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1、计算力学 复习概要第一章第一章 里兹法步骤：里兹法步骤：由原问题建立变分原理，求得泛函 (u)；选取 适当的试探函数，即设试解；将试解代入泛函，求其一阶变分驻 值（即使泛函的变分等于零） ；求其待定系数并代入试解。 有限单元法步骤：有限单元法步骤：划分单元，输入结点和单元信息；单元分析： ；整体分析，引入位移边界条eeNKP、1,en eeeeKG K G1en eeePG P 件得到：；求解方程得到解 ；对位移 结果进行有关整KaP%aa理、计算单元或结点的应力、应变。 里兹法与有限元法的区别与联系：里兹法与有限元法的区别与联系：联系：有限元法是单元内的里兹 法；区别：应用区域不同，里兹法在
2、整个研究与内设试解，有限 元法需划分网格，在单元内设试解；试解的形式不同，里兹法可 以设各种形式的试解，而有限元法试解形式为多项式；收敛性条 件不同，里兹法的收敛条件是试探函数具有完备性和连续性；有限 元法要求泛函具有完备性和协调性。 最小势能原理：最小势能原理：第一步：写出泛函总位能表达式：第二步：写出其离散形式即单元位能泛函：即：第三步：识别矩阵：得到有限元形式：第四步：泛函取驻值得有限元方程：第二章第二章三角形单元编号规则：三角形单元编号规则：典型三结点三角形结点编号为 i、j、m，以逆时针方向编码为正向（顺时针编号则计算面积为负值） 。三角形单元的广义坐标为什么为三角形单元的广义坐标为
3、什么为 6 6 个：个：三个结点，每个结点有两个位移，广义坐标用 6 个结点位移表示。位移模式为什么是线性的：位移模式为什么是线性的：线性的才能满足常应变条件。形函数个数如何确定：形函数个数如何确定：几个结点就有几个形函数。形函数的两个重要性质（形函数的两个重要性质（P59P59）：）：0-1 特性；规一性。为什么三角形单元为常应力（变）单元：为什么三角形单元为常应力（变）单元：三角形单元的位移模式是线性的，应变即位移的一阶导数，故在单元内应变是常数，所以三角形单元为常应变单元（或答B B和D D为常数） 。刚度系数的物理意义（刚度系数的物理意义（P64P64）：）：单元刚度矩阵中每一个元素反
4、映了单元刚度的大小，称为刚度系数。元素的 Kij物理意义：当单元的第 j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第 个结点i位移方向上施加的结点力大小。单元刚度大，则使结点产生单位位移所需施加的结点力就大。为什么刚度矩阵是奇异的（为什么刚度矩阵是奇异的（P65P65）：）：考虑刚度矩阵的对称性，刚度矩阵的每一行（列）元素和为零；另外，单元可发生刚体位移并处于平衡。综上，3 结点三角形单元 6*6 阶刚度矩阵只有 3 行（列）是独立的，因而刚度矩阵是奇异的。单元刚度矩阵有哪些性质（单元刚度矩阵有哪些性质（P65P65）：）：对称性；奇异性；主元恒正；平面图形相似性（弹性矩阵 D、厚度
5、t 相同的矩阵，单元刚度矩阵相同） ；结点编号对应性（局部结点编号与整体结点编号对应） 。求等效结点载荷求等效结点载荷: :图示6节点三角形单元的1-4-2边上作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效节点载荷。st1:利用面积坐标求出6结点三角形单元的插值函数。各结点的面积坐标为：321LLL，1（1,0,0） 2（0,1，0） 3（0,0,1）4（,，0） 5（0，） 6（，0，）21 21 21 21 21 21各边的方程为:1-4-2：；2-5-3：；3-6-1：03L01L02L5-6：；6-4：；4-5：123L121L122L用划线法求得插值函数为：) 12(111LLN)
6、12(222LLN) 12(333LLN2144LLN 3254LLN 1364LLN st2:求单元等效结点载荷qqx0yq补充：面积坐标积分公式补充：面积坐标积分公式lbabadsLLb jla i1!0则：qltllqtdsLdsLqtqtdsLLtdsqNPllllxx61)!101 (! 0 ! 1)!102(! 0! 222) 12(0012 1101011 同理得到： qltPx61 20653xxxPPPqltPx324而，故。0yq0iyP所以，等效结点载荷为：TeqltP112000003200061061 总刚度矩阵的集成：总刚度矩阵的集成：具体写出刚度矩阵 中的哪些元素
7、对总体刚度矩阵K中的下列行eK和列有贡献（1）59 行 61 列；（2）38 行 39 列；（3）59 行 59 列；（4）37行 37 列。解：编号为 i 的结点对第 2i-1 和第 2i 行（列）有贡献。则单元刚度矩阵中的行（列）编号与总刚矩阵行（列）编号有下表中的对应关系：节点号1/192/303/314/20总刚3738596061623940单元刚阵12345678由此可以看出：以上四个位置分别对应于：。11332735,KKKK总刚矩阵的性质：总刚矩阵的性质：对称性；奇异性；主元恒正；带状稀疏性产生带状稀疏性的原因：产生带状稀疏性的原因：只有建立联系的结点对应的位置才不为零；结点编
