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1、第 1章 函数与极限15 1 2k ( k = 1, 2, )为第类间断点 .1 .4 习题解答本节给出了由张选群教授主编, 人民卫生出版社出版的统编教材 医用高等数学 习题的解题思路及参考解题过程 .1 . 求下列函数的定义域(1) y =( x + 2) ( x - 1) .解 由( x+2)( x - 1)0定义域为( - , - 21, + ) .(2) y = arccos ( x - 3) .解 由 - 1( x - 3)1定义域为2,4 .(3) y = lgx - 1 x + 2.解 由x - 1 x + 2 0定义域为( - , - 2)(1, + ) .(4) y =ln(
2、2 + x) x( x - 4).解 由 ln(2 + x)0(2 + x)1x - 1;又 x0, x4 从而定义域为 - 1,0)(0,4)(4, + ) .(5) y =1 2 - x2+ arcsin1 2x - 1.解 由(2 - x2) 0-2 0 .求 f(0) , f1 2, f lg1 2.解 f( 0) =1 2, f1 2= -1 2, flg1 2= f ( - lg2) = 1 +( - lg2)2= 1 + (lg2)2.3 . 设函数 y = f( x)的定义域为0,1 ,求下列函数的定义域(1) y = fx +1 3+ fx -1 3.解 由0 x +1 31
3、0 x -1 31-1 3 x2 31 3 x4 3定义域为1 3,2 3.(2) y = f( sin x) .解 由 0sinx1定义域为2k , (2 k + 1) ( k = 0, 1,2,) .(3) y = f(ln x + 1) .解 由 0lnx + 111 e x1定义域为1 e,1.(4) y = f( x2) .解 由 0 x21- 1 x1定义域为 - 1,1 .4 . 写出 y 关于 x 的复合函数(1) y = lgu, u= tan( x + 1) .解 y = lgtan( x + 1) .(2) y = u3, u=x2+ 1 .解 y = ( x2+ 1)3
4、 2.(3) y = u+ sin u, u= 1 - v, v= x3.解 y = 1 - x3+ sin(1 - x3) .第 1章 函数与极限17 (4) y = eu, u= v2, v = sin w, w =1 x.解 y = exp sin21 x.5 . 指出下列各函数是由哪些基本初等函数或简单函数复合而成(1) y = earc tan(2 x + 1).解 y = eu, u= arctanv, v = 2 x + 1 .(2) y =sin3( x + 2) .解 y = u3 2, u= sinv, v = x + 2 .(3) y = tan1 + x 1 - x.解
5、 y = tanu, u=v, v=1 + x 1 - x.(4) y = cosln3x2+ 1 .解 y = cosu, u= v3, v =1 2ln w, w= x2+ 1 .6 . 已知 f(ex+ 1) = e2 x+ ex+ 1, 求 f( x)的表达式 .解 f(ex+ 1) = e2 x+ ex+ 1 = (ex+ 1)2- (ex+ 1) + 1f( x) =x2- x + 1 .7 . 已知 ftanx +1 tan x= tan2x +1 tan2x+ 3, xk 2( k = 0,1,2,) ,求 f( x)的表达式 .解 f tan x +1 tanx= tan2x
6、 +1 tan2x+ 3 =tan x +1 tan x2 +1f( x) = x2+ 1 .8 . 求下列函数的极限(1) lim n(n+ 1 -n) = lim n1 n+ 1 +n= 0;18 医用高等数学学习指导(2) lim nnsinn n + 1= lim n 1 n + 1/nsinn;因为对于任意的自然数 n,有0 1 n + 1/nsinn1 n + 1/n,注意到lim n0 = lim n 1 n + 1/n= 0,由夹逼法则得lim n 1 n + 1/nsinn= 0,即lim n 1 n + 1/nsinn = 0,故lim n nsinn n + 1= 0 .
