用微积分理论证明不等式的方法

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1、用微积分理论证明不等式的方法摘要：摘要：1.1.证明方法根据证明方法根据- -定积分的性质和变上限辅助函数理论定积定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一分性质之一: :设与为定义在上的两格可积函数设与为定义在上的两格可积函数, ,若则若则. .微积分学基本微积分学基本定理定理: :若函数在上连续若函数在上连续, ,则由变动上限积分则由变动上限积分,.,.关键词：微积分关键词：微积分, ,积分积分类别：专题技术类别：专题技术来源：来源：牛档搜索（牛档搜索（Niudown.COMNiudown.COM）本文系本文系牛档搜索（牛档搜索（Niudown.COMNiudown.COM）根据用户的

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3、数值不等式 (不含变量)对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函 数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造 辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规 方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题 转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式一、用导数定义证明不等式法一、用导数定义证明不等式法 1证明方法根据导数定义导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限)(xfy 0

4、x存在，则称函数在可导，称这极限为函数在点 xyxxxxxxfxf limlim000)()(0)(xf0x)(xfy 的导数，记作0x)(0xfy2证明方法：(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合0x)(0xfy已知条件去研究3例例 1:设函数，其中都为实数，nxaxaxaxfnsin2sinsin)(21LnaaaL,21为正整数，已知对于一切实数，有，试证：nxxxfsin)(1221nnaaaL分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：于是问题可以转化为证)0(221fnaaanL明1)0( f证明

5、：因则nxnaxaxaxfncos2cos2cos)(21L利用导数的定义得：nnaaafL212)0(由于xxfxxfxfxffxxx)()(lim0) 0 ()() 0 (limlim 000xxfsin)(所以即1sin) 0(lim 0xxfx1221nnaaaL4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与 结论之间的关系有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化， 以达到化繁为简的目的二用可导函数的单调性证明不等式法二用可导函数的单调性证明不等式法 1.证明方法根据可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数在可导

6、，则在内递增（递减）的充要条件是：)(xf),(ba)(xf),(ba.),(),0)(0)(baxxfxf定理二：设函数在连续，在内可导，如果在内)(xf,ba),(ba),(ba（或） ，那么在上严格单调增加（或严格单调减少）.0)( xf0)( xf)(xf,ba定理三：设函数在内可导，若（或） ，则在)(xf),(ba0)( xf0)( xf)(xf内严格递增（或严格递减）.),(ba上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数 研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数，取定闭区间；)(xf,ba如何构造辅助函数？ 利用不等式两边之差构

7、造辅助函数（见例 2） ； 利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数（见例 3） ； 若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为 易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数（见例 4）.(2)研究在上的单调性，从而证明不等式.)(xf,ba3.例例 2：证明不等式：.)0(1)1ln(122xxxxx分析：利用差式构造辅助函数，), 0,1)1ln(1)(22xxxxxxf则将要证明的结论转化为要证，而，因而只要证明)0( , 0)(xxf0)0(f.)0(),0()(xfxf证明：令，易知在), 0,1)1ln(1)(22xxxxxxf)

8、(xf上连续，且有，由定理二可知在), 0 ), 0(, 0)1ln()(2xxxxf)(xf上严格单调增加，所以由单调性定义可知，即), 0 )0( , 0)0()(xfxf.因此01)1ln(122xxxx.)0(1)1ln(122xxxxx例 3：求证：.bbaababa111分析：不等式两边有相同的“形式”: ：试构造辅助函数AA 1.利用定理二与在在上的单调性证明不等式.)0( ,1)(xxxxf)(xf), 0 证明：设辅助函数.易知在上连续，且有)0( ,1)(xxxxf)(xf), 0 , 0)1 (1)(2xxf.则由定理二可知在上严格单调增加.由，有)0( x)(xf),

