随机加权法_郑忠国

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1、第? ?卷第?期应用数 学 学报? , ? ?年斗月? ?沐? ?返? ? ? ?,?,?随机加权法一国学、大小心京郑匕? ? ? ? ? !? ? ? ?嗯? ?万?叮?,?,? ? ?多,? ?五?,? !? ? ? ? ? ?土? ?,? ? ? ? ? ?一? ?,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ? ?“? ? ? ? ?,?“? ? ?拌? ? ?叫? ?址?馆? ? ? ? ? ? ?帅?玩? ?喊如? ? ?一、引官闪也在讨论置信区间和估计误差的分布等问题时,? ? ?闺提出了? ?出? ?方法?为说? ? ?方法,我们 用均值估计的误差分

2、布 的计算这个例子说明之?设?,?。?,考虑 均值,一?的估计误差明?。?又一脚? ? 现在设?。为 ?,?。?的经验分布,而X产, X分是从F。重新抽样得到的一组样本.T。的Boo ts t ra P统计量是尸。叉*一 又.(2)利用R。的分布去模仿了.的分布是BOo tst ra P方法的主要思想.利用Boo ts t ra P方法可对参数进行 区间估计或假设检验.本文提出一种随机加权法,我们还用均值估计的误差分布这个例子来说 明之.设(V:, V.)为随机向量,它 的分布为D ir i如d分 布D(1,1 ).即它 满足关系式本文1985年6月27日收到. .本文 为国家科学荃金资助的课

3、月.应用教学学报10卷F:十+V,一1,并且 (V, V卜:)的 分布 密度为:了 (。:,。卜、 )r(。 ),(且, 一) “一(!, 一,:一)0,蕙一提(见 wi lk:2, 177页 ).考虑 统计量 D,一艺V,X*一又.(3)在本文 中,我们用D。的 分布去模拟T。的分 布.我们将随机的权 (V:, V力加 在(X, x。)上而 获得加权平 均 名 矶x*,因此这种方法称为随机加权法.这种方法 与BO O ts t ra P方法是相互平行 的.看 起来,它具有 如下 的优点:1.易于计算.具有 D i r i c川e t分布的随机变量可 由如下的方法产生.设U:, U,U卜,为

4、均匀分布U(0, 1)的iid样本序列.记U(, ),il,n一1为U:, U卜:的次序统计量,又记U(。) 0, U、,、一,则V U、, )一U、 ;一 :),l, 2,的联合分布 为D ir ic hl e t分布D(1, 1 ).至于随机加权法的其余计算步骤是十分普通而简单的。2.初步分析表明,在小样情况下,随机加权法比Boo ts tr ap方法效果 好.(见第 二节的分析.)3 .和Boo ts tra P方法一样,随机加权法在大样本情况下是可用的.具体地说,在一定条 件下,了万D,与了百T。具有相同的渐近分 布(见第三节分析).4 .和B呱S t r a P统计量R。不一样,由随

5、机加权法确定的统计量D。具有密度.因此,当确认T。具有密度时,作者竭力推荐使用随机加权法.二、小 样比较现在要比较R。与D。的模拟效果.由于E*R。E* D,ET。0 (这里E*表示X:, x。给定之下求条件期望),我们将比较它们的方差。即比较var*R,var* D一亡 ( 资二X卜(令二X),一、针(告艺X,一 (贵:X万),va r了。一生肉(F).模拟效果好坏的一个标志是模拟变量 的 方差接近于被模拟变量的方差的程度.因此 我们需要比较E(var*D。一varT。 )2和E(var*R,一varT。)2.对此,我们有 妞1设分布;具有有限四阶矩,并且其峰度,:)一。 . s (1:会书