7、(3) lim n1 n2+2 n2+ +n - 1 n2= limn 1 n21 2( n - 1) n= lim n 1 21 -1 n=1 2.9 . 求下列函数的极限(1) lim x - 1x3- 1 x - 1= lim x - 1( x2+ x + 1) = 1;(2) lim x 1x2- 1 2 x2- x - 1= lim x 1( x + 1)( x - 1) (2x + 1) ( x - 1)= lim x 1x + 1 2 x + 1=2 3;(3) lim x x2- 1 3 x2- x - 1= lim x 1 -1 x23 -1 x-1 x2=1 3;第 1章
8、函数与极限19 (4) 因为lim x 1x2- 5 x + 4 2 x - 1= 0, 所以 lim x 12 x - 1 x2- 5 x + 4= ;(5) lim x3x+ 13 - 2x +1 x2- 9= lim x33(3 - x) ( x2- 9)(x+ 13 + 2x +1)= lim x3- 3 ( x + 3)(x + 13 + 2x + 1)= -1 16;(6 )lim x + x2+1 - 1 x= lim x + x x2+1 +1=lim x + 11 +1 x2+1 x= 1;(7) lim x 11 1 - x-2 1 - x2= limx 1x - 1 1
9、- x2= limx 1- 1 1 + x= -1 2;(8) lim x01 - cos x xsin x= lim x02sin2x 2x2sinx 2cosx 2= lim x0sinx 2xcosx 2= lim x0sinx 22x 2cosx 2=1 2;(9) lim x 1(1 - x)tan 2x = lim t0ttan 2(1 - t) = lim t0tcot 2t= lim t02 2tsin 2tcos 2t=2 ;(10) lim x 0tan x - sinx x3= limx 0sin x x1 cosx1 - cos x x2= lim x 0sin x x
10、1 2cos xsinx 2 x 22=1 2;20 医用高等数学学习指导(11) lim x 1x2 1 - x= lim t 0(1 - t)2 t= lim t0(1 - t)1 - t2=lim t 0(1 - t)1 - t2= e2;(12) lim x 0(1 - 3 x)1 x= lim x0(1 - 3 x)1 - 3 x- 3=lim x0(1 - 3 x)1 - 3 x- 3= e- 3;(13) lim xx - 1 1 + xx - 1 = lim x 1 -2 1 + xx - 1= lim x1 -2 1 + xx + 1 1 -2 1 + x- 2= lim x
11、1 -2 1 + xx + 1 - 2- 2 1 -2 1 + x- 2= lim x 1 -2 1 + xx +1 - 2- 2 lim x1 -2 1+ x- 2 = e- 2;(14) lim x 0x + ln(1 + x) 3 x - ln(1 + x)= lim x01 +1 xln(1 + x)3 -1 xln(1 + x)= lim x 01 + ln(1 + x)1 x3 - ln(1 + x)1 x=1 + 1 3 - 1= 1;(15) lim x - 1ln(2 + x) 31 + 2x + 1= lim x - 1 (1 + 2x)2 3- (1 + 2 x)1 3+
12、 1ln(2 + x) 1 + 2 x + 1=3 2lim x - 1ln(2 + x) 1 + x=3 2lim t 0ln(1 + t) t=3 2lim t0ln(1 + t)1 t=3 2ln lim t 0(1 + t)1 t=3 2;(16) lim x2 x+3 2 x+1x + 1 = lim x1 +2 2x+ 1x + 1 = lim x1 +1x +1 2x + 1第 1章 函数与极限21 = lim x1 +1x +1 2x +1 21 +1x +1 21 2= lim x1 +1x +1 2x +1 2 lim x1 +1x +1 21 2 = e .10 . 已知
13、lim x 1x2+ bx + 6 1 - x= 5,试确定 b的值 .解 由于分母极限为 0, 故只有分子的极限也为 0 时整个分式才可能有极限0 0型极限,其结果是个非 0 有限数值时, 说明分子分母为同阶无穷小量,即lim x 1( x2+ bx + 6) = 0b = - 7 .11 . 已知 lim x + (2 x -ax2- x + 1)存在, 试确定 a 的值, 并求出极限值 .解 lim x + (2 x -ax2- x + 1) = lim x + 4 x2- ax2+ x - 1 2 x +ax2- x + 1= lim x + (4 - a) x2+ x - 1 2 x
14、 +ax2- x + 1存在 .所以分子分母为同次式(分母本质上是一次式) , 即 4 - a=0a= 4 .lim x +(2 x -4 x2- x + 1) = lim x+ x - 1 2 x +4 x2- x + 1= lim x+ 1 -1 x2 +4 -1 x+1 x2=1 4.12 . 当 x0 时, 将下列函数与 x 进行比较, 哪些是高阶无穷小 ? 哪些是低 阶 无穷 小 ? 哪 些是 同 阶无 穷 小 ? 哪些 是 等价 无22 医用高等数学学习指导穷小 ?(1) tan3x .解 lim x0tan3x x= lim x0sin x xtan2x cos x= lim x
15、0sin x xlim x0tan2x cosx= 0当x0 时, tan3x 是 x 的高阶无穷小;(2)1 + x2- 1 .解 lim x01 + x2- 1 x= lim x0x 1+ x2+1= 0当 x 0 时,1 + x2- 1 是 x 的高阶无穷小;(3) cscx - cot x .解 lim x0cscx - cotx x=lim x01 - cosx xsinx=lim x0sin2x 2xsinx 2cosx 2= lim x01 2sinx 2 x 2cosx 2=1 2当 x0 时, cscx - cot x 是 x 的同阶无穷小;(4) x + x2sin1 x.解 lim x 0x + x2sin1 x x= lim x 01 + xsin1 x= 1当 x 0 时,x + x3sin1 x是 x 的等价无穷小;(5) cos 2(1 - x) .解 lim x 0cos 2(1 - x)x= lim x0sin 2xx= 2lim x0sin 2x 2x= 2当x0时, cos 2(1 - x)是 x 的同阶无穷小;第 1
