证明：三角形的三条高线交于一点练习，证明：三角形的三条高线交于一点证明证明:如图，如图，AD，BE，CO分别是三角形分别是三角形ABC的三条高，的三条高，取取 ， 建立直角坐标系，建立直角坐标系，边边AB所在的直线为所在的直线为x轴轴边边AB上的高上的高CO所在的直线为所在的直线为y轴轴设设A,B,C的坐标分别为（的坐标分别为（-a,0),(b,0),(0,c)，则，则kAC= , kBC= .因为，所以因为，所以kAD= , kBE
19、= .由直线的点斜式方程，得直线由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为的方程为 。直线直线BE的方程为的方程为 。由方程由方程与与 ，解得，解得 。所以，所以，AD,BE的交点的交点H在在y轴上。因此，三角形的三条高线相交于轴上。因此，三角形的三条高线相交于一点一点x=0c/a-c/bb/c-a/c坐坐坐坐 标标标标 法法法法(3)(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 建系时，根据几何特点建系时，根据几何特点建系时，根据几何特点建系时，根据几何特点选择适当选择适当选择适当选
20、择适当的直角坐标系，的直角坐标系，的直角坐标系，的直角坐标系，注意以下原则：注意以下原则：注意以下原则：注意以下原则：(1)(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；通过上面的例题，同学们你能归纳坐标法，建系时应注通过上面的例题，同学们你能归纳坐标法，建系时应注意什么？意
21、什么？1、两个定点的距离为、两个定点的距离为6，点，点M到这两个定点的距离的到这两个定点的距离的平方和为平方和为26，求点，求点M的轨迹的轨迹解：设两定点为解：设两定点为A,B， ， ，AB所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系以线段以线段AB的中点为原点的中点为原点设动点为设动点为M（x,y)，由已知得到，由已知得到 ，即即 ，整理得整理得 。则则A,B的坐标分别为的坐标分别为 ， 。所以，点所以，点M的轨迹方程为的轨迹方程为 。（-3，0）（3，0）建系建系求坐标求坐标找关系式找关系式代入坐标代入坐标化简化简方程方程。变形变形、两个定点的距离为、两个定点的距离为6，点，点M
22、到这两个定点的距离到这两个定点的距离的和为的和为10，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程解：设两定点为解：设两定点为A,B， ， ，AB所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系以线段以线段AB的中点为原点的中点为原点设动点为设动点为M（x,y)，由已知得到，由已知得到 ，根据椭圆的定义，根据椭圆的定义，M的轨迹是以的轨迹是以A,B为为 ，长轴长长轴长2a= 的椭圆，则的椭圆，则c= ,a= ,b= .则则A,B的坐标分别为的坐标分别为 ， 。所以，点所以，点M的轨迹方程为的轨迹方程为 。（-3，0）（3，0）建系建系求坐标求坐标找关系式找关系式定义判断定义判断焦点焦点10354变形
23、变形、ABC中，若中，若AB的长度为的长度为6，中线，中线CD的长为的长为4，建立适当的坐标系，求点，建立适当的坐标系，求点C的轨迹方程的轨迹方程解：解： ， ，AB所在直线为所在直线为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系以线段以线段AB的中点为原点的中点为原点设动点为设动点为C（x,y)，由已知得到，由已知得到 ，即即 ，整理得整理得 。则则A,B的坐标分别为的坐标分别为 ， 。所以，点所以，点C的轨迹方程为的轨迹方程为 。（-3，0）（3，0）建系建系求坐标求坐标找关系式找关系式代入坐标代入坐标化简化简(x3)(x3)2、已知点、已知点A为定点，线段为定点，线段BC在定直线在定直线l上滑动，
24、已知上滑动，已知 BC =4，点，点A到定直线到定直线l的距离为的距离为3，求，求ABC的的外心外心的的轨迹方程。轨迹方程。2、已知点、已知点A为定点，线段为定点，线段BC在定直线在定直线l上滑动，已知上滑动，已知 BC =4，点，点A到定直线到定直线l的距离为的距离为3，求，求ABC的的外心外心的的轨迹方程。轨迹方程。 解决此类应用题的关键：解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应）3、列式、列式（方程与坐标的对应）（方程与坐标的对应）4、化简、化简5、说明、说明坐坐 标标 法法。MMN NOOP PX Xy y 例例2
