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1、1绍兴文理学院第四届大学生数学竞赛试题（数学专业）绍兴文理学院第四届大学生数学竞赛试题（数学专业）考试时间：考试时间：2006 年年 5 月月 13 日下午日下午 2.005.00一、填空题一、填空题（每一小题 4 分，满分 20 分）1. 0ln(1)lim1 cosxxx x2广义积分 .220(1)xdx x3曲线的水平渐近线方程为 .4sin 52cosxxyxx4设函数在处连续，则 .2 301sin,0,( ) ,0xt dt xf xx ax 0x a 5设函数由方程确定，则= .( )yy x1yyxe 0xdxdy二、选择题二、选择题（每一小题 4 分，满分 20 分） 1某
2、些理发师留胡子，因此，某些留胡子的人是喜欢穿白衣。应该补充下列哪一前提，能 使上述论证成立。 （ ） （A）某些理发师喜欢穿白衣 （B）某些喜欢穿白衣的理发师不留胡子 （C） 所有理发师都喜欢穿白衣 （D） 所有喜欢穿白衣的人都是理发师 【 】2设函数可微，则等于( )g x1( )( ),(1)1,(1)2g xh xehg(1)g（A）. （B） ln3 1ln3 1. （C） （D） 【 ln2 1.ln2 1.】3设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是( )f x0x 0x 0( )xf t dt（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数.
3、 【 0x 0x 】4设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增( )yf x( )0,( )0fxfxxx0x量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则ydy( )f x0x0x （A） （B）ydy00.ydy （C） （D） 【 0.ydy 0.dyy 】25设函数为已知可导奇函数，为的反函数，则)(xf)(xg)(xf（ ） 。)()(xfxxdtxtxgdxd（A）； （B）；)()(2)(0xfxdttgxf)()(2)(0xfxdttgxf（C） ； （D）。 【 )()()(0xf xdttgxf)()()(0xf xdttgxf】 三 解答题（共 8 小题，满分 60 分）1
4、（6 分）已知，其中由方程组确定，tudueysin111 )1()(xtt vtvx 2sin2cos求。dxdy2 （6 分） 证明：当时有。ba0aaaabbbbcos2sincos2sin3 （8 分）试确定常数 A，B，C 的值使得，其中是23(1)1()xeBxCxAxo x 3()o x当。30xx 时比的高阶无穷小34 （8 分）设数列满足。 nx110,sin1,2,.nxxxn()证明存在,并求值； ()计算。limnxx 211limnxnnnxx 5 （6 分）。arcsinxxedxe求6 （8 分）已知曲线的方程为，L221(0)4xttytt （）过点（-1，0）
5、引的切线，求切点，并写出切线的方程；L00(,)xy（）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。L0xxx47 （8 分）设连续，且，是曲线在点)(xf 0)0()0(, 0)( ffxf)(xu)(xfy 处的切线在轴上的截距。)(,xfxx（）求，并证明当时，等价；)(xu 0x2)(xxu与 与（）求。 xxuxdttfdttf0)(00)()( lim8 （6 分）设在上可微，证明存在一点)(xf 1 , 0kxdxxfxekf101)() 1 () 1(k，使得。 1 , 0)(11)(ff 5绍兴文理学院第四届大学生数学竞赛试题（数学专业）绍兴文理学院第四届大学生数学
6、竞赛试题（数学专业）参考解答和评分标准参考解答和评分标准一填空题（每一小题 4 分，满分 20 分）12 ； 2 ； 3； 4； 521 51y31e二选择题（每一小题 4 分，满分 20 分） 1 （C） ； 2.（C） ； 3.（B） ； 4.（A） ； 5.（A） 。 三解答题（共 8 小题，满分 60 分）1 （6 分）解：dvdxdvdtdtdydxdtdtdydxdyvvtet 2sin22cos2cos1sin11 。tetxtcos1sin11 2 （6 分）证：令，只需证明单调增加（严格）( )sin2cosf xxxxx0ax 时,( )f x，因为，( )sincos2s
7、inf xxxxxcossinxxx( )cossincossin0fxxxxxxx 单调减少（严格） ，又，故( )fx( )cos0f单调增加（严格） ，。得证。0( )0( )axfxf x时则( )( )baf bf a由则3 （8 分）解：泰勒公式代入已知等式得23 31()26xxxexo x ， 整理得23 3231()11()26xxxo xBxCxAxo x，比较两边同次幂233111 (1)()()1()226BBxCBxCo xAxo x 6函数得B+1=A；C+B+=0；式-得1 21026BC；代入得，代入得。120233BB 则1 3A 1 6C 4 （8 分）解：
8、()由得101 x，因此当有，即12sin xx 2nnnnxxxsin1单调下降，又得有下界，这样存在，记=A，有 nx0nx nxlimnxx limnxx sin,0AAA()为的，211limnxnnnxx 1Q离散型不能直接用洛必达法则22011sinlimln()0sinlim()tt ttt ttet 先考虑232320 330011( cossin )1110()0()lim26cossinsin1262limlim2262t ttttttttttttttttt ttteeeee gg5 （6 分）解：原式=22arcsinarcsin ()x xx xetdeetdtet令2
9、1arcsinarcsin( ) 1tdttdtttt 2 222arcsinarcsin1( 2)12(1)1ttdttudututtuutt 令2arcsin 1tdu tu arcsin11ln21tuCtu 22arcsinarcsin111ln211xxxxxxeeedxCeee 6 （8 分）解：（I），得切线方程为4222 ,42 ,12dxdydytttdtdtdxtt，设，则201 (1)yxt2 001xt2 0004ytt，22232 0000000 0241 (2),4(2)(2)tttttttt得，点为（2，3） ，切线方程为2 00000020,(1)(2)001t
10、tttttQ7。1yx（II）设L的方程，则，由( )xg y30( )(1)Sg yydy，由于224024241ttyyxy解出t得（2，3）在L上，由，所以232241( )yxxyg y 得可知3094 4(1)Syyydy3300(102 )44y dyydy。333322 0 002(10)44(4)214(4)3yyydyy 86422133337 （8 分）解 由导数的几何意义，曲线在点的切线为 )(xfy )(,xfx。求此切线在x轴上的截距：令，得，于是)()(xXxfxfY0Y)()( xfxfxX得到，)()()(xfxfxxu)0()()(1 2)()(1 22)(2
11、fxfxxxf xf xxf xxu , 所以 ,当时。由 Taylor 公式有 ) 0 ( 21)(lim20f xxfx Qxxu21)(0x， ， 其中 222)0()(xoxfxf )()()(lim )()( lim 00)(00xfxuxufdttfdttfxxxux 2)()()()(xfxfxfxu 2220)()()( )()(0)()0(21limxfxfxf xfxxufx81)( )0()(1)(0)()0(21lim22220 xfxfxfxxxufx88 （6 分）证：令。在上存在一点，使得 )()(1xfxexFx 1 ,01,0 kC。因此。于是在上对应用 Roll 定理，)()(101CFdxxfxekkx) 1 ()(FCF1 ,C)(xF存在，使得，即 1 , 01 , C0)(F使得0)()()(111fefefe),(11)(ff 。) 1 , 0(
