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1、高二数学高二数学-10.3-10.3 组合组合10.3 组合学法导引学习本节的一个最重要方面是一定要分清排列问题还是组合问题，区分方法是，你只要在你求得的一种情况中，把元素的位置交换一下，如果是一个新的符合的情况，就是排列问题，否则就是组合问题知识要点精讲知识点 1 组合的定义从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合知识点 3 组合与排列的区别与联系(1)排列是有序的，组合是无序的(2)从 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的排列，可以看成先从这 n 个不同的元素中取出 m(mn)个元素的组合后，再将这 m 个元素作全排列得
2、到即：解题方法、技巧培养排列组合问题，大部分都可以归结为某种模式，因此在排列组合的学习过程中，重视模式化思维方式的学习，一方面在于模式化思维方式在解决排列组合问题中的直接使用，能使我们尽快地、准确地把握问题的本质，形成良好的解决问题的思维习惯；另一方面在于对学生数学思维训练的价值和潜在的智力素质的发展与形成的重大影响出题方向 1 分解与合成模式分解与合成模式是排列组合问题中的一种最基本的解题思维模式当我们把一个问题分解成几个过程(或者是分解成几个子问题)，逐一解决，然后再依据问题分解后的结构形式将问题合成，从而得到原问题的解，这样的思考问题的思维方式叫做分解与合成的解题模式例 1 30030
3、能被多少个不同的偶数整除？解 先把 30030 分解成质因数的乘积形式3003023571113，依题意就是要求所有偶数因数的个数，而要得到偶数因数，必须先取定 2，再认其余五个质因数中任取若干个(每个因数最多取一次)组成乘积，显然，这样的乘积的个数，即 30030 的偶数因数的个数为点拨 本题求因数的个数的方法仅适用于这个数的质因数互不相同，即质因数的次数都是 1 的情况，其他的情况参见 10.1 节相关例题例 2 (1)利用正方体的 8 个顶点可构成多少个三棱锥？(2)利用正方体的 8 个顶点可以连成多少对异面直线？(2)每一个三棱锥上有 3 对异面直线，而正方体的 8 个顶点可构成58
4、个三棱锥， 正方体的 8 个顶点可以连成 583174 对异面直线点拨 上述两例题解题过程均是利用分解与合成的模式进行处理例 1 中是对解题结构进行分解，利用分类计数原理，把两个过程合成；在例 2(2)中我们是对解题过程进行分解，利用分步计数原理把两类合成这种合成方式上的不同，在解题过程中要特别注意区分出题方向 2 映射模式对于一个排列组合问题 A，如果能找到一个问题 B，使问题 B 与问题 A 在解的个数上存在一个一一映射的关系，我们就可以通过解决B 而达到解决 A 的目的这样的考虑问题的方式，我们把它叫做映射模式例 3 用 1，2，3，4，5 这五个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数有
5、多少个?分析 根据题意，可知这种三位数的个位数字有五种情况，而这五种情况中，只有两种情况能使这个三位数是偶数设问题 A：由 1，2，3，4，5 中取三个排成的所有的三位数，问题 B：由1，2，3，4，5 这五个数字中取三个排成的所有偶数由于存在这样的一个一一映射，使 A 中 5 个三位数与 B 中 2 个符合条件的三位偶数对应想一想 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数有多少个？例 4 有两组平行线，第一组平行线有 5 条，第二组平行线有 6条，第一组平行线与第二组平行线相交，问这两组平行线能构成多少个平行四边形？想一想 圆上有 12 个点，过每两点连一条直
6、线，这些直线在圆内的交点有多少个?点拨 映射模式在解排列组合问题中，是一种常见的思考问题的方式，例 3 与例 4 主要是在两类计数问题的结果上建立了一种对应关系，在其他问题中，我们有时也可从两个问题的关系与结构上找到对应关系，或者还可以从两个问题的已知条件上去找到某种对应关系，从而顺利解决问题出题方向 3 叠加模式设集合 A，B 均为集合 U 的子集，用 P(x)表示集合中元素个数，根据容斥原理，可以得到：我们可以用这个结论处理一些排列组合问题例 5 甲、乙等五人站成一排，其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种?分析 用集合 U 表示五个人的全排列的集合，集合 A 表示甲站排头的所有排列，集
7、合 B 表示乙站排尾的所有排列，其中 A，B 均为U 的子集，由容斥原理即符合条件的排法数是 78例 6 9 名翻译中，6 名会英语，5 名会日语，现要安排 4 名翻译英语，3 名翻译日语，共有多少不同的安排方法点拨 从以上三例我们可以发现，从集合的叠加原理出发，可以解决一系列有关的排列组合问题，同时它能把一个复杂的问题变得特别的明朗、清晰我们把这样的解决问题的思维方法叫做叠加模式出题方向 4 化归模式在处理复杂的排列组合问题时，可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题找到解题方法，从而进一步解决原来的问题例 7 25 人排成 55 方阵，现从中选 3 人，要求 3 人不在同
8、一行也不在同一列，不同的选法有多少种分析 把这样的一个问题：从 9 人排成的 33 的方阵中，选出不在同一行也不在同一列的 3 人，有多少选法这个问题相对原来的问题简单，只要选出一个人后把这个人所在的行所在的列划掉，然后再继续选就可以了然后我们再从 55 的方阵中选出 3 行 3 列，就可以得到一个33 的方阵，再在 33 的方阵中选 3 人，便可得答案想一想 把 25 人排成 55 方阵，其中甲、乙二人不相邻(指甲、乙前后、左右、左前、右前、左后、右后均不相邻)的排法有多少例 8 如图 1033 是某一城市的街区图，由 12 个全等的矩形街区构成，其中实线表示街道，问从 A 到 B 的最短路
9、程有多少种根据上述情况，我们可以找到原问题的关键所在，这就是：在图 1的每种最短路程的走法中，都必须包含走过 3 条长为 a 的边，4 条长为 b 的边，即应该一共走过七条边从这个角度来说，又可以把这个问题化归成由 3 个 a，4 个 b 共 7 个字母的排列有多少的问题想一想 如果某一城市的街区图如图(1034)，从 A 到 B 的路程最短的走法有多少?出题方向 5 整体模式与隔板模式在排列组合问题中有较多的相邻与不相邻的问题，或者同时也有那么一些可以通过化归的方法转化为相邻与不相邻的排列问题，可以通过整体模式与隔板模式的思维方式来处理问题，这类问题在考试中是比较常见的例 9 已知方程 xyzw100，求：(1)这个方程的正整数解的组数；(2)这个方程的自然数解的组数例 10 一条路有 12 盏路灯，为节约用电，关掉其中的 3 盏，如果不关相邻两盏，有多少不同的关灯的方案分析 这也是一个不相邻问题即被关掉的灯没有任何两盏是相邻的这样我们可以用隔板模式来处理问题把亮着 9 盏灯看成隔板，这时要特别注意这里的隔板是无序的出题方向 6 组合数与组合数的性质