25、 圆圆O1与圆与圆O2的半径都是的半径都是1，|O1O2|=4，过动点，过动点P分别作圆分别作圆O1、圆、圆O2的切线的切线PM、PN (M、N分别为切点分别为切点),使得使得PM= PN，试建立适当的坐标系，求动点，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹的轨迹方程。方程。 解：以直线解：以直线解：以直线解：以直线OO1 1OO2 2为为为为x x轴，线段轴，线段轴，线段轴，线段OO1 1OO2 2的垂直平分线为的垂直平分线为的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴，建立平轴，建立平轴，建立平轴，建立平面直角坐标系，面直角坐标系，面直角坐标系，面直角坐标系， 则两圆的圆心坐标分别为则两圆的圆心坐标分别
26、为则两圆的圆心坐标分别为则两圆的圆心坐标分别为OO1 1(-2, 0)(-2, 0)，OO2 2(2, 0)(2, 0)，设，设，设，设P(x, y) P(x, y) 则则则则PMPM2 2=PO=PO1 12 2-MO-MO1 12 2= =同理，同理，同理，同理，PNPN2 2= =1、点、点M(4,3)关于点关于点N(5,-3)的对称点是（的对称点是（ ）A.(4,-3) B.(9/2,0) C.(-1/2,3) D.(6,-9)3、已知、已知M(-2,-3)与与N(1,1)是两个定点，点是两个定点，点P(x,3）在线）在线段段MN的垂直平分线上，则点的垂直平分线上，则点P的横坐标的横坐
27、标x的值是（）的值是（）A.-35/6 B.3/2 C.7/2 D.32、已知、已知ABC的顶点的顶点A(3,-7)，B(5,2)，C(-1,0)，则，则ABC的重心的重心G的坐标是（的坐标是（ ）A.(7/3,-5/3) B.(7/3,-3) C.(-1/3,5/3) D.(-1/3,-3)4、y轴存在一点轴存在一点P，满足，满足P与与A(4,-6)的距离等于的距离等于5，则，则点点P的坐标为的坐标为 。平面直角坐标系平面直角坐标系 中的伸缩变换中的伸缩变换思考：思考：怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线得到曲线得到曲线y=sin2
28、x?y=sin2x? 在正弦曲线在正弦曲线在正弦曲线在正弦曲线y=sinxy=sinx上任取一点上任取一点上任取一点上任取一点P(x, y)P(x, y)，保持纵坐标不，保持纵坐标不，保持纵坐标不，保持纵坐标不变，将横坐标变，将横坐标变，将横坐标变，将横坐标x x缩为原来的缩为原来的缩为原来的缩为原来的1/21/2，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线，就得到正弦曲线y=sin2xy=sin2x。xOO 2 y上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换即：设即：设即：设即：设P(x,
29、y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标保持纵坐标保持纵坐标保持纵坐标y y不变，将横坐标不变，将横坐标不变，将横坐标不变，将横坐标x x缩为原来缩为原来缩为原来缩为原来1/21/2，得到点，得到点，得到点，得到点P(x, y)P(x, y)，坐标对应关系为：，坐标对应关系为：，坐标对应关系为：，坐标对应关系为： 我们把我们把我们把我们把式叫做平面直角坐标式叫做平面直角坐标式叫做平面直角坐标式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。系中的一个坐标压缩变换。系中的一个坐标压缩变换。系中的一个坐标压
30、缩变换。怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线得到曲线得到曲线y=3sinx?y=3sinx? 在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点在正弦曲线上任取一点P(x, y),P(x, y),保持横坐标保持横坐标保持横坐标保持横坐标x x不变，将纵坐标伸长不变，将纵坐标伸长不变，将纵坐标伸长不变，将纵坐标伸长为原来的为原来的为原来的为原来的3 3倍，就得到曲线倍，就得到曲线倍，就得到曲线倍，就得到曲线y=3sinxy=3sinx。xOO2 y上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换上述变换
31、实质上就是一个坐标的伸长变换上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换即：设即：设即：设即：设P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点，是平面直角坐标系中任意一点， 设设设设P(x, y)P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x x不变，将纵坐标不变，将纵坐标不变，将纵坐标不变，将纵坐标y y伸长为原来的伸长为原来的伸长为原来的伸长为原来的3 3倍，得到点倍，得到点倍，得到点倍，得到点P(x, y),P(x,
