学好微积分

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1、学好微积分摘要：微积分已成为现代人的基本素养之一摘要：微积分已成为现代人的基本素养之一,微积分将教微积分将教 会你在运动和变化中把握世界会你在运动和变化中把握世界,它具有将复杂问题化归为它具有将复杂问题化归为 简单规律和算法的能力简单规律和算法的能力.没有微积分很难理解现代社会正没有微积分很难理解现代社会正 在发生的在发生的.关键词：微积分微积分关键词：微积分微积分,微积分微积分类别：专题技术类别：专题技术来源：来源：牛档搜索（牛档搜索（Niudown.COM）本文系本文系牛档搜索（牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用

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3、奋斗的结 晶;这种奋斗已经历两千五百多年之久,它深深扎根于人类活动的许多领域,并且,只要 人们认识自己和认识自然的努力一日不止,这种奋斗就将继续不已.” 微积分是人类智力的伟大结晶.它给出一整套的科学方法,开创了科学的新纪元,并 因此加强与加深了数学的作用.恩格斯说:”在一切理论成就中,未必再有什么像 17 世纪 下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.如果在某个地方我们看到人类 精神的纯粹的和唯一的功绩,那就正是在这里.”有了微积分,人类才有能力把握运动和 过程.有了微积分,就有了工业革命,有了大工业生产,也就有了现代化的社会.航天飞机,宇 宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后

4、果.从此，数学一下子走到了前台.数学在 人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了. 微积分已成为现代人的基本素养之一，微积分将教会你在运动和变化中把握世界， 它具有将复杂问题化归为简单规律和算法的能力。没有微积分很难理解现代社会正在发 生的变化，很难跟上时代的脚步。 微积分使人类第一次有了如此强大的工具，它使得局部与整体，微观与宏观，过程 与状态，瞬间与阶段的联系更加明确。使我们既可以居高临下，从整体角度考虑问题， 又可以析理入微，从微分角度考虑问题。 微分学研究的是瞬间，如瞬时速度，瞬时变化率，都是瞬间的事情。而积分学研究 的是整体的性质，如求体积、面积、质量和转动惯量等。解决实际

5、问题需将微分学与积 分学结合在一起。常常是这样，通过瞬间列出微分方程，然后借助积分求解，回到整体。2 牛顿革命牛顿革命 牛顿把他的书定名为自然哲学的数学原理，目的在于向世人昭示 他将 原理数学化的过程，即他构造了一种自然哲学，而不是一般的哲学。牛顿的自 然哲学的数学原理，不仅在原理的发展上，在命题的证明和应用上是数学的，而且它 在将数学应用于自然哲学上提出了富有意义的新方法。牛顿引出了四个革命： 1）数学革命。微积分整个地改变了数学研究的内容和方向，有了微积分人们才会 处理运动和变化。由此，变量数学开始占统治地位。 2）科学革命。把数学应用于物理学与天文学上，引起了一场科学革命，并为其后 的工

6、业革命奠定了基础。世界面貌由此发生迅速而巨大的变化，世界政治格局 也发生巨大变化。英国，一个处于世界边缘的小小岛国，居然成了世界上第一 强国达 200 年之久。 3）牛顿革命也存在一种巨大的意识形态成分。1980 年，Berlin,Isaiah 对牛 顿的影响作了如下总结：牛顿的思想影响是巨大的；不管这些思想是否被正确地理解。整个启蒙运动的 纲领（尤其是在法国）是自觉地建立在牛顿的原理和方法的基础上的。并且从牛顿 的辉煌成就派生出启蒙运动的信心及其广泛的影响。这后来转变为的确，大大地 创造了西方现代文化。道德、政治、技术、历史、社会等等的某些中心概念和发 展方向，没有哪一个思想和生活领域能够逃

