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1、甘肃省武威六中高中数学论文甘肃省武威六中高中数学论文从一道求函数值域的题说开从一道求函数值域的题说开理理从一道求函数值域的题说开在研究函数值域时经常会碰到这样一类函数值域的求法：例：求函数 y=的值域.解：此函数的定义域.视函数式为关于 x 的方程，变形得 显然（若不然， ，则方程为：不成立.）,方程有实根的充要条件是.故函数的值域为 .上述解法通常称为判别式法，但我不赞成这中说法，原因这不是实质，其实质是方程法.在众多的书刊与教学中，人们只孤立介绍“反函数法“、“分离中间变量法“、“利用函数有界性法“、“判别式法“等特殊方法来求函数的值域，而对这些方法的共性与实质联系却很少予以问津.事实上，
2、上述方法都是运用了方程思想，把函数式 y=f(x)看作关于 x 的方程（y为参数） ，在此基础上依据各自的原理进行探求.其中“判别式法“不需要通过解方程，只要直接利用关于 x 的一元二次方程有实根的条件，求出使该方程有实数解的 y 的取值范围，就能确定相应函数的值域.因而此法较之其他各法更能受到师生的“青睐“.但善于思索的学生难免会问：（）为什么“判别式法“所涉及的两种不同定义的集合，即“使关于 x 的方程有实根的 y 的取值集合“与所给函数的值域恰好相同？（）既然其他各法也都是方程的观点审视函数为出发点，那么有关函数的值域是否也可直接利用方程有解的条件来加以确定，从而简化其求解步骤呢？下面，
3、我就一般情形来解释上述问题之（） ，随之问题（）也获得解释.所谓方程法：即把函数解析式 y=f(x)(将 y 视为常数)视为关于x 的方程，求出方程在定义域 xA 上有解的充要条件，即得值域yC.其理论依据如下：定理：设函数 y=f(x)的定义域为 A，值域为 B，又设“使关于 x 的方程 y=f(x)在 A 中有解的 y 的取值集合“为 B,则 B=B 成立.（）设 y0 是 B中的任意一值，则有集合 B的定义可知，关于 x 的方程 y0= f(x)在 A 中定有实数解 x0,这样，对于 x0A，就有 f(x0)= y0 成立，说明 y0 是函数 y=f(x)的一个函数值，即y0B，故 B
4、B.（）又设 y1 是 B 中任意一值，根据函数是“从定义域 A 到值域 B 上的映射“， y1 在 A 中必有原象，因而当 y=y1 时“关于 x 的方程“ y=f(x)在 A 中有解，这说明 y1B，故 B B.由（） （）即证 B=B.据此，我们既可以解释用“判别式法“求有关函数值域的理由，又可以顺势将“判别式法“推广为“利用方程有解条件“去求原来只适用于其他方法的一些函数的值域.这样求解的本质特征是,把求函数值域的问题转化为求使“关于 x 的方程“在函数定义域内有解的 y 的取值集合问题，由于此法强化了方程思想的运用，因此就不妨称之为“方程法“.利用上面定理一方面可将函数值域转化为方程
5、有解问题，另一方面将方程有解的问题转化为值域问题下面再举几例.1.将函数值域转化为方程有解问题例 1. 函数的值域.解：由得关于 x 的方程，此方程在原函数定义域有解的充要条件是：故函数的值域为.例 2. 求函数的值域.解：由得关于 x 的方程，要使方程有解则解得故函数的值域为.例 3. 求函数的值域.解：由得（显然，否则会导致的矛盾）变形得关于 x 的方程，此方程在原函数定义域 R 上有解的充要条件是.故所求函数的值域为.例 4 .求函数 y=的值域.解 ：由 y=可得， ，即 ，这个关于的三角方程有解的条件是：.解得.故原函数的值域为.2. 将方程有解的问题转化为值域问题例 5 . 已知关
6、于 x 的方程 2+a2+a+1=0 有实根.求实数 a 的取值范围.分析 本题可以直接从方程的角度着手.但若将方程变形为 a=-，即将 a 视为 x 的函数，将原问题转化为求此函数的值域，不失为一种很好的方法.令 2+1=t， 则 t1，于是此即为所求的 a 的取值范围.例 6. 求使方程有实数解的实数 m 的取值范围.解 原方程等价于 原问题等价于方程在（-1，1）内有解的实数 m 的取值范围，即等价于函数的值域.令 1-x=t, 则 t(0,2).故 m 的取值范围为.3.注意的问题运用方程法求函数的值域切不能机械地搬用，要切实注意解题的严谨性，若考虑不周，结果往往发生“伪值“、“漏判“