9、0 baba0，得到)()(bafbaf，所以原不等式成立.bbaababbaababababa111111例 4：证明：当时，.0x2111)1 (x xex分析：此不等式为幂指数函数不等式，若直接利用差式构造辅助函数将很难求其导数，更很难判断其在上的单调性，可对不等式两边分别取对数得到), 0( ，化简得，在此基础上可利用差式构21)1ln()11 (xxx22)1ln()1 (2xxxx造辅助函数：，因，因而只要证明)0)(1ln()1 (22)(2xxxxxxf0)0(f即可.)0(),0()(xfxf证明：分别对不等式得两边取对数，有，化简有：21)1ln()11 (xxx.设辅助函

10、数，22)1ln()1 (2xxxx)0(),1ln()1 (22)(2xxxxxxf，易知在上连续，也在上连续，因)1ln(22)(xxxf)(xf), 0 )(xf ), 0 ，根据定理二，得在上严格单调增加，所以)0( , 012)( xxxxf)(xf ), 0 .又由在上连续，且，根据定理二可知)0( , 0)0()(xfxf)(xf), 0 0)( xf在上严格单调增加，所以，即)(xf), 0 )0( , 0)0()(xfxf，因此，即.0)1ln()1 (222xxxx)1ln()1 (222xxxx2111)1 (x xex4.适用范围 利用函数单调性证明不等式，不等式两边的

11、函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为 0，然)(xf)(xf后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性.)(xf )(xf三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法 1证明方法根据极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设在连续，在内可导，)(xf0x),(00x（i）若当时，,当时，,则),(00xxx0)( xf),(00xxx0)( xf在取得极大值;)(xf0x(ii) 若当时，,当时，,则),(00xxx0)( xf),(00xxx0)( xf在取得极小值.)(xf0x定理五（极

12、值的第二充分条件） 设在的某领域内一阶可导，在)(xf),(0x处二阶可导，且，,(i)若，则在取0xx 0)(0 xf0)(0 xf0)(0 xf)(xf0x得极大值；(ii)若，则在取得极小值.0)(0 xf)(xf0x极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间 上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反 映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数，并取定区间.)(xf如何构造辅助函数？ 当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数（见例 5）

13、； 当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数（见例 6） ；当不等式形如（或） （为常数）时，可设为辅助函数axg)(axg)(a)(xg（见例 7）.(2)求出在所设区间上的极值与最大、最小值.)(xf极值与最大、最小值的求法 极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条 件判定可疑点是否为极值点.最大、最小值的求法：（1）闭区间上连续函数的最大、最小值的求法：先,ba求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比较，最大者为最大值，最ba,小者为最小值.（2）开区间内可导函数的最大值、最小值的求法：若在),(ba)(xf内可导，且有唯一的极

14、值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.),(ba3.例例 5：证明：当时有.0x455 xx分析：利用差式构造辅助函数，这与前面利用函数单调)0( , 45)(5xxxxf性定义证明不等式中所构造辅助函数的方法相同，但由于在上不是单调函)(xf), 0( 数， （因对任意，且，不能0,21xx)(5)()()(,215 25 12121xxxxxfxfxx判断的符号）.所以不能用可导函数的单调)(xf性证明此不等式，则可采用函数的极值方法试之.函数的单调性证明此不等式，则可采用 函数的极值方法试之证明：构造辅助函数，则有)0( , 45)(5xxxxf令，解得，),1)(1)(1(5) 1)

15、(1(555)(2224xxxxxxxf0)( xf1x其中只有在区间内，由，有在1x), 0( ) 1 (45lim)(lim511fxxxf xx )(xf点连续因当时，则在上为减函数；当时，1x10 x0)( xf)(xf) 1 , 0(1x，则在上为增函数；由定理四可知，在处取得极小值，0)( xf)(xf), 1 ( )(xf1x即为区间上的最小值，所以当时，有故0) 1 (f), 0( 0x0) 1 ()( fxf即),0(0455xxx)0(455xxx例 6：设，则0, 0babb ba ba)()11(1分析：此不等式两边含有相同的“形式”：，可将不等式变形为B BA)(，可构造辅助函数bbbbbb aa11) 1() 1()0() 1()(1