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1、第五、六课时一次函数表达式的方法解法(23 招)安徽省池州市贵池区梅龙初级中学黄老师( QQ:495014580)四、求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法(1)图象过原点:函数为正比例函数,可设表达式为y=kx,再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式,即可求出k. (2)图象不过原点:函数为一般的一次函数,可设表达式为y=kx+b ,再找图象上的两个点的坐标代入表达式,即可求出k,b。例: (中考常州)已知一次函数y=kx+b( k,b 为常数且0k)的图象经过点A(0, 2)和点 B(1,0) ,则 k=_,b=_. 答案: k=2,b=2 例: (中考重庆)已知正比例函数)0(kk
2、xy的图象经过点(1, 2) ,则这个正比例函数的表达式为 _ 答案: y=2x常见解法:1、定义式例,已知函数3)3(82mxmy是一次函数,求其解析式。解析:该函数是一次函数182m解得, m= 3, 又 m3m= 3 故解析式为: y= 6x+3 2、点斜式要点:如何求k?(1)公式:1212 xxyyk(2)图象(比值) :|k|= BCAB(两直角边的比)(3)增量: V(速度)、P(电功率)(4)每每(美美题) :(5)平移变换:k 值相等(6)垂直变换:121kk(7)对称变换:|k|、|b|不变(8)相似比: (略) (9)正切值: tan (斜率)(10)旋转变换: (略)例
3、,已知一次函数y=kx3 的图象过点( 2, 1) ,求这个函数解析式。解析:方法一: (代入法)将点(2,1)代入 y=kx 3 得,1=2k3,解得, k=1 故解析式为: y=x3 方法二:(一点式)解析:一次函数y=kx3 的图象过点( 2, 1)可令 y=k(x2)1=kx2k 1 2k1=3,解得, k=1 这个函数解析式为y=x3 3、两点式例,一次函数经过(2, 0)、 (0,4),求此函数的解析式。解析:方法一: (构建方程组)令解析式为y=kx+b,过( 2,0)、(0,4),则bbk420解得, k=2,b=4 故解析为y=2x+4 方法二:由点斜式得: )2(00412
4、12 xxyyk=2 再一点式得: y=2(x+2)+0=2 x+4 方法三:由斜截式得,y=2x+4 方法四:由数形结合得,y=2x+4(k=直角边的比)方法五:(纯一点式) y=k(x+2)=k(x+0)+4? k=2 4、一点式:例,过( 2,5)的一次函数解析式为_。解析: y=k(x2)+5kx2k+5 例,若a,b 为定值,关于x 的方程2) 6(32bkxakx,无论 k 为何值,解总是x=1,则2a+3b=_。解析:化简得, (4x+b)k=122a+x? b=4,2a=13? 2a+3b=1 5、图象式:例,如图,则函数解析式为_. yx21O解析:方法一:易知,b=2(截距
5、) ,k=2(两直角边的比), 则 y=2x+2 方法二:两点式: (略)方法三:一点式:y=k(x1)+0=k(x+0)+2? k=2 6、平移式:例,直线y=kx+b 与直线 y=2x 平行,且截距为2,则直线解析式为_。解析:易知, k= 2,b=2,解析式为y= 2x+2 技巧:上下平移: K 值不变,上加下减;左右平移: K 值不变,左加右减;如: y=kx+b 向左平移m 个单位,则平移后的解析式为_. 解: y=k(x+m)+b实质:上下平移横坐标不变;纵坐标上加下减。左右平移纵坐标不变;横坐标左减右加。例,将 y=2x+3 向下平移2 个单位,则y=_;再向左平移2 个单位,则
6、y=_. 解析:方法一:结论归纳法由上加下减得,y=2x+1; 由左加右减得,y=2(x+2)+1=2 x+5 方法二:数形结合法(点值法)详细过程:( 1)求出 y=2x+1 与 x 轴的交点坐标( 21,0); (2)求出平移后的点坐标(25,0)(3)求平移后的解析式y=2(x+25)+0(一点式) =2x+5。方法三:逆向思维法具体过程:设平移后的点坐标为P( x,y)由逆向思维得,原来该点的坐标为P(x+2,y+2)在 y=2x+3 上,y+2=2(x+2)+3,y=2x+5 练习 1、将 y=2x3 向上平移2 个单位,则y=_; (y=2x1)再向右平移2 个单位,则y=_。 (
7、y=2(x2)1=2x+3) 2、将 y=21x+1 向下平移2 个单位,则y=_;再向左平移21个单位,则y=_。7、斜截式例,将 y=2x+b 向左平移2 个单位后,与y轴的交点坐标为(0,3) ,则 b=_。解析:由题意知,平移后的解析为y=2(x+2)+ b=2x+3? b=1 具体过程:( 1)由平移得,y=2(x+2)+b(左加右减) ;(2)由斜截式得,k=2,b=3,即 y=2x+3 (3)联立得, 2(x+2)+b2x+3? b=1 8、应用式:要点: k 表示:速度、单位量、斜率、比值、每每、增量的比b 表示:起始位置例 1,某油箱中存油20 升,油从管道中匀速流出,流速为
8、 0.2 升/分,则油箱中剩油量Q (升)与流出时间t(分)的函数关系式为_。解析:当t=0 时, Q=20,即 b=20; 又流速为0.2 升/分,即 k=0.2(放油)故解析式为Q=0.2t+20( 0 t100 )例 2,已知 A、B 两地相距30km,B、C 两地相距48km。某人骑自行车以每小时12km 的速度从 A 地出发,经过B 地到达 C 地。设此人骑车的时间为x(h) ,离 B 地的距离为y(km) 。(1)当此人在A、B 两地之间时,求y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。(2)当此人在B、C 两地之间时,求y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。解析:
9、(1)当 x=0 时, y=30,即 b=30 又速度为12km/h,则 k= 12(y 随 x 增大而减小)故解析式为: y= 12x+30(0 x(5/2) )(2)由速度为12km/h,则 k=12(y 随 x 增大而增大)可令解析式为:y=12x+b又当 x= 25时, y=0,解得, b=30 故解析式为: y=12x30 方法二:(点斜式) y=12(x 25)=12x 30 例 3,在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体的质量x(kg)的一次函数,当所挂物体的质量为1kg 时,弹簧长10cm;当所挂物体的质量为3kg 时,弹簧长为12cm。写出 y与 x 之间的函数关系式_
10、。解析:增加量为(1210/31)=1,即 k=1 当 x=0 时, y=9,即 b=9 故解析式为y=x+9 方法二:令解析式为y=kx+b,过点( 1, 10) (3,12)解二元一次方程组也可求出此解析式。9、面积式例, y=kx+b 是由 y=2x 平移得到的,且与坐标轴围成的面积为4,求此函数的解析式_. 解析:如图,yxABOy=kx+b 是由 y=2x 平移得到的k=2 由图可知, A( (b/2),0),B(0,b) 又 SAOB=4,即 21AOBO=4,21|2b| |b|=4 解得, b= 4 故,解析式为y=2x+4 或 y=2x4 巩固 y=kx+3 的图象与坐标轴围
11、成的面积为9,求此函数的解析式_。解析:如图,yxABO由图可知, A( k3,0),B(0,3) 又 SAOB=9,即 21AOBO=4,3|3|21k=9 解得, k= 21故,解析式为y= 21x+3 或 y=21x+3 10、列表式 :k:增量11、规律式 :k:增量12、开放式:例,请写出一次函数的解析式。要求:(1)过( 3,1) ;(2)y 随 x 增大而减小;(3)当 x=2 时, y1 又 y 随 x 增大而减小,得,k0 时, x=2,则 y=5;x=6,则 y=9. 2k+b=5 6k+b=9 解得, k=1,b=3 故,解析式为y=x+3 (2)当 k0 时, x=2,
12、则 y=9;x=6,则 y=5. 2k+b=9 6k+b=5 解得, k=1,b=11 故,解析式为y=x+11 14、动点 式(略)15、待定系数式(略)16、分类讨论式(略)17、成比例式例, y1 与 x+3 成正比例,当x=2 时, y=6,求 y 关于 x 的函数解析式。解析:令y1=k(x+3),得61=k(2+3),解得, k=1 故,解析式为y=x+4 18、对称式:例: y=kx+b1)关于 x 轴对称: P(x,y)P(x,y):y=kx+b,即 y=kx b(全变);2)关于 y 轴对称: P(x,y)P(x,y):y=kx+b,即 y=kx b(k 变 b 不变) ;3
13、)关于原点对称:P(x,y)P(x,y):y=kx+b,即 y=kxb( b 变 k 不变) ;例, y=2x+1 的图象(1)关于 x 轴对称的解析式为_; (2)关于 y 轴对称的解析式为_; (3)关于原点对称或关于某一点对称(了解)归纳: (1)对称 |k|不变, |b|不变;(2)关于 x 轴对称: k、b 都变号;关于 y 轴对称: k 变号, b 不变号。实质: (1)直线的对称其本质是点的对称。(2)再对称后的直线上任取一点P(x,y) 则关于 x 轴对称 P(x,y):y=2x+1? y=2x1 关于 y 轴对称 P(x,y):y=2x+1 关于原点对称P(x,y):y= 2
14、x+1? y=2x1 19、垂直式例, y=2x+1 与 y= 21x+2 在位置上的关系是_. 由此你得出的结论是。(21kk=1) 20、旋转式(关于某一直线对称)例,将直线y=2x+1 关于 y=x 对称,求对称后的解析式_。总结 : 有关一次函数的解法:1、定义式; 2、两点式; 3、待定系数式;4、直线方程式;5、点斜式; 6、一点式; 7、斜截式; 8、图象式; 9、比例式;10、平移变换式;11、对称变换式;12、垂直变换式;14、旋转变换式;15、面积式; 16、列表式; 17、规律式;18、开放式; 19、值域式; 20、成比例式;21、分类讨论式;22、应用式; 23、动点
15、式。练习 1、y 与 x 成正比例,且当x=1 时, y=2,那么当x=3 时, y=_。2、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式_ (1)y 随着 x 的增大而增大;(2)图象经过点(0, 3) 。3、直线 y=3x3 向左平移4 个单位后,则直线解析式为_。4、某一次函数的图象与y=x+1 平行,且过点(8,2) ,则一次函数解析式为_。5、一次函数y=kx+b 的图象如图。(1)写出 A、 B 的坐标;(2)求出 k,b 的值。yxA (2)B(4)O6、一次函数的图象过M( 3,2) , ( 1, 6)两点,求函数的解析式。7、直线 y=2x+1. (1)求直线与y 轴交点 A 的坐标;(2)若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称,求k 与 b 的值。8、已知直线y=kx+b 经过点(25,0) ,且与坐标轴围成的三角形的面积为425,求该直线的表达式。