32、 y),坐标对应关系为：坐标对应关系为：坐标对应关系为：坐标对应关系为：我们把我们把我们把我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换. . 在正弦曲线在正弦曲线在正弦曲线在正弦曲线y=sinxy=sinx上任取一上任取一上任取一上任取一点点点点P(x, y)P(x, y)，保持纵坐标不变，将，保持纵坐标不变，将，保持纵坐标不变，将，保持纵坐标不变，将横坐标横坐标横坐标横坐标x x缩为原来的缩为原来的缩为原来的缩为原来的1/2;1/2;怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线怎样由正弦
33、曲线怎样由正弦曲线y=sinxy=sinx得到曲线得到曲线得到曲线得到曲线y=3sin2x? y=3sin2x? x xy yO 在此基础上，将纵坐标变为原来在此基础上，将纵坐标变为原来在此基础上，将纵坐标变为原来在此基础上，将纵坐标变为原来的的的的3 3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.y=3sin2x. 即在正弦曲线即在正弦曲线即在正弦曲线即在正弦曲线y=sinxy=sinx上任取一点上任取一点上任取一点上任取一点P(x,y)P(x,y)，若设点，若设点，若设点，若设点P(x,y)P(x,y)经变换得到点为经变换得到点为经变换得到点为
34、经变换得到点为P(x, y)P(x, y)，坐标对应关系为，坐标对应关系为，坐标对应关系为，坐标对应关系为: : 。把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换设设设设P(x, y)P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换是平面直角坐标系中任意一点，在变换是平面直角坐标系中任意一点，在变换是平面直角坐标系中任意一点，在变换: :定义定义定义定义: :的作用下，点的作用下，点的作用下，点的作用下，点P(x, y) P(x, y) 对应
35、对应对应对应P(x, y).P(x, y).称称称称 为为为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。 上述上述上述上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下都是坐标伸缩变换，在它们的作用下都是坐标伸缩变换，在它们的作用下都是坐标伸缩变换，在它们的作用下, ,可可可可以实现平面图形的伸缩。以实现平面图形的伸缩。以实现平面图形的伸缩。以实现平面图形的伸缩。 在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行
36、伸缩变换。角坐标系下进行伸缩变换。角坐标系下进行伸缩变换。角坐标系下进行伸缩变换。 把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；可以用坐标伸缩变换得到；可以用坐标伸缩变换得到；可以用坐标伸缩变换得到； 例例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换经过伸缩变换:后的图形。后的图形。(1) 2x+3y=0;(2) x2+y2=1解：解：解：解：(1)(1)由伸缩变换由伸缩变换由伸缩变换由伸缩变换得到得
37、到得到得到代入代入代入代入 2x+3y=0;2x+3y=0;； 得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是(2)(2)将将将将代入代入代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，在伸缩变换在伸缩变换在伸缩变换在伸缩变换下，下，下，下，直线仍然变成直线，直线仍然变成直线，直线仍然变成直线，直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆，而圆可以变成椭圆，而圆可以变成椭圆，而圆可以变成椭圆，那么椭圆
38、可以变成圆吗？那么椭圆可以变成圆吗？那么椭圆可以变成圆吗？那么椭圆可以变成圆吗？抛物线、双曲线变成什么曲线？抛物线、双曲线变成什么曲线？抛物线、双曲线变成什么曲线？抛物线、双曲线变成什么曲线？补充练习：补充练习：补充练习：补充练习：1 1 求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：后的点的坐标：后的点的坐标：后的点的坐标：（1 1，2 2）；）；）；）； （-2-2，-1-1）. .2 2 曲线曲线曲线曲线C C经过伸缩变换经过伸缩变换经过伸缩变换经过伸缩变换后的曲线方程是后的曲线方程是后的曲线方程是后的曲线方程是则曲线则曲线则曲线则曲线C