8、号具有连续性，相邻结点号码差别不大。结点编号方法：结点编号方法：从短边起沿一个方向编号；求半带宽和存储量：求半带宽和存储量：乘大数法引入边界条件（乘大数法引入边界条件（P74P74）：）：答：设：，则令，即：jjaa1010,其中，jjjjKK1112112112122222221222 12 222 222jnjnjjjjj njjjjnnnjn nnnkkkkaPkkkkaPkkkkak akkkkaPLLLLMMMMMMLLMMMMMMLL修改后的第 个方程为j1 12222jjjjjj nnjjjk ak ak akak aLL由于0 ()ijjjkijk()jjijkkij得：jjj
9、jjjk ak a所以jjaa对于多个给定位移时，则按序将每个给定位移都作上12,ljc ccL述修正，得到全部进行修正后的 K 和 P，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。PPTPPT 式式 2.5.52.5.5 必考题（即矩形单元插值函数）：必考题（即矩形单元插值函数）：建立局部坐标如图：各点、各边在局部坐标下的坐标或公式为：1（1,1） 2（-1,1） 3（-1，-1） 4（1，-1）0-12-1：0-14-1：013-2：014-3：求解需划线：2-3,3-4，得：，将1点代入得：1N)1)(1 (1 kN。41k则有：)1)(1 (411N)1)(-1 (412N)-
10、1)(-1 (413N)-1)(1 (414N二次单元面积坐标（写形函数、特殊点面积坐标、求等效结点载荷）二次单元面积坐标（写形函数、特殊点面积坐标、求等效结点载荷）第三章第三章一维二维拉格朗日形函数：一维二维拉格朗日形函数：一维xy坐标： jijnijjixxxxxN , 1一维0-1坐标（其中， 值在0-1间线性插值确定） jijnijjiN , 1三角形单元采用面积坐标，四边形单元采用0-1坐标，划线法得结果。SerendipitySerendipity单元形函数：单元形函数：第四章：第四章：等参元的概念和优点：等参元的概念和优点：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场 函数采用相同数目
11、的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等 参变换的单元称之为等参数单元。优点:对单元形状的适应性强；单 元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化） ；便于编制通用化程序。等参单元的收敛性：等参单元的收敛性：等参单元的插值函数与母单元相同，母单元收敛故等参单元收敛。计算二维情形下的雅各比矩阵并证其为常数：计算二维情形下的雅各比矩阵并证其为常数：对于二维平行四边形有，（7.1441131241122443331241144( , ) ( , )ii iiii iixyNNNNNNxyxyx yJxyNNNNNNxyxy ）等参变换下取，而在自然坐标下不妨设该平行四边形的四 iiNN边的方程分别为：
12、0ab0c0ab0c从而知道：；11()()Nkabc22()()Nkabc33()()Nkabc。44()()Nkabc其中，11 4kac 21 4kac31 4kac 41 4kac解得四个节点的坐标，一并代入方程 7.1 得：J 的四个元素均为常数，故有 4 节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵。等参变换的条件及等参变换的条件及|J|=0|J|=0的条件：的条件：等参变换的条件为雅各比行列式不为零，其为零的情况为：或或。0|d0|d0),sin(dd积分点个数的选取：对于空间 8 节点（线性）六面体单元： ( , )iN 1, , , ,x y z xy yz zx xyzB
13、DB221, ,x xy xzx yLJ常数所以2m 因而积分点数为：矩阵2 2 2 对于空间 20 节点（二次）六面体单元： ( , )iN 2223332222221, , , ,x y z xyzxyzxy yz zx x y xyx z xzy z yzxyzB DB41, ,x xy xzxLJ常数所以4m 因而积分点数为：矩阵。3 3 3 第九章：第九章： 轴力杆单元的刚度矩阵：2结点：，则121,12121NN 1111lEAKe3结点：，则121-11-2132 21NNN， 148-1-8-1621214lEAKe4结点：46-266-126-12-26-46612-612l
14、EAKe第十三章：第十三章：动力学有限元与静力学有限元的区别和联系：动力学有限元与静力学有限元的区别和联系：相同：网格是相同的；形函数是一样的；几何方程、应力应变关系相同；刚度系数矩阵一样。不同：动力学问题的位移、应力应变均与时间有关；动力学问题包含质量矩阵和阻尼矩阵，即有限元方程不同；动力学问题将偏微分方程化为了常微分方程；11.52mn12.52mn静力学问题将偏微分方程化为了线性方程；动力学问题方程求解更复杂，时间更长。协调质量矩阵与集中质量矩阵：协调质量矩阵与集中质量矩阵：根据伽辽金法采用位移插值函数导出的质量矩阵称为协调质量矩阵；假定单元质量集中在节点上，得到的对角矩阵称为集中质量矩阵。引入集中质量矩阵的目的：引入集中质量矩阵的目的：形成对角矩阵，简化计算，使方程解耦。质量矩阵的求法：
