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1、第五、六课时一次函数表达式的方法解法（23 招）安徽省池州市贵池区梅龙初级中学黄老师（ QQ：495014580）四、求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为y=kx，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出k. （2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为y=kx+b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出k，b。例： （中考常州）已知一次函数y=kx+b（ k，b 为常数且0k）的图象经过点A（0， 2）和点 B（1，0） ，则 k=_，b=_. 答案： k=2，b=2 例： （中考重庆）已知正比例函数)0(kk
2、xy的图象经过点（1， 2） ，则这个正比例函数的表达式为 _ 答案： y=2x常见解法：1、定义式例，已知函数3)3(82mxmy是一次函数，求其解析式。解析：该函数是一次函数182m解得， m= 3, 又 m3m= 3 故解析式为： y= 6x+3 2、点斜式要点：如何求k？（1）公式：1212 xxyyk（2）图象（比值） ：|k|= BCAB(两直角边的比）（3）增量： V（速度）、P（电功率）（4）每每（美美题） ：（5）平移变换：k 值相等（6）垂直变换：121kk（7）对称变换：|k|、|b|不变（8）相似比： (略) （9）正切值： tan （斜率）（10）旋转变换： （略）例
3、，已知一次函数y=kx3 的图象过点（ 2， 1） ，求这个函数解析式。解析：方法一： （代入法）将点（2,1）代入 y=kx 3 得，1=2k3，解得， k=1 故解析式为： y=x3 方法二：（一点式）解析：一次函数y=kx3 的图象过点（ 2， 1）可令 y=k(x2)1=kx2k 1 2k1=3,解得， k=1 这个函数解析式为y=x3 3、两点式例，一次函数经过（2， 0)、 (0，4),求此函数的解析式。解析：方法一： （构建方程组）令解析式为y=kx+b,过（ 2,0)、(0,4)，则bbk420解得， k=2，b=4 故解析为y=2x+4 方法二：由点斜式得： )2(00412
4、12 xxyyk=2 再一点式得： y=2(x+2)+0=2 x+4 方法三：由斜截式得，y=2x+4 方法四：由数形结合得，y=2x+4(k=直角边的比）方法五：（纯一点式） y=k(x+2)=k(x+0)+4? k=2 4、一点式：例，过（ 2,5）的一次函数解析式为_。解析： y=k(x2)+5kx2k+5 例，若a,b 为定值，关于x 的方程2) 6(32bkxakx,无论 k 为何值，解总是x=1,则2a+3b=_。解析：化简得， （4x+b)k=122a+x? b=4,2a=13? 2a+3b=1 5、图象式：例，如图，则函数解析式为_. yx21O解析：方法一：易知，b=2（截距
5、） ,k=2(两直角边的比）, 则 y=2x+2 方法二：两点式： （略）方法三：一点式：y=k(x1)+0=k(x+0)+2? k=2 6、平移式：例，直线y=kx+b 与直线 y=2x 平行，且截距为2,则直线解析式为_。解析：易知， k= 2,b=2,解析式为y= 2x+2 技巧：上下平移： K 值不变，上加下减；左右平移： K 值不变，左加右减；如： y=kx+b 向左平移m 个单位，则平移后的解析式为_. 解： y=k(x+m)+b实质：上下平移横坐标不变；纵坐标上加下减。左右平移纵坐标不变；横坐标左减右加。例，将 y=2x+3 向下平移2 个单位，则y=_；再向左平移2 个单位，则
6、y=_. 解析：方法一：结论归纳法由上加下减得，y=2x+1; 由左加右减得，y=2(x+2)+1=2 x+5 方法二：数形结合法（点值法）详细过程：（ 1）求出 y=2x+1 与 x 轴的交点坐标（ 21,0）; （2）求出平移后的点坐标（25,0）（3）求平移后的解析式y=2(x+25)+0（一点式） =2x+5。方法三：逆向思维法具体过程：设平移后的点坐标为P（ x,y）由逆向思维得，原来该点的坐标为P（x+2,y+2）在 y=2x+3 上，y+2=2(x+2)+3,y=2x+5 练习 1、将 y=2x3 向上平移2 个单位，则y=_； （y=2x1）再向右平移2 个单位，则y=_。 (
7、y=2(x2)1=2x+3) 2、将 y=21x+1 向下平移2 个单位，则y=_;再向左平移21个单位，则y=_。7、斜截式例，将 y=2x+b 向左平移2 个单位后，与y轴的交点坐标为（0，3） ，则 b=_。解析：由题意知，平移后的解析为y=2(x+2)+ b=2x+3? b=1 具体过程：（ 1）由平移得，y=2(x+2)+b（左加右减） ；（2）由斜截式得，k=2,b=3,即 y=2x+3 （3）联立得， 2(x+2)+b2x+3? b=1 8、应用式：要点： k 表示：速度、单位量、斜率、比值、每每、增量的比b 表示：起始位置例 1，某油箱中存油20 升，油从管道中匀速流出，流速为
8、 0.2 升/分，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t（分）的函数关系式为_。解析：当t=0 时， Q=20,即 b=20; 又流速为0.2 升/分，即 k=0.2（放油）故解析式为Q=0.2t+20（ 0 t100 ）例 2，已知 A、B 两地相距30km，B、C 两地相距48km。某人骑自行车以每小时12km 的速度从 A 地出发，经过B 地到达 C 地。设此人骑车的时间为x（h） ，离 B 地的距离为y（km） 。（1）当此人在A、B 两地之间时，求y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。（2）当此人在B、C 两地之间时，求y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。解析：