39、C的方程是的方程是的方程是的方程是 . .3 3 将点（将点（将点（将点（2 2，3 3）变成点（）变成点（）变成点（）变成点（3 3，2 2）的伸缩变换是（）的伸缩变换是（）的伸缩变换是（）的伸缩变换是（ ）4 曲线曲线变成曲线变成曲线的伸缩变换是的伸缩变换是 .5 5 在伸缩变换在伸缩变换在伸缩变换在伸缩变换与伸缩变换与伸缩变换与伸缩变换与伸缩变换的作用下，的作用下，的作用下，的作用下，单位圆单位圆单位圆单位圆分别变成什么图形？分别变成什么图形？分别变成什么图形？分别变成什么图形？6 6 设设设设MM1 1是是是是A A1 1(x(x1 1, y, y1 1) )与与与与B B1 1(x(
40、x2 2, y, y2 2) )的中点，经过伸缩变换后的中点，经过伸缩变换后的中点，经过伸缩变换后的中点，经过伸缩变换后, , 它们分别为它们分别为它们分别为它们分别为MM2 2, A, A2 2, B, B2 2，求证：，求证：，求证：，求证：MM2 2是是是是A A2 2B B2 2的中点的中点的中点的中点. .7 7 已知点已知点已知点已知点A A为定点，线段为定点，线段为定点，线段为定点，线段BCBC在定直线在定直线在定直线在定直线 l l 上滑动，已知上滑动，已知上滑动，已知上滑动，已知 |BC|=4|BC|=4，点，点，点，点A A到直线到直线到直线到直线 l l 的距离为的距离为
41、的距离为的距离为3 3，求，求，求，求 ABCABC的外心的的外心的的外心的的外心的 轨迹方程。轨迹方程。轨迹方程。轨迹方程。 则则则则A A（0 0，3 3）B B（x-2, 0x-2, 0）C(x+2, 0),C(x+2, 0), 以以以以 l l 为为为为X X轴，过定点轴，过定点轴，过定点轴，过定点A A垂直于垂直于垂直于垂直于X X轴的直线为轴的直线为轴的直线为轴的直线为Y Y轴建轴建轴建轴建立直角坐标系，立直角坐标系，立直角坐标系，立直角坐标系，设设设设 ABCABC外心为外心为外心为外心为P P（x,yx,y）, ,由由由由|PA|=|PB|PA|=|PB|得得得得 8 在同一直
42、角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线换：曲线 4x2+9y2=36 变为曲线变为曲线 x2+y2=1 9 在同一直角坐标系下，经过伸缩变换在同一直角坐标系下，经过伸缩变换 后后,曲线曲线C变为变为x29y2 =1,求曲线求曲线C的方程并画出图形。的方程并画出图形。 y y y yx x x xB B B BA A A AC C C CP P P Po o o o 以接报中心为原点以接报中心为原点以接报中心为原点以接报中心为原点OO，以，以，以，以BABA方向为方向为方向为方向为x x轴，建立直角轴，建立直角轴，建立直角轴，建立直角坐标系坐标系坐标
43、系坐标系. .设设设设A A、B B、C C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，则则则则 A(1020, 0), B(A(1020, 0), B(1020, 0), C(0, 1020)1020, 0), C(0, 1020) 设设设设P P（x, yx, y）为巨响为生点，）为巨响为生点，）为巨响为生点，）为巨响为生点，因因因因A A点比点比点比点比B B点晚点晚点晚点晚4s4s听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，故故故故|PA|PA| |PB|=3404=1360|PB|=3404=1360 由由由由B B、C C同时
44、听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得|PC|=|PB|PC|=|PB|，故故故故P P在在在在BCBC的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线POPO上，上，上，上，POPO的方程为的方程为的方程为的方程为y=y=x x，由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义P P点在以点在以点在以点在以A, BA, B为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线 上上上上a=680, c=1020, a=680, c=1020, b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=1020=10202 2-680-6802 2=5340=53402 2. . 所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：用用用用y=y=x x代入上式，得代入上式，得代入上式，得代入上式，得 答答答答: :巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北45450 0, , 距中心距中心距中心距中心