6、一3,其中*,两 二分另。 为;的二阶和四阶 中J。矩 ),贝。 对l,E(va r* D。一varT。 )2(E(va r布R。一varT一)(4)期郑忠国:随机加权法证当,1时,问题变得无意义.不妨设滩)2.为了便于计算,我们比较它们的规范化的均方误差,/,。12,fl。 12,一乙、var找。一一脚夕乙l一。一脚 l,刀IL刀汗,fl。 12,乙I。一内l,/L”叫卜 IJ脚i一” 一一E (一D其中夕艺(X;一又)2.现在考虑下列二次三项式E lc S一两r 尸E驴一2肉E S十川(5)的极小化 问题.由 (见Wilks2, 1 99页) E犷一业匕卫上户+互卫二工互竺二工乙土且旅ES

7、 (n一l)脚可知,当1C一百(n一l)。二,、 (。一l)2+2 、,2刁J,1 一i一2 十招时, ( 5)式达到极小值,由二次三项式之理论可 知,当1卫二卫.(1:+ 3 )十时(钓式成立.通过解不等式可知,只要(。一1)2+2月,(,十l)了:)一主 2就能保证上式对叫切。)2成立,农1常见分奄.幼应位艺名名称称表达式式丫:的值值了,)一 0., ,成成成成成立否? ? ?P P P碗”幻 甲。p一;一筹,一。,一。1 1 1V V V又又又又又又二二项项pX一一 (了),(,一,一,一0,一一l一 6P q q q当二4时,对一一p p p p p(。,l ). . .娜户味味切P

8、(0, 1), ,; ; ; ; ; ; ; ; ;九一0., ,负负二项分布布r x一卜犷 (:二:卜一“一+,一一l+ 4甲+护一一V V V户户户户盆盆盆正正态态F一焉r“一” dX,。, , 0 0 0V V Va a a a a0, , , ,r r r一分布布dF一哉一X一“X,X“ l l lV V Vr r r r rO,a 0 0 0 0 0 0 0d d d F (约二二,“二“一奋习习_立_卜卜0 0 0 0 0 d二,其它它应用数学学报10卷从而证明了定理之结论.证毕.一个分布的峰度丫2的 变化 范 围是1:)一2.因此下:)一0 . 5是一个很大 的 范围.从熟悉 的

9、分布看来,大部分分 布的丫:均满足丫:)一0 .5这个条件.表l列 出各种常见 分布的九.从表1可 以看出只有均匀分布的峰度小于一l/2.由此可知,由随机加权法得到的统计量D。是值得推广的.三、统计t众的大样本性质现在 设Xl, XZ, 一i i d F,其中“满足 d尸0,可将若分解成两个序列否*刀i+叮i,; l, 2, 其中刃s一G。 ,l!G一1 1拿s彗pG( )一G( )10小的数.记 x j*使“成:成立的最大的“儿显然x*是取值于格子点的随机变量.丫百D,可以分解成“二。一丫万客(f一告 )X了。 +了;客(F,一令 )( x i一X/J海 )一了万,。+了百。.利用刚才所得的

10、结果可知,对几乎所有 的x;,22 ,(16)了百,竺二N (o,、,方 (F),(17)其中,*(F)一 !:,F()一 (l*“F()不难验证脚,。 (F)”脚(F),五一0.(18)之期郑忠国:随机加权法另一方面,v:r(丫百全(v*一工)(X一 L月*) ).=,”,1xz一一三一,n、_,.,、俨,+ )“ 一n、x,一x,石x”一Lx”h少 ! l!几一一匕一/ U”(”十l)、 、 、 . . . , 了了. hx l 八一一X X/门声 了. . 性,、一日日川日月开一丁,-、一二三一二、刀月十l),2 (,十l),.奋面不1了hZ刀” +1(19)利用 (17 )一(19),结合引理,可得(7 )式.证毕. 由于定理2,了百D。与了万T。具有相同的极限分布.这说明利用随机加权法得到 的统计量了百D。在渐近意义下是可用的.,lB.E fron,Boot鱿rapMet hods:An othe r汇215.wi l ks,Mathe madc alst adstics。John考文橄Look Wiley,the Jaekk址f e, A”.。Sa痴t., 7(1979), 1一26-NewYor k,1962-