9、（1）当 x=0 时， y=30,即 b=30 又速度为12km/h,则 k= 12(y 随 x 增大而减小）故解析式为： y= 12x+30（0 x(5/2) ）（2）由速度为12km/h，则 k=12(y 随 x 增大而增大）可令解析式为：y=12x+b又当 x= 25时， y=0,解得， b=30 故解析式为： y=12x30 方法二：（点斜式） y=12(x 25)=12x 30 例 3，在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体的质量x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为1kg 时，弹簧长10cm；当所挂物体的质量为3kg 时，弹簧长为12cm。写出 y与 x 之间的函数关系式_
10、。解析：增加量为(1210/31)=1，即 k=1 当 x=0 时， y=9，即 b=9 故解析式为y=x+9 方法二：令解析式为y=kx+b，过点（ 1， 10） （3，12）解二元一次方程组也可求出此解析式。9、面积式例， y=kx+b 是由 y=2x 平移得到的，且与坐标轴围成的面积为4，求此函数的解析式_. 解析：如图，yxABOy=kx+b 是由 y=2x 平移得到的k=2 由图可知， A（ (b/2),0）,B(0,b) 又 SAOB=4,即 21AOBO=4,21|2b| |b|=4 解得， b= 4 故，解析式为y=2x+4 或 y=2x4 巩固 y=kx+3 的图象与坐标轴围
11、成的面积为9，求此函数的解析式_。解析：如图，yxABO由图可知， A（ k3,0）,B(0,3) 又 SAOB=9,即 21AOBO=4,3|3|21k=9 解得， k= 21故，解析式为y= 21x+3 或 y=21x+3 10、列表式 ：k：增量11、规律式 ：k：增量12、开放式：例，请写出一次函数的解析式。要求：（1）过（ 3,1） ；（2）y 随 x 增大而减小；（3）当 x=2 时， y1 又 y 随 x 增大而减小，得，k0 时， x=2,则 y=5;x=6,则 y=9. 2k+b=5 6k+b=9 解得， k=1,b=3 故，解析式为y=x+3 （2）当 k0 时， x=2，
12、则 y=9;x=6,则 y=5. 2k+b=9 6k+b=5 解得， k=1,b=11 故，解析式为y=x+11 14、动点 式（略）15、待定系数式（略）16、分类讨论式（略）17、成比例式例， y1 与 x+3 成正比例，当x=2 时， y=6，求 y 关于 x 的函数解析式。解析：令y1=k(x+3),得61=k(2+3),解得， k=1 故，解析式为y=x+4 18、对称式：例： y=kx+b1）关于 x 轴对称： P（x,y）P(x,y):y=kx+b,即 y=kx b（全变）；2）关于 y 轴对称： P（x,y）P(x,y):y=kx+b,即 y=kx b（k 变 b 不变） ；3
13、）关于原点对称：P（x,y）P(x,y):y=kx+b,即 y=kxb（ b 变 k 不变） ；例， y=2x+1 的图象(1)关于 x 轴对称的解析式为_; (2)关于 y 轴对称的解析式为_; (3)关于原点对称或关于某一点对称（了解）归纳： （1）对称 |k|不变， |b|不变；（2）关于 x 轴对称： k、b 都变号；关于 y 轴对称： k 变号， b 不变号。实质： （1）直线的对称其本质是点的对称。（2）再对称后的直线上任取一点P(x,y) 则关于 x 轴对称 P(x,y):y=2x+1? y=2x1 关于 y 轴对称 P(x,y):y=2x+1 关于原点对称P(x,y):y= 2
14、x+1? y=2x1 19、垂直式例， y=2x+1 与 y= 21x+2 在位置上的关系是_. 由此你得出的结论是。（21kk=1) 20、旋转式（关于某一直线对称）例，将直线y=2x+1 关于 y=x 对称，求对称后的解析式_。总结 : 有关一次函数的解法：1、定义式； 2、两点式； 3、待定系数式；4、直线方程式；5、点斜式； 6、一点式； 7、斜截式； 8、图象式； 9、比例式；10、平移变换式；11、对称变换式；12、垂直变换式；14、旋转变换式；15、面积式； 16、列表式； 17、规律式；18、开放式； 19、值域式； 20、成比例式；21、分类讨论式；22、应用式； 23、动点
15、式。练习 1、y 与 x 成正比例，且当x=1 时， y=2，那么当x=3 时， y=_。2、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式_ （1）y 随着 x 的增大而增大；（2）图象经过点（0， 3） 。3、直线 y=3x3 向左平移4 个单位后，则直线解析式为_。4、某一次函数的图象与y=x+1 平行，且过点（8，2） ，则一次函数解析式为_。5、一次函数y=kx+b 的图象如图。（1）写出 A、 B 的坐标；（2）求出 k，b 的值。yxA (2)B(4)O6、一次函数的图象过M（ 3，2） ， （ 1， 6）两点，求函数的解析式。7、直线 y=2x+1. （1）求直线与y 轴交点 A 的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k 与 b 的值。8、已知直线y=kx+b 经过点（25,0） ，且与坐标轴围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式。