7、脱这种文化转变的影响。 4）在哲学上引出了“决定论”的世界观。那就是，大自然有规律，我们能够发现 它们。对这一世界观表达最清楚的是数学家拉普拉斯。在他的概率的哲学导 论中，他雄辩地指出，“假设有一位智者，在任意给定的时刻，他都能洞见 所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置，假使这一智者的智慧 巨大到足以使自然界的数据得到分析，他就能将宇宙中最大的天体和最小的原 子的运动统统纳入单一的公式之中，那么，对这样的智者来说，没有什么是不 能确定的，未来同过去一样都历历在目”。这一世界观直到混沌学诞生之后才 得以打破。 3促使微积分产生的主要因素促使微积分产生的主要因素 当代著名数学家哈尔莫斯

8、说，问题是数学的心脏。那么促使微积分产生的主要问题是 什么呢?微积分的创立首先是为了处理下列四类问题. 1）已知物体运动的路程与时间的关系,求物体在任意时刻的速度和加速度.反过来,已 知物体运动的加速度与速度,求物体在任意时刻的速度与路程. 困难在于 17 世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算平均速度可用运动 的时间去除运动的距离.但对瞬时速度,运动的距离和时间都是 0,这就碰到了 0/0 的问 题.这是人类第一次碰到这样微妙而费解的问题. 2）求曲线的切线.这是一个纯几何的问题,但对于科学应用具有重大意义.例如在 光学中,透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识.在运动中也遇到曲线的

9、切线问题. 运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向,是轨迹的切线方向. 实际上,切线本身的意义也是没有解决的问题.对于圆锥曲线,把切线定义为和曲 线只接触一点而且位于曲线一边的直线就足够了;这个定义古希腊人已经知道.但是对于 17 世纪所用的比较复杂的曲线,它就不适用了.怎样定义切线，怎样求出切线？这是新 时代面临的问题。 3）求函数的最大值和最小值问题.在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题.在天文学 中涉及到行星和太阳的最近和最远距离问题.在光学中这涉及到光线沿什么路线传播的 问题。自然界中存在许多这样的问题等待解决。 4） 求积问题.求曲线的弧长,曲线所围区域的面积,曲面所围的体积,物体的重心

10、 等.这些问题在古希腊已开始研究,但他们的方法缺乏一般性.人们期待着一般方法的出 现。 4 记忆与思考记忆与思考 学习任何学科都会碰到记忆与思考的问题，学习微积分也不例外。记忆的功能在于 积累基本知识，思考的功能在于将知识系统化，两者是相辅相成的。应当在思考的基础上记基本的。微积分中要牢牢记住的是，基本初等函数导数表和基本初等函数积分表。 要像记九九表一样把它们记住。其他基本定理的记忆要借助几何意义，物理意义与前后 联系，而不要死记硬背。 5 基本概念基本概念 常常是这样，理解概念比理解定理更困难，而且更基本。概念不清前进。理解概念 要从两个方面入手。一是概念的内涵，一是概念的外延。概念的内涵

11、就是概念的基本属 性。概念的外延就是概念所概括的一切对象。微积分的基本概念有五个：函数，极限， 导数，微分和定积分。 函数概念讲的是两个实数集合间的对应关系。首先使用函数一词的是莱布尼兹，他 在 1692 年的论文中第一次提出函数这一概念。随着数学的发展，函数的定义不断改进 和明确。最先将函数概念公式化的是约翰.伯努利，他在 1718 年说：“一个变量的函 数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量。”欧拉将伯努利的思想进一步 解析化。在无限小分析引论（1748）中，他将函数定义为“变量的函数是一个由 该变量与一些常数以任意方式组成的解析表达式。并明确宣布：”数学分析是关于函数 的科学。

12、“微积分被视为建立的微分基础上的函数论。欧拉的函数定义在 18 世纪后期 占据了统治地位。在这一定义的基础上，函数概念本身大大丰富了。欧拉还明确区分了 代数函数与超越函数。他把超越函数看成是用无穷多次算术运算得到的表达式，即用无 穷级数表示的函数。第一个给出函数一般定义的是狄里克雷。并且给出了一个不能画出 图形的函数，即狄里克雷函数。狄里克雷的定义使函数概念摆脱了公式的束缚是函数概 念现代化进程中重要的一步。 极限概念描述函数在一定变化过程中的终极状态。朴素的、直观的极限思想在古代 已经诞生。随着微积分的诞生，对极限概念的要求越来越高。但牛顿、莱布尼兹的极限 概念是模糊的。到 19 世纪，当数