7、或回避矛盾的错误，使结论不准确、不可靠.那么，怎样才能准确、合理地使用“方程法“求函数的值域呢？应该要注意些什么呢？我认为要注意两个方面：1函数定义域是求函数值域的大前提，定义域发生变化，值域有变化可能.2在解题过程中，每步变形或推理都要注意等价性或充要性.这是利用方程法正确地求函数值域的关键.下面略举几例用“方程法“求值域的例题，与大家共同探讨.例 7.求函数 y=的值域.错解： y=, yx2+yx+6y=x2+x-1，(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ， 因为方程是关于 x 的二次方程，它有实根的充要条件是=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0，即(y-1)(23y+5)
8、0, 解得， 。原函数的值域为y| .剖析：事实上，当 y-1=0，即 y=1 时，方程不再是关于 x 的二次方程了，就不能再用判别式了.正解： y=, (y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ， 当 y-1=0，即 y=1 时，方程为 7=0，不成立，故 y1；当 y-10，即 y1 时，=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)0，即(y-1)(23y+5) 0，解得，综上，得原函数的值域为y| .例 8求函数的值域.错解：原式变形为， ，解得.故所求函数的值域是.剖析：把代入方程显然无解，因此不在函数的值域内.事实上，时，方程的二次项系数为 0，显然不能用“来判定其根的存在情况.正解：
9、原式变形为，（1）当时，方程无解；（2）当时，解得.综合（1） 、 （2）知此函数的值域为.例 9. 求函数 y=的值域.错解： y= (x1)， yx2-y=x2+x-2，(y-1)x2-x-y+2=0，当 y-1=0，即 y=1 时，由得 x=1（舍去） ，y1；当 y-10，即 y1 时，=1-4(y-1)(-y+2)0，即(2y-3)20.yR.综上可得，原函数的值域为y| y1 且 yR.剖析：事实上，当 y=，即=时，解得 x=1，而当 x=1 时，原函数没有意义，故 y.产生错误的原因在于，当 x=1 时，(y-1)x2-x-y+2 的值等于零，所以 x=1 是方程的根，但这个根
10、不属于原函数的定义域，所以方程与方程不同解，故函数 y=不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通.正解：原函数可化为 y=（x1 且 x1） ，即 y=1+（x1 且x1） ，0，y1，又 x1，y.原函数的值域为y| y1 且 y .例 10. 求函数的值域.错解：将函数式化为，（1）当时，代入上式得，故属于值域；（2）当时， ，综合（1） 、 （2）可得函数的值域为.剖析：解中函数式化为方程时，产生了增根（与虽不在原函数的定义域内，但却是转化的方程的根） ，因此最后应该去掉与时方程中相应的值.正解：（x2 且 x3） ，即 y1（x2 且 x3）.0，y1，又 x3，y.所以正确答案为，且.综上所述，在用方程法求函数的值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域.因此，用方程法求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，只有知道这种方法的适用范围，以及应该注意哪些常见错误、有哪些局限性，才能避免盲目套用，也会在出现错误时及时加以纠正，只有这样，才算是真正掌握这种方法.其次，对于有些可用方程法求值域的函数，如果采取其他方法可能更加灵活、巧妙、简捷.用换元法还要注意定义域的变化.总之解数学问题，思维方法要采用辩证法，具体问题要具体对待.1用心 爱心 专心