13、学家们转向微积分基础的重建是，极限概念才置于严 密的理论基础之上。现在使用的定义是柯西和魏尔斯特拉斯给出的。在柯西的基础上， 魏尔斯特拉斯创造了 语言。这种语言实质上是将动态过程静态化，就像电影 与它的胶片的关系。 极限概念要解决的主要矛盾是近似与精确的矛盾。圆周率的计算史清楚地说明了这 一点。面积、体积、弧长以及质量、转动惯量等的计算都涉及到近似与精确的处理。导 数、微分和定积分所解决的问题都是一种特殊的极限问题，都是要解决近似与精确的矛 盾的。因而从这个意义上讲，微积分是逼近的学问。相对而言，代数是归纳的学问。代 数定理的证明多用归纳法。 6 基本运算基本运算 微积分最基础的运算是，四则运

14、算、函数的复合运算与极限运算。函数 的复合运算是新运算，从基本初等函数出发，借助复合运算与四则运算产生全部初等函 数。极限运算引申出求导、求微分和求积分的运算。极限运算是初等数学与高等数学的 分水岭，它使求导运算和积分运算回归到四则运算。 微分法则中最重要的是锁链法则：1）它解决了全部初等函数的求导问题；2）隐函 数与反函数求导法是它的推论；3）引出一阶微分形式不变性，免除了自变量与因变量的区别，而获得了极大自由。4）一阶微分形式不变性构成积分学中换元积分法的基础。7微积分的基础微积分的基础 微积分是关于函数的学问。一元微积分中的任何函数都含有两 个变量，一个是自变量，一个是因变量。不管是自变

15、量，还是因变量都取实数值。因而， 微积分是建立的实数论的基础上的，而且它涉及到一切形式的实数：整数、有理数与无 理数等。所以，人们必须弄清实数的结构和性质，才能放心大胆地使用它们。这就是说， 对微积分而言，建立实数理论是必要的。但事实上并不如此，数学家们先是糊里糊涂地 用，直到出了问题才想到去建立实数理论。实数理论是在 19 世纪后期建立的，有了实 数论微积分就有了严密的基础。大家知道，由有理数构成的序列，它的极限不一定是有 理数。人们自然会问，由实数组成的序列，它的极限一定是实数吗？这就是实数论所研 究的一个重要问题。答案是，实数序列的极限一定是实数。这件事为什么重要？理由是 明显的。导数和

16、定积分都是用极限定义的，这些极限存在吗？它们是实数吗？微积分没 有回答这个问题。如果它们的极限不存在，或者存在而不是实数，微积分不就变成空中 楼阁了吗？所以这个问题是至关重要的问题。8 定理定理 数学是解决问题的艺术。与其他科学家不同的是，数学家有一个专门名词来 表达他们对某个问题的解决那就是定理。如何学好定理？我们提出五个怎样：怎样 发现定理；怎样证明定理；怎样理解定理；怎样应用定理；怎样推广定理。如果你能 够从这五方面考察一个定理，你就会对定理有一个较为全面的理解。 微积分中的主要定理都有明显的几何意义，或物理意义。学习这些定理一定要结合 它们的实际背景，方能学得深。 在微积分中什么定理最重要？答案是，微积分基本定理。它相当于数论中的算术基 本定理，与代数中的代数基本定理。微积分基本定理的发现终于将微分学与积分学这两 大分支连成一个整体。 在函数部分，一个需要强调的重要定理是反函数存在定理。有了反函数存在定理， 就可以从指数函数出发去定义对数函数，从三角函数出发去定义反三角函数。可见，反 函数存在定理是产生新函数的工具。 在